1、第 1 页（共 28 页）2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数 z=1+2i，则 =（ ）A1 2i B5+4i C1 D22已知集合 A=x|（x 3） （x +1）0，B=x|x1，则 AB=（ ）Ax |x3 Bx|x 1 Cx|1x3 Dx|1x 33设 a，b 均为实数，则“ab”是“a 3b 3”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4直线 4x3y=0 与圆（x 1） 2+（y3） 2=10 相交所得弦长
2、为（ ）A6 B3 C D5下列命题中错误的是（ ）A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 内不存在与 a 平行的直线B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6已知数列a n满足 an+1an=2，a 1=5，则|a 1|+|a2|+|a6|=（ ）A9 B15 C18 D307在平面内的动点（x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ）A6 B4 C2 D08函数 f（x）= 的图象大致为（ ）第 2 页（共 28 页）A B CD9某几何体的
3、三视图如图所示，则其体积为（ ）A4 B C D10运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A B C D第 3 页（共 28 页）11若关于 x 的方程 2sin（2x + ）=m 在0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ）A （1 ， ） B0，2 C1，2） D1， 12已知定义在 R 上的函数 f（x）为增函数，当 x1+x2=1 时，不等式 f（x 1）+f（ 0）f（x 2）+f（1）恒成立，则实数 x1 的取值范围是（ ）A （ ，0 ） B C （ ，1） D （1，+）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13某班级有 50 名同学，一次数
4、学测试平均成绩是 92，如果学号为 1 号到 30号的同学平均成绩为 90，则学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 14若函数 f（x ）=e xsinx，则 f（0）= 15过双曲线 =1（a0，b0）的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 16我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知点 P（ ，1） ，Q （cosx，sinx） ，O
5、为坐标原点，函数 f（x）= （1）求函数 f（x）的最小值及此时 x 的值；（2）若 A 为ABC 的内角，f（A）=4，BC=3 ，ABC 的面积为 ，求ABC的周长第 4 页（共 28 页）18某手机厂商推出一次智能手机，现对 500 名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）女性用户频数20 40 80 50 10分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）男性用户频数45 75 90 60 30（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算
6、具体值，给出结论即可） ；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 2 名用户，求 2 名用户评分小于90 分的概率第 5 页（共 28 页）19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA底面ABCD，AD=AP=2，AB=2 ，E 为棱 PD 中点（1）求证：PD平面 ABE；（2）求四棱锥 PABCD 外接球的体积20已知函数 f（x ）=ax lnx（1）过原点 O 作函数 f（x）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对x1，+） ，不等式 f（x）a （2x x2）恒成立，求实数 a
7、 的取值范围第 6 页（共 28 页）21已知椭圆 Q： +y2=1（a1） ，F 1，F 2 分别是其左、右焦点，以线段 F1F2为直径的圆与椭圆 Q 有且仅有两个交点（1）求椭圆 Q 的方程；（2）设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ，0） ，求|AB |的最小值四、请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
8、方程为 =4cos，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；（2）若曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C1 上点 P 的极角为第 7 页（共 28 页），Q 为曲线 C2 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0 ，函数 f（x）= |x+a|+|2xb|的最小值为 1（1）求证：2a+b=2；（2）若 a+2btab 恒成立，求实数 t 的最大值第 8 页（共 28 页）2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12
