1、鲁棒控制理论第三章基本概念前言本章和下一章（不确定性和鲁棒性）是最基本的。集中讨论单回路反馈系统。首先定义系统的稳定性并给出其充分必要条件，进而分析系统渐近跟踪某些信号（即阶跃和斜坡）的能力，最后我们把跟踪作为一种性能指标来讨论。不确定性问题推迟到下一章。在前一章我们用到了时间域和频率域的信号，用u(t)记时间函数，用记它的Laplace变换。当上下文仅在频率域内，我们去掉而更方便地写成u(s)；依此类推，系统的脉冲响应G(t)、相应的传递函数也可作同样的简化。)(su3.1 基本反馈回路图3.1 最基本的反馈控制系统对象敏感元件控制器r udyvn尽管性能目标是多种多样的，但总可以概括成y应
2、当接近某一预定的输入函数r。当然在外部干扰d，敏感噪声n以及对象的不确定性存在的情况下也是如此此外我们还可能要限制u的大小因为我们往往是通过v得到y的，所以通常根据量测信号v而不是y来描述系统的性能目标更有普遍意义下面的分析在频率域里进行，为简化记号，省略了表示Laplace变换的符号假定图3.1中的每一部分都是线性的，因此它的输出是输入的线性函数更特殊化，假定三个部分的输出是它们输入的和或差的线性函数对应的方框图如图3.2图3.2 基本反馈回路( )()( )yPduvFynuCrv=+=+= PFCr udyvn“良定性”（适定性，Well Postedness）“良定性”是指图3.2中所
3、有闭环传递函数都存在，即从三个外部输入到所有内部信号u，y，v以及求和点的输出之间的传递函数都存在。诸求和点的输出示于图3.3中。为获得良定性，只需考察从r，d，n到x1，x2，x3的9个传递函数PFCr udyvnx1x2x3图3.3 基本反馈回路求和点的方程表达成矩阵形式或132132xrFxxdCxxnPx= =+=+123101001Fx rCxdPxn = 112310 1110 1101 1xFr PFFrxC d C CFdPCFxPn PPn = = + PFCr udyvnx1 x2x3弱良定性当且仅当行列式1+PCF不恒等于0时，称系统是（弱）良定的。这一定义说明了系统所有
4、传递函数的存在性。强良定性当且仅当1+PCF不是严格正则时，称系统是（强）良定的。这一定义说明了系统所有传递函数的正则性（系统的可实现性）。性质：若P，C和F是正则的，并且其中之一是严格正则的，则反馈系统是强良定的。证明：不失一般性，设P是严格正则的，设则可见当P严格正则时，1+PCF一定是双正则的。证毕。在本课程中，一般假设P是严格正则的，C、F是正则的，即系统是强良定的。,P CFP CFNNNPCFDDD=1PCF PCFPCFD DD NNNPCFDDD+=3.2 内稳定(Internal Stability)仅仅看输入-输出传递函数，如从r到y，是不够的，这个传递函数可能是稳定的，因
5、而当r有界时y也有界，但可能有内部信号是无界的，这种情况可能会引起物理系统内部结构的毁坏。定义：对于基本反馈回路，当r，d，n到x1，x2，x3的所有传递函数均稳定时，称系统是内稳定的。内稳定的一个结果是：如果外部输入的幅值有界，那么x1，x2和x3以及u，y和v都是有界的。因此，对所有有界的外部信号，内稳定确保内部信号是有界的（保证系统的安全性）。例在图3.2中检验从r到y的传递函数是稳定的，但从d到y是不稳定的。因此反馈系统不是内稳定的。这种情况是由于控制器的零点和对象的极点在s=1相消引起的。() ()211, , 1sCs Ps Fss=+ ( ) ( )2211 11111ssPCF
6、ssss=+ + 21122yPCrPCFss=+ ()( )211 122yP sdPCFsss+=+ +内稳定性检验方法定理1：反馈系统是内稳定的，当且仅当没有闭环极点在定理2：反馈系统是内稳定的，当且仅当下面两个条件成立：（1）传递函数1+PCF没有零点在（2）乘积PCF在没有零极相消Re 0s将P,C,F写成互质多项式的比：反馈系统的特征多项式就是闭环极点就是特征多项式的零点Re 0sRe 0s,P CFP CFNNNPCFDDD=PCF PCFD DD NNN+Nyquist稳定判据构造PCF的Nyquist图，将围线D在虚轴上的极点处向左绕过这一点（这样就把虚轴上的极点划归到右半平
