1、第三章 控制系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析,控制系统的实际运行，都是在时域内进行的。给系统输入时间信号，系统的输出即为系统的时间响应。,控制系统的时域分析是通过研究系统在给定输入信号作用下的时间响应来评价系统的性能，在时域内分析系统的动静态特性。,第三章 控制系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析,3-1时间响应及系统性能指标,一、时间响应的概念,描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达式。任一系 统的时间响应都是由瞬态响应(Transient Response)和稳态响应(Steady-State Response)组成。,第三章 控制系
2、统的时域分析,二、典型实验信号,系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。在分析和设计控制系统时，总是预先规定一些特殊的实验输入信号，然后比较各种系统对这些实验输入信号的响应，并以此作为对各种控制系统性能进行比较的基础。,实验信号的选取原则： 1) 具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。 2) 形式尽可能简单，便于分析处理。 3) 能使系统在最不利的情况下工作。,3-1时间响应及系统性能指标,第三章 控制系统的时域分析,1.阶跃信号,3-1时间响应及系统性能指标,阶跃信号相当于一个数值为一常值的信号，在 时突然加到系统上。,第三章 控制系统的时域分析,2斜坡信
3、号,当A1时称为单位斜坡函数。这种实验信号相当于控制系统中加 入一个按恒速变化的信号，其速度为A。,3-1时间响应及系统性能指标,第三章 控制系统的时域分析,3加速度信号,该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化的信号，加速 度为A。当A1时，称为单位加速度函数。,3-1时间响应及系统性能指标,第三章 控制系统的时域分析,4脉冲信号,若对实用脉冲的宽度取趋于零的极限，则为理想单位脉冲，称作单脉冲 信号，记为,拉氏变换为：,3-1时间响应及系统性能指标,第三章 控制系统的时域分析,三、瞬态响应指标,通常，控制系统的动态性能指标，以系统对单位阶跃输入量的瞬态响应形式给出。,3-1时间响应及系
4、统性能指标,在工程实践中，评价控制系统动态性能的好坏，多用时域的几个特征量来表示。,为了评价控制系统对单位阶跃输入的瞬态响应特征，通常采用下列一些性能指标：延迟时间，上升时间，峰值时间，最大超调量以及调整时间。,第三章 控制系统的时域分析,3-1时间响应及系统性能指标,图3-2 表示性能指标的阶跃响应曲线,：延迟时间,：上升时间,：峰值时间,：最大超调量,：调整时间,第三章 控制系统的时域分析,3-1时间响应及系统性能指标,各性能指标定义如下:,第三章 控制系统的时域分析,3-1时间响应及系统性能指标,第三章 控制系统的时域分析,3-2 一阶系统的时间响应,一、一阶系统的数学模型,能用一阶微分
5、方程描述的系统称为一阶系统。一阶系统的典型形式是惯性环节。,第三章 控制系统的时域分析,3-2 一阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,二、一阶系统的单位阶跃响应,给一阶系统输入单位阶跃信号，根据式(3-1)进行拉氏反变换，求出微分方程的解即为一阶系统的单位阶跃响应。,3-2 一阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,图3-5a 一阶系统的时间响应,时间响应从零值到终值呈指数曲线上升 。曲线在t = 0的初始斜率为,可见，时间常数T是一阶系统重要的特征参数。它表征了系统过渡过程的品质，T越小，惯性越小，系统的响应越快。,系统响应的稳态值为,3-2 一阶系统的时间响应,第三章 控制
6、系统的时域分析,从图3-5a可以看出，经过三倍的时间常数，响应曲线上升到稳 态值的95%，经过四倍的时间常数，响应曲线达到稳态值的98.2%。 如果要求响应曲线保持在稳态值的5%2%的允许误差范围内，那么 系统的调整时间ts =(34)T，以此作为评价响应时间长短的标准。,3-2 一阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,三、一阶系统的单位斜坡响应,图3-5b 一阶系统的时间响应,3-2 一阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,误差信号为,3-2 一阶系统的时间响应,图3-5b 一阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,四、一阶系统的单位脉冲响应,图3-5c 一阶系统的时间
7、响应,3-2 一阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,五、线性定常系统的重要特征,系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行微分来求出；系统对原信号积分的响应，等于系统对原信号响应的积分。这是线性定常系统的特点，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特点。,3-2 一阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,3-3 二阶系统的时间响应,一、二阶系统的数学模型,图2-13,第三章 控制系统的时域分析,式中 为系统增益， ， ， 和只决定于系 统参数而与输入无关。,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,典型二阶系统的方块图及其简化形式示于图3-6a，图