9、个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数 z=1+2i，则 =（ ）A1 2i B5+4i C1 D2【考点】复数的基本概念【分析】由已知直接利用共轭复数的概念得答案【解答】解：z=1 +2i， =12i故选：A2已知集合 A=x|（x 3） （x +1）0，B=x|x1，则 AB=（ ）Ax |x3 Bx|x 1 Cx|1x3 Dx|1x 3【考点】交集及其运算【分析】求出两个集合，然后求解交集即可【解答】解：A=x|（x 3） （x +1）0=x |1x3） ，B=x|x1，则AB=x |1x3，故选：D3设 a，b 均为实数，则
10、“ab”是“a 3b 3”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】判断命题的真假：若 ab 则 a3b 3是真命题，即 ab a3b 3若a3 b3 则 a b是真命题，即 a3b 3ab第 9 页（共 28 页）【解答】解：若 ab 则 a3b 3是真命题，即 ab a3b 3若 a3b 3 则 ab是真命题，即 a3b 3ab所以 ab 是 a3b 3 的充要条件故选：C4直线 4x3y=0 与圆（x 1） 2+（y3） 2=10 相交所得弦长为（ ）A6 B3 C D【考点】直线与圆的位置关系【分析】利
11、用弦长公式|AB|=2 ，即可得出【解答】解：假设直线 4x3y=0 与圆（x 1） 2+（y3） 2=10 相交所得弦为 AB圆心到直线的距离 d= =1，弦长|AB|=2=2 =6故选：A5下列命题中错误的是（ ）A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 内不存在与 a 平行的直线B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【考点】命题的真假判断与应用【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案【解答】解：如果平面 外的直线 a 不平行于平面 ，则
12、 a 与 相交，则 内不存在与 a 平行的直线，故 A 正确；如图： ，=a， ，=b，=l，第 10 页（共 28 页）在 内取一点 P，过 P 作 PAa 于 A，作 PBb 于 B，由面面垂直的性质可得PAl，PBl，则 l，故 B 正确；如果平面 平面 ，那么平面 内的直线与平面 有三种位置关系：平行、相交、异面，故 C 错误；一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故 D 正确故选：C6已知数列a n满足 an+1an=2，a 1=5，则|a 1|+|a2|+|a6|=（ ）A9 B15 C18 D30【考点】数列的求和【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可
13、得 an，S n，对 n 分类讨论即可得出【解答】解：a n+1an=2，a 1=5，数列a n是公差为 2 的等差数列a n=5+2（n 1）=2n 7数列a n的前 n 项和 Sn= =n26n令 an=2n70，解得 n3 时，|a n|=ann4 时，|a n|=an则|a 1|+|a2|+|a6|=a1a2a3+a4+a5+a6=S62S3=62662（3 263）=18第 11 页（共 28 页）故选：C7在平面内的动点（x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ）A6 B4 C2 D0【考点】简单线性规划【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出
14、直线z=x+y 的最优解，然后求解 z 最大值即可【解答】解：根据不等式 ，画出可行域，由 ，可得 x=3，y=0平移直线 2x+y=0，当直线 z=2x+y 过点 A（3，0）时， z 最大值为 6故选：A8函数 f（x）= 的图象大致为（ ）第 12 页（共 28 页）A B CD【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可【解答】解：函数 f（x） = 的定义域为：x0，x R，当 x0 时，函数f（x ）= ，可得函数的极值点为：x=1，当 x（0，1）时，函数是减函数，x1 时，函数是增函数，并且 f（x）0，选
15、项 B、D 满足题意当 x0 时，函数 f（x）= 0，选项 D 不正确，选项 B 正确故选：B9某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A4 B C D第 13 页（共 28 页）【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为 2 的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2，所以四棱锥的体积 故选 D10运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A B C D【考点】程序框图【分析】由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数 f（x）=x 22 在区间1，2 上的零
16、点，且精确到 0.3；模拟运行过程，即可得出结果【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数 f（x）=x 22 在区间1，2 上的零点，且精确到 0.3；模拟如下；m= = 时，f （1）f（ ）=（1） 0，第 14 页（共 28 页）b= ，|ab|= d；m= = 时，f （1）f（ ）=（1）（ ）0，a= ，|ab|= d；程序运行终止，输出 m= 故选：B11若关于 x 的方程 2sin（2x + ）=m 在0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ）A （1 ， ） B0，2 C1，2） D1， 【考点】正弦函数的图象【分析】把方程 2sin（2x+ ）=m
