1、第三章 线性系统的结构特性 1 3.4 LTI系统的规范分解 3.4.1 引言 根据对系统能控性与能观性的讨论， 注意到实际系统总是可以由以下四个子系统的部分或者全部组成，即：能控能观子系统，能控不能观子系统，不能控能观于系统以及不能控不能观子系统，如图 3-13 所示。对于任何系统，不论其动态方程为何种形式，我们都可以通过线性非奇异变换，使系统按上述四个部分实现分解，称之为系统的结构分解 图3-13 研究系统的结构分解，有助于深刻了解系统的结构持性，也有助于深入揭示状态空间描述和输入输出描述向的本质差别。 对系统进行结构分解大致可以从两方面进行。 一是通过线性非奇异变换把系统化成对角标准型或
2、者约当标准型， 然后按能控性判据和能观性判据判别各状态变量的能控性和能观性，最后按四种类型对系统进行结构分解。二是通过引入适当的线性非奇异变换，直接将系统分解成能控能观的显表达式。下面分别讨论。 3.4.2 按对角标准型或者约当标准型对系统进行结构分解 1 例 已知控制系统的动态方程如下，试对其进行结构分解。 第三章 线性系统的结构特性 2 =.XXYUX011000214000020000100003=+解： 1. 给定的系统其动态方程已经是对角线标准型，状态变量已经解耦。 2. 根据能控性判据和能观性判据容易判定：这个系统是既不完全能控又不完全能观的。 3. 结构分解： 因为状态变量已经解
3、耦， 不难看出， 状态变量12xx能控，23xx能观， 4x 则既不能控又不能观， 2x 能控又能观。 因此，可将各状态变量按cocococoXXXX顺序重新排列： 2x 既能控又能观在最上面， 1x 能控不能观排在第二， 3x 不能控但能观排在第三， 4x 既不能控又不能观排最后。即： 2134cocococoXxXxXxXx 这样，可以得到如下动态方程 22113344213410 0 0 20300 100 20 0000 4 01010xxxxuxxxxxxyxx =+=4传递函数： 第三章 线性系统的结构特性 3 12() ( )1Gs CsI A Bs= =+()Gs只表示了既能控
4、又能观子系统， 不能完全表征系统。 ABC是 ()Gs的非最小实现。 2关于能控能观概念 通过使用线性非奇异变换，可以实现结构分解。由此，将可控可观概念从定义的“状态” 点 可控可观 （扩展）到了“状态变量”可控可观。 线性非奇异变换的本质是状态变量换基底，由此可见，可控态、可观态在状态空间必将连通成为某一连通闭域。 显然，这种扩展只能针对特殊的“实现”而言。 换基底后的状态变量分为四类cocococoXXXX 相应的A,B,C结构具有某种标准结构，如其中的可控子系统（A,b）呈现可控标准型，可观子系统呈可观标准型。 3.4.3 线性非奇异变换保持了系统的能控性和能观测性 使用线性非奇异变换对
5、系统进行结构分解， 是通过引入适当的线性非奇异变换来实现的。因此，有必要首先研究系统在线性非奇异变换下的能控性和能观性是否会发生变化，结论如下。 注： X PX= 。 第三章 线性系统的结构特性 4 以上结论说明， 对系统作线性非奇异变换， 不改变系统的能控性和能观测性，也不改变其 不完全能控和不完全能观测的程度 。正是基于这点，线性系统完全可以通过线性非奇异变换来实现系统的结构分解。 3.4.4 LTI系统按能控性的结构分解 1设MIMO LTI系统X AX BUYCX =+=为n维系统，且 rankSkn。 2定理：若系统A,B,C状态不完全能控，则必可通过一个适当的线性非奇异变换P，使之
6、化为按能控性分解的显表达式 CBA , ： 11 121221200ccccCXX AABUAXcXXYCCX =+ = 其中：CX 为k维能控状态向量，CX 为（n-k）维不能控状态向量。 线性非奇异变换阵P的构造： 从可控性矩阵nmnnBAABAS= 1“ 中选出k个线性无关的列向量， 再加上任意选定的（n-k）个列向量，构成非奇异矩阵nnP使 CCXXPXPX = 第三章 线性系统的结构特性 5 第三章 线性系统的结构特性 6 第三章 线性系统的结构特性 7 3讨论： 1）能控规范分解非唯一 2）CX 的相互作用： 111 12CCCXAXAXBU=+可控子系统 CC XAX22=不可控