8、3-6b。,a),b),图3-6 二阶系统框图,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,二、二阶系统的单位阶跃响应,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,下面分别对二阶系统在 ， ， 以 及四种情况下的瞬态响应进行讨论，假定初始状态为零。,1 ，临界阻尼情况,由式(3-12)得： ，系统有两个相重的负实数极点，如图3-7a所示。,3-3 二阶系统的时间响应,图3-7,第三章 控制系统的时域分析,这时式(3-10)变成,对上式进行拉式反变换，得到,3-3 二阶系统的时间响应,图3-7a表示了二阶系统在临界阻尼状态的单位阶跃响应，它既无超调，也无振荡。,第三章 控
9、制系统的时域分析,2 ，过阻尼情况,由式(3-12)得 ，系统有两个不相等的负实数 极点，示于图3-7b左图。,3-3 二阶系统的时间响应,图3-7 二阶系统极点分布与对应的阶跃响应,第三章 控制系统的时域分析,把式(3-10)写成部分分式,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,求上式的拉式反变换，得到,(3-14),3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,3 ，欠阻尼情况,3-3 二阶系统的时间响应,图3-7 二阶系统极点分布与对应的阶跃响应,第三章 控制系统的时域分析,3-3 二阶系统的时间响应,这时式(3-10)可以写成,求上式的拉式反变换，由拉氏变换表
10、中查出,第三章 控制系统的时域分析,其中,由上式可以看出，在欠阻尼状态下二阶系统的单位阶跃响应呈现衰减振荡过程，振荡频率是阻尼自然频率 ，其振幅按指数曲线衰减，者均由系统参数和 决定。,3-3 二阶系统的时间响应,4. ，零阻尼状态,第三章 控制系统的时域分析,从上面的分析可以看出频率 和 的物理意义。,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,3-3 二阶系统的时间响应,根据式(3-13)、式(3-14)、式(3-15)和式(3-16)，对应不同的阻尼比 ，可以画出二阶系统在单位阶跃信号下的一簇瞬态响应曲线，如图3-8 所示。,1) 当 ，二阶系统的瞬态响应具有单调上升的特性；
11、,2) 当 ，二阶系统振荡特性加强；当减小到 时，呈现出等幅振荡。,第三章 控制系统的时域分析,系统的调整时间ts，在单调上升的特性中，以 时为最短；在欠 阻尼特性中，对应 时的瞬态响应，具有比 时更短的调 整时间，而且振荡也不严重。因此，一般说来，希望二阶系统工作在 的欠阻尼状态。,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,三、二阶系统的瞬态响应指标,下面就二阶系统，当 时，推导瞬态响应各项特征指标的 计算公式。,1上升时间tr,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,图3-9 角的定义,角的几何意义示于图3-9。当 时，当 时， 。,由式(3-17)可知，当阻
12、尼比一定时，若要求上升时间tr较短，需要使系统具有较高的无阻尼自然频率n。,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,2峰值时间tp,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,阻尼振荡周期 ，故峰值时间 tp 等于阻尼振荡周期的一半。从 式(3-18)可以看出，当一定时，n越大，tp越小，反应越快；当n一定 时，越小，tp也越小。,3最大超调量Mp,由Mp的定义可知最大超调量发生在峰值时间 处，根据式 (3-15)，可以求出,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,上式表明，最大超调量只是阻尼比的函数，而与无阻尼自然频率n无 关，越小，Mp越大，当
13、时，Mp1，即,而当增大到 时， Mp 0。,4调整时间ts,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,综合上述分析，可将二阶系统的特征参量、 n 与瞬态响应各项指标间的关系归纳如下：,(1) 二阶系统的瞬态响应特性由系统的阻尼比和无阻尼自然频率n 共同决定，欲使二阶系统具有满意的瞬态响应指标，必须综合考虑和n 的影响，选取合适的和n 。,(2) 若保持不变而增大n，对超调量无影响，却可以减小峰值时间 tp、延迟时间td和调整时间ts，即可以提高系统的快速性。所以增大系统的 无阻尼自然频率对提高系统性能是有利的。,3-3 二
14、阶系统的时间响应,(3) 若保持n不变而增大值，则会使超调量Mp减小，增加相对稳定 性，减弱系统的振荡性能。在 时，随着的增大，ts减小；而在 时，随着的增大，tr、ts均增大(式(3-20)和(3-21)为近似式，精 确计算表明，在 时，ts随的增大而增大)，系统的快速性变差。,第三章 控制系统的时域分析,(4) 综合考虑系统的相对稳定性和快速性，通常取 ， 这时系统的超调量在25%到1.5%之间。若 ，系统超调严重， 相对稳定性差；若 ，则系统反应迟钝，灵敏性差。当 时，超调量( )和调整时间均较小，故称 为最佳 阻尼比。,3-3 二阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,第三章 控