17、化为 sin（2x + ）= ，画出函数 f（x）=sin（2x+ ）在 x0， 上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m 的取值范围【解答】解：方程 2sin（2x+ ）=m 可化为sin（ 2x+ ）= ，当 x0， 时，2x + ， ，画出函数 y=f（x）=sin（2x + ）在 x0， 上的图象如图所示；第 15 页（共 28 页）根据方程 2sin（2x+ ）=m 在0， 上有两个不等实根，得 11m 2m 的取值范围是1，2） 故选：C12已知定义在 R 上的函数 f（x）为增函数，当 x1+x2=1 时，不等式 f（x 1）+f（ 0）f（x 2）+f（1）恒成立，则实数
18、x1 的取值范围是（ ）A （ ，0 ） B C （ ，1） D （1，+）【考点】函数单调性的性质【分析】根据题意，分析可得若不等式 f（x 1）+f（0）f （x 2）+f （1）恒成立，则有 ，解可得实数 x1 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，若 f（x 1）+f（0）f（x 2）+f （1） ，则有 f（x 1）f（x 2）f（1）f（0） ，又由 x1+x2=1，则有 f（x 1） f（1x 1）f（1） f（0） ，又由函数 f（x）为增函数，则不等式 f（x 1）+f （0） f（x 2）+f （1）恒成立可以转化为 ，解可得：x 11，即实数 x1 的取值范围是（1
19、，+） ；故选：D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，如果学号为 1 号到 30号的同学平均成绩为 90，则学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 95 【考点】众数、中位数、平均数第 16 页（共 28 页）【分析】设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x，得到关于 x 的方程，解出即可【解答】解：设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x，则 9250=9030+20x，解得：x=95，故答案为：9514若函数 f（x ）=e xsinx，则 f（0）= 1 【考点】导数的运算【分析
20、】先求 f（x）的导数，再求导数值【解答】解：f（x）=e xsinx，f （x）=（e x） sinx+ex （sinx）=exsinx+excosx，f （0）=0+1=1故答案为：115过双曲线 =1（a0，b0）的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线 y= x 平行，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：经过双曲线 =1（a0，b0）的右焦点，倾斜角为 60的直线与双曲线有且只有一个交点，根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线 y= x 平行， =1
21、， ，解得 e2=2，离心率 e= 故答案为： 第 17 页（共 28 页）16我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数 128 【考点】数列的应用【分析】根据“ 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被 3 和 5 整除；第二个数能同时被 3 和 7 整除；第三个数能同时被 5 和 7 整除，将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加即可求出答案【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被 3 和 5 整除，但除以 7 余 1，即 15
22、；第二个数能同时被 3 和 7 整除，但除以 5 余 1，即 21；第三个数能同时被 5 和 7 整除，但除以 3 余 1，即 70；然后将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加，即：152+213+702=233最后，再减去 3、5、7 最小公倍数的整数倍，可得：2331052=23或105k+23（k 为正整数） 由于物数量在 100 至 200 之间，故当 k=1 时，105 +23=128故答案为：128三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知点 P（ ，1） ，Q （cosx，sinx） ，O 为坐标原点，函数 f（x）
23、= （1）求函数 f（x）的最小值及此时 x 的值；（2）若 A 为ABC 的内角，f（A）=4，BC=3 ，ABC 的面积为 ，求ABC的周长【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理【分析】 （1）根据向量的坐标运用求解，函数 f（ x）解析式，化解即可求函数第 18 页（共 28 页）f（x）的最小值及此时 x 的值（2）由 f（A）=4 ，BC=3，余弦定理和ABC 的面积为 建立方程组，求解b，c 的长度可得ABC 的周长【解答】解：（1）点 P（ ，1） ，Q （cosx，sinx） ，O 为坐标原点，=（ ，1） ， =（ cosx，1 sinx）函数 f（x ）= f（