7、面）。令N表示P、C和F在的极点总数，那么反馈系统是内稳定的，当且仅当Nyquist图不通过-1点，并且逆时针包围-1点N次。DRe 0s3.3 渐近跟踪考虑如图3.4所示的单位反馈回路（F=1）我们希望研究当时间趋向无穷时系统跟踪某些试验信号的能力。PCr udyvnee为跟踪误差，当n=d=0，e等于参考输入（理想的响应）r与对象输出（实际的响应）y之差。()1, 00, 0ctrtt=()2, 00, 0ct trtt=阶跃斜坡ry的传递函数re的传递函数对于传递函数的摄动，将引起的摄动，则相对摄动的比表示了对的变化的敏感程度。1yPCTrPC=+11eSrPC=+ 1ST+=PPTT0
8、dlim/dPTT TPP PPT= TP()2d11d 11TP C PCP SP PC PCTPC+=+ 定义敏感函数Sensitivity Function闭环传递函数对的无限小摄动的灵敏度称为系统的敏感函数。定义补敏感函数Complementory Sensitivity Function称为系统的补敏感函数TP1TS= 系统渐近跟踪阶跃和斜坡的能力取决于敏感函数在原点s=0处的零点数。定理3 假定反馈系统是内稳定的，且n=d=0(1) 对于r1(阶跃)，系统渐近跟踪(t,e(t)0)，当且仅当至少有一个零点在原点。(2) 对于r2(斜坡)，系统渐近跟踪，当且仅当至少有两个个零点在原点
9、。定理的证明应用终值定理：如果是一有理Laplace变换，除了可能有一单极点在原点以外没有极点在, 那么存在且等于SSS( )ysRe 0s ( )limty t( )0limssy s定理3定理3的证明(1)由于系统是内稳定的，则是一稳定的传递函数。根据终值定理，则，即至少有一零点在原点。(2) 证明类似。() () ()() ()11, ccrs es Ssrs Ssss= S() () ()0lim 0scesSscSs =( ) ( )000es = =S()22crss=标注S有一个零点在S=0, 当且仅当有一个极点在S=0从而有：如果反馈系统是内稳定的并且或有一个极点在原点（即固有
10、的积分），那么输出y(t)将渐近跟踪任何阶跃输入。LPCLLLLLNDDSDNLLS,11+=+=故令例从r到e的传递函数等于可见s=0的开环极点成了闭环误差传递函数的零点，这一零点与的极点相消，结果在中便没有不稳定的极点。斜坡输入的情况与之类似。() ()1, 1Ps Css=1111sss=+()rs()es3.4 性能本节考察跟踪参考信号的情况。前面一节仅考虑完全渐近跟踪单一的信号，现在考察不同输入信号的集合下跟踪性能的量度。确定性能指标（即跟踪特性好坏的量度），取决于两方面的因素：我们知道多少r的信息；用什么方式来量测跟踪误差。通常r是预先未知的，但我们总是要预先知道一组可能的输入，或
11、至少也是为了设计的需要而假定预知的。输入信号一考虑任意幅值不大于1的正弦信号由则即() ( sin 0,1 ,rt a t a+() (220,1 ,ars as+( ) ( ) ( )( )( )sin arget aS j t S j =+( ) ( )sup suptet e S j S= =eS 定义权函数，则由有以为跟踪性能的量度，将性能指标进行了标称化。一般地，这种处理可视为在参考输入信号后串联了一个滤波器。()11Ws=() () ()11WsSs Ss=111WS S S e= 1WS()1Ws( )Ssr0(t)r(t)e(t)()1Ws一般为低通滤波器输入信号二考虑任意能量（在沿频率加权的意义下）不大于1的输入信号标称化地，令作为系统跟踪性能设计的指标，可保证() () () ()10 021rt W sr s r t1WSr0(t) e(t) 1022eWSr12sup eWS =11WS1e第三章总结良定性：系统传递函数的可实现性判定：开环传递函数的正则性内稳定性：系统内部所有信号的稳定性，整个系统的安全性判定：开环传递函数是否零极相消跟踪性：系统跟踪不同信号的能力判定：1WS