7、子系统 12CCYCX CX=+ 第三章 线性系统的结构特性 8 CC XAX22=不含u、CX ,无法直接、间接接受控制信息，故不可控。 传递函数阵： 1211111121221111()( ) ( ) ( ) 0()CCCYs CX CXCSIA AX BU CSIACSI A BU=+= +=U只通过可控子系统 y，与不可控子系统无关。所以u y间的传递函数阵不能反映不可控子系统的特性。 不可控子系统对系统的影响： 不可控子系统虽不影响 u y 间的 I-O 传递关系，但会影响“output Y”及系统内部状态，所以 传递函数阵 G(s)的局限 向由此可更清楚地看到。故要求不可控子系统
8、22A 仅含稳定的特征值，以保证整个系统的稳定性。 22A 稳定的含义：不可控系统本身稳定，以免损坏（烧坏） ； 不可控系统对可控制系统状态及系统输出均有影响。 3）特征值 第三章 线性系统的结构特性 9 4） 第三章 线性系统的结构特性 10 3.4.5 LTI 系统按能观性的结构分解 1、能观矩阵 ：秩为 rank V= s n。 2、定理 ：A,B,C状态不完全能观，则必可通过适当的一个线性非奇异变换，使之化为按能观性分解的表达式 CBA , ： 第三章 线性系统的结构特性 11 =+=OOOOOOXXOCYUBBXXAAAXX121222111 0其中， OX 为s维可观状态向量， O
9、X 为（n-s）为不可观状态向量。 3、线性非奇异变换T的构造： 1从可观性矩阵 nnlnCACACV=1#中选出s个线性无关行向量，再加上任意选定的（n-s）个行向量，构造非奇异矩阵nnT, 使：=OOXXTX1。 24、 OX 、 OX 的相互作用： 能观 UBXAX OO 111 +=不能观 UBXAXAX OO 222021 +=1 oYCX=第三章 线性系统的结构特性 12 从上式知，不能观子系统的 OX 不在 y 中直接出线，也不能通过 OX 在 y中间接出现，故y中无 OX 的信息，故 OX 不可观。 传递函数阵： 111111 )()()( BAsICsXCsY O= u只通过
10、可观子系统 y，传递函数阵不能反映不可观子系统的特性。 不可观子系统对系统其他部分的影响： 不能观的系统的信息局限于自身内部传递，不影响系统其他部分。但不能观的系统应稳定（特征值稳定） ，否则可能造成不能观子系统损坏（振、烧坏） ，从而影响其他部分。 （注意：数学上此时不能观部分对其他部分及 y 无任何影响，即使振、烧。但注意建模时的“主要信息” ，即忽略了次要因素。因此，A,B,C对应的实际系统中， OX 可能仍对 OX 、Y有影响。 ） 问题的关键是怎样建模。 第三章 线性系统的结构特性 13 假定：子系统 1、子系统 2 距离 1 米，二者无任何机、电连接。但子系统 2着火，可能会烧着子
11、系统1，导致系统损坏。 建模时若只考虑机、电连接，则子系统2不可控不可观； 建模时还考虑了空间热传递，则子系统2不可控但部分可观。 5、例 例15 给出线性定常系统如下，试求能观测规范分解表达式。 第三章 线性系统的结构特性 14 第三章 线性系统的结构特性 15 例16 给出线性定常系统如下，试分别求能控、能观测规范分解表达式 第三章 线性系统的结构特性 16 3.4.6 LTI系统按能控能观性的结构分解 1、定理 ：若A,B,C状态不完全能控且不完全能观，则必可通过适当的线性非奇异变换，使之化为按能控性和能观性分解的显表达式 CBA , 。 =+=OCOCOCCOOCOCOCCOOCOCO
12、CCOXXXXCCYUBBXXXXAAAAAAAAAXXXX0000000000031214443332423222113112、 OCOCOCCO XXXX 的相互作用 第三章 线性系统的结构特性 17 不能观的不能进来，否则可能导致不能观的 能观的 信息只进不出：因为能控，所以谁都可进； 因为不能观，所以只进不出， 否则本身会变能观 讲解上图。 信息只出不进：否则可能导致别的不能观的 能观的 信息能进入别的不能观的， 不能进入能观的， 否则本身会变能观 3、线性非奇异变换的构造 一次变换法：COTCOCOCOXXXXX， 涉及较多的线性代数概念。 逐步分解法：二步法 首先，按能控性分解，得