24、x）=3 cosx+1sinx=42sin（x + ）当 x= ，k Z 时，f （x）取得最小值 2；（2）f（A）=4 ，即 42sin（A + ）=4可得：A+ =k，k Z0A A= 又BC=3，由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccos ，即 9=（b +c） 2bc又ABC 的面积为 ，即 bcsinA= ，可得 bc=3，那么 b+c=2故得ABC 的周长为：a +b+c=2 +318某手机厂商推出一次智能手机，现对 500 名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：分值区50，60）60，70）70，80）80，90）90，100第 19 页（共 28
25、页）间 ）女性用户频数20 40 80 50 10分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）男性用户频数45 75 90 60 30（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可） ；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 2 名用户，求 2 名用户评分小于90 分的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】 （）作出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小
26、，男性用户的波动大（）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于 90 分的人数为 4，记为 A，B ，C，D，评分不小于 90 分分的人数为 2，记为 a，b，从 6 人人任取 2 人，利用列举法能求出两名用户评分都小于90 分的概率【解答】解：（）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：第 20 页（共 28 页）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大（）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于 90 分的人数为 4，记为 A，B ，C，D，评分不小于 90 分分的人数为 2，记为
27、 a，b，从 6 人人任取 2 人，基本事件空间为：=（AB） ， （AC） ， （AD） ， （Aa） ， （Ab） ， （BC ） ， （BD） ， （Ba） ， （Bb） ， （CD） ，（Ca） ， （Cb） ， （Da ） ， （Db） ， （ab），共有 15 个元素其中把“两名用户评分都小于 90 分”记作 M，则 M=（AB） ， （AC） ， （AD） ， （BC） ， （BD） ， （CD），共有 6 个元素所以两名用户评分都小于 90 分的概率为 p= 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA底面ABCD，AD=AP=2，AB=2 ，E 为棱
28、PD 中点（1）求证：PD平面 ABE；（2）求四棱锥 PABCD 外接球的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】 （1）推导出 PAAB，AB AD ，从而 AB平面 PAD，进而 ABPD，再由 AEPD，能证明 PD平面 ABE（II）四棱锥 PABCD 外接球球心是线段 BD 和线段 PA 的垂直平分线交点 O，由此能求出四棱锥 PABCD 外接球的体积【解答】证明：（1）PA底面 ABCD，AB底面 ABCD，PA AB，又底面 ABCD 为矩形，ABAD，PAAD ，第 21 页（共 28 页）又 PA平面 PAD，AD 平面 PAD，AB平面 PAD，又
29、 PD平面 PAD，AB PD，AD=AP，E 为 PD 中点，AE PD ，AE AB=A，AE平面 ABE，AB 平面 ABE，PD平面 ABE解：（II）四棱锥 PABCD 外接球球心是线段 BD 和线段 PA 的垂直平分线交点O，由已知 BD= = =4 ，设 C 为 BD 中点，AM=2 ，OM= AP=1，OA= = =3，四棱锥 PABCD 外接球的体积是 =3620已知函数 f（x ）=ax lnx（1）过原点 O 作函数 f（x）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对x1，+） ，不等式 f（x）a （2x x2）恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中
30、的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （1）通过设切点坐标，进而可写出切线方程，代入原点计算即得结论；（2）通过转化可知 a（x 2x）lnx 对x 1，+）恒成立，分别设 y1=a（x 2x） ，第 22 页（共 28 页）y2=lnx，利用 x1，+）可知 a0 再记 g（x ）=ax 2axlnx，通过举反例可知当 0a1 时不满足题意进而转化为函数的最值问题，利用当 x1 时lnxx 1 恒成立放缩即得结论【解答】解：（1）设切点为 M（x 0，f（x 0） ） ，直线的切线方程为 yf（x 0）=k（xx 0） ，f（x）=a ，k=f（x 0）=a ，即直线的切线方程为
31、yax0+lnx0=（a ） （x x0） ，又切线过原点 O，所以ax 0+lnx0=ax0+1，由 lnx0=1，解得 x0=e，所以切点的横坐标为 e（2）不等式 axlnxa（2xx 2）恒成立，等价于 a（x 2x）lnx 对 x1，+）恒成立设 y1=a（x 2x） ，y 2=lnx，由于 x1，+） ，且当 a0 时 y1y 2，故 a0记 g（ x）=ax 2axlnx，则当 0a1 时，g （3）=6aln30 不恒成立，同理 x 取其他值不恒成立当 x=1 时，g（x）0 恒成立；当 x1 时，则 a 恒成立，等价于问题转化为求 h（x）= 当 x1 时的最大值又当 x1
32、时，lnx x1x （x1） ，即 h（x ）= 1（x1） ，综上所述：a121已知椭圆 Q： +y2=1（a1） ，F 1，F 2 分别是其左、右焦点，以线段 F1F2第 23 页（共 28 页）为直径的圆与椭圆 Q 有且仅有两个交点（1）求椭圆 Q 的方程；（2）设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ，0） ，求|AB |的最小值【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程【分析】 （1）由题意可知 c=b=1，由此能求出椭圆的方程（2）设直线 l 方程为 y=k（x +1） ， （k0）
33、 ，代入 ，得（1 +2k2）x2+4k2x+2k22=0，由此利用中点坐标公式、韦达定理、线段垂直平分线方程、弦长公式，结合已知条件能求出|AB|的最小值【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）椭圆 Q： +y2=1（a1） ，F 1，F 2 分别是其左、右焦点，以线段 F1F2 为直径的圆与椭圆 Q 有且仅有两个交点，由题意可知 c=b=1，a= ，故椭圆的方程为 （2）设直线 l 方程为 y=k（x +1） ， （k0） ，代入 ，得（1+2k 2）x 2+4k2x+2k22=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，AB 中点 N（x 0，y 0） ， ， = ， ，
34、AB 的垂直平分线方程为 yy0= ，第 24 页（共 28 页）令 y=0，得 ， ， ，0k 2 |AB|= |x2x1|= =2 ，|AB|的最小值|AB| min= 四、请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 =4cos，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；（2）若曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C1 上点 P 的极角为，
35、Q 为曲线 C2 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】 （1）曲线 C1 的极坐标方程为 =4cos，即 2=4cos，可得直角坐标方程直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，消去参数 t 可得普通方程（2） ，直角坐标为（2，2） ，第 25 页（共 28 页），利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值【解答】解：（1）曲线 C1 的极坐标方程为 =4cos，即 2=4cos，可得直角坐标方程： 直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，消去参数 t 可得普通方程：x +2y3=0（2） ，直角坐标为
36、（2，2） ，M 到 l 的距离 ，从而最大值为 选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0 ，函数 f（x）= |x+a|+|2xb|的最小值为 1（1）求证：2a+b=2；（2）若 a+2btab 恒成立，求实数 t 的最大值【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】 （1）法一：根据绝对值的性质求出 f（x ）的最小值，得到 x= 时取等号，证明结论即可；法二：根据 f（x ）的分段函数的形式，求出 f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为 t 恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出 t 的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可第 26 页（共 2
37、8 页）【解答】解：（1）法一：f（x ）=|x+a|+|2x b|=|x+a|+|x |+|x |，|x+a|+|x |（x+a） （x ）|=a + 且|x |0，f（ x）a + ，当 x= 时取等号，即 f（x）的最小值为 a+ ，a + =1，2a+b=2；法二：a ，f （x ）= |x+a|+|2xb|= ，显然 f（ x）在（， 上单调递减，f（x ）在 ，+）上单调递增，f（ x）的最小值为 f（ ）=a+ ，a + =1，2a+b=2（2）方法一：a+2btab 恒成立， t 恒成立，= + =（ + ） （2a+b ） = （1+4+ + ） ，当 a=b= 时， 取得最小值 ， t，即实数 t 的最大值为 ；方法二：a+2btab 恒成立， t 恒成立，t = + 恒成立，+ = + = ， t，即实数 t 的最大值为 ；方法三：a+2btab 恒成立，第 27 页（共 28 页）a +2（2 a）ta （2a ）恒成立，2ta 2（3+2t）a+40 恒成立，（3+2t ） 23260， t ，实数 t 的最大值为 第 28 页（共 28 页）2017 年 4 月 15 日