13、能控子系统和不能控子系统；然后，进一步按能观性分解，得能控能观子系统、能控不能观子系统，和不能控能观子系统、不能控不能观子系统。示意图如下所示： 系统按能观控性分解能控能观子系统 能控不能观子系统 不能控能观子系统 不能控不能观子系 统系统按能观性分解能控子系统不能控子系统系统按能控性分解第三章 线性系统的结构特性 18 或者，先按能观性分解，然后按能控性分解。 公式：见周P73 式(2-138) 或者，有如下关系： 第三章 线性系统的结构特性 19 co-1cco-1 -101cc-102coXXXT0X=T =T0TX 4、例子 例316 设有如下的不能控不能观的定常系统，将系统按能控性或
14、能观棚性分解为规范型。然后，再按能观性、能控性对系统进行结构分解。 系统不能控，其能控状态维数为2。 确定系统变换为能控规范型的变换阵： 第三章 线性系统的结构特性 20 第三章 线性系统的结构特性 21 第三章 线性系统的结构特性 22 4、传递函数阵： 卡尔曼吉伯特定理 ： 一个系统的传递函数阵G(s)所表示（特征、描述）的是该系统的既能控又能观的部分。 证：由按能控性和能观性分解的显表达式： )()()()(0)()()()()(111113113111131sUsGsUBAsICCsUBsXAAsICXCsXCsYOCOCCO=+=+=这表明，传递函数阵是系统的一种不完全表征，只有系统
15、状态完全能控且完全能观时，它才是系统的完全表征。 第三章 线性系统的结构特性 23 3.46 结构不确定性 1.传递函数的实现 (1) 传递函数的实现 ：给定系统的传递函数阵 )(sG ，其实现问题是寻找一个假想的结构 A,B,C,D，使 )()(1sGDBAsIC =+。即假想结构 A,B,C,D与给定的“黑盒” )(sG 在外部特性上一致，并把 A,B,C,D叫做G(s)的一个实现。 显然，实现与 )(sG 仅在外部特性上等价，并不反映系统的真实结构。这样一来， )(sG 的实现就不是唯一的。 从实现的定义来看，实现的维数可大于传递函数的维数。也就是说，对应于同一传递函数 )(sG ，有的
16、实现既能控又能观，有的实现能控不能观，有的实现不能控但能观，有的实现既不完全能控又不完全能观。 另外，实际系统若用传递函数表示，则可能丢失信息，即系统的有些模态在输出端不能得到反映。或者说，实际系统的既能控又能观部分才能由传递函数表示出来。 (2) 传递函数的最小实现 ：在传递函数的各种各样的实现中，状态方程维数最低的实现称之为最小实现。 若实现的维数和传递函数的阶数相等，则其为最小实现；系统 A,B,C是)(sG 的最小实现的充要条件是 A,B,C完全能控能观。 (3) G(s)的最小实现非唯一 ：比如，我们已讨论过 G(s)的四种标准型最小实现。各最小实现之间是线性非奇异变换关系，有无穷多
17、个。 2系统的结构不确定性原理 ： 仅从未知结构的 I-O 特性，比如 )(sG ，可以构造出无穷多个在外特性上与)(sG 一致的假想结构。在这些假想结构中，最小实现之间还有线性非奇异变换关系，而非最小实现连维数都可以不相同，线性非奇异变换关系自然也不存在。这样一来，仅从系统的 I-O特性就不能确定地描绘出系统的结构。这就是结构不确定性原理。 这结论突出地说明了用I-O特性表征（描述）系统结构的局限性，表明了状态空间描述的优越性。 综上所述，I-O描述有两大缺点：丢掉模态信息；结构不确定。 3含信息多少关系 ：见下图。 第三章 线性系统的结构特性 24 中、右两大框均不能确定左大框的系统结构；中、右两大框中红色箭头 表示内、外部稳定性（渐近稳定、BIBO稳定）的隐含关系。 思 ：非完全能控能观系统是否一定不能控制（不能做控制系统）？ 答 ：不一定，但控制性能可能受影响。如： UXX+=111001 XY 11= 状态不能控不能观，但输出能控，各特征值又均0，只要控制系统性能指标不高，做成控制系统问题不大。 注意：在非最优控制时，最重要的是控制输出。只要系统内部非“完全能控能观”部分没有恶性特征值，输出控制就能实现，只是性能可能差一些。