15、制系统的时域分析,由此题可以看出，若采用最佳阻尼比，必须降低系统的开环放大倍数。,(3) 由于， ，求出,第三章 控制系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析,rad/s,s,s,第三章 控制系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析,2) 线性定常系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号的响应求导得出。当单位脉冲输入时，,则,第三章 控制系统的时域分析,第三章 控制系统的时域分析,当 时， ，则,进行拉氏反变换，得,第三章 控制系统的时域分析,解之，得,最大超调量为最大峰值与稳态值之差，而峰值处导数为零。,令 ，得 ，则,第三章 控制系统的时域分析,3-4 高阶系统的时间响应,一、
16、闭环主导极点,第三章 控制系统的时域分析,瞬态响应分析的前提是系统为稳定系统，全部极点都在s平面的左 半部。如果全部极点都不相同(实际系统通常皆如此)，对于单位阶跃输 入，有,(3-24),(3-25),上面诸式中， 、 分别为系统的闭环零、极点， 为极点 处的留数。系统的瞬态响应的拉氏反变换为,3-4 高阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,(3-26),由上式可知，每个闭环极点确定了一个瞬态响应分量 ， 该分量的相对重要性，由该极点处的留数 的大小和指数衰减系数 决定。,如果一个闭环极点靠近一个闭环零点，因而对应该极点 的瞬态响应项的系数就会很小，一对靠得很近的极点和零点，彼此将会
17、互相抵销 。,对应于遥远极点的瞬态响应项很小，并且衰减很快 。,3-4 高阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,闭环主导极点 ：,在高阶系统的闭环极点中，如果距虚轴最近的闭环极点，其周围没有零点，而且其他闭环极点与该极点的实部之比超过五倍以上，则这种极点称为闭环主导极点。,距虚轴较近而周围又没有零点的极点所对应的瞬态响 应项，幅度大而且衰减慢，因而在系统的瞬态响应中起主导 作用 。,3-4 高阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,二、高阶系统的瞬态响应形式,式中 。如果闭环极点是互不相同的，可将上式展成 下面的部分分式：,3-4 高阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,
18、3-4 高阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,3-5 稳定性及其代数稳定判据,控制系统能实际应用的首要条件是系统必须稳定，分析系统的稳定性是控制理论的重要组成部分。,一、稳定性的定义,稳定性：,稳定性是指控制系统在任何足够小的初始偏差 的作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否 具有逐渐恢复原平衡状态的性能。,第三章 控制系统的时域分析,3-5 稳定性及其代数稳定判据,第三章 控制系统的时域分析,二、判别线性系统稳定性的基本准则,线性系统的稳定性是系统自身的固有特性，它与系统的 输入信号无关。,3-5 稳定性及其代数稳定判据,第三章 控制系统的时域分析,3-5 稳定性及其代数稳定判据,
19、第三章 控制系统的时域分析,3-5 稳定性及其代数稳定判据,第三章 控制系统的时域分析,一个系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根全部 在s平面的左半平面（如图3-14所示）。,图3-14 复平面上的根,控制系统的特征方程式就是其传 递函数的分母等于零的方程。因此在 求得系统的传递函数后，取其分母等 于零，便可分析系统的稳定性。,3-5 稳定性及其代数稳定判据,第三章 控制系统的时域分析,三、代数稳定判据,3-5 稳定性及其代数稳定判据,代数稳定判据方法是一种不需求解系统的特征方程，而是通过对特征方程的系数进行分析来判别系统是否有正实根或具有正实部的复数根，从而确定系统是否稳定的一种代数方法
20、 。,第三章 控制系统的时域分析,1劳斯稳定判据,3-5 稳定性及其代数稳定判据,第三章 控制系统的时域分析,（3）根据劳斯计算表第一列中各项的符号，确定特征方程根中具有正实部的个数。,3-5 稳定性及其代数稳定判据,第三章 控制系统的时域分析,例3-5,解 ：,设闭环控制系统的传递函数是,判定该系统是否稳定。如不稳定，求出具有正实部的根数。,系统的特征方程是,上式各项系数均为正。列出劳斯计算表：,第三章 控制系统的时域分析,数表第一列有两次符号变化，闭环系统有两个具有正实部的根，故不稳定。,如果将特征方程解出，可得其根为,其中确有两个带正实部的根，与用劳斯判据的结果一致。,运用劳斯判据时的两
21、种特殊情况。,(1) 在劳斯计算表第一列中出现零的情况,解决办法：用一个小的正数代替0进行计算，再令0求极限 来判别第一列系数的符号。,(2) 劳斯计算表中出现某一行各项全为零的情况,解决方法：将该零行上面的一行的各项组成一个“辅助方程式”。将 该方程对s求导，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按斯 计算表的写法继续写完以后各项 。,第三章 控制系统的时域分析,例3-6,已知系统特征方程为,判别系统是否稳定并求不稳定根的数目。,解：,特征方程各项系数为正。列出劳斯计算表：,当0时， ，而 。第一列有两次 变号，故特征方程有两个正根。,第三章 控制系统的时域分析,例3-7,解：,已知控制系
22、统的特征方程如下,试判定系统的稳定性,特征方程各项系数为正。列出劳斯计算表如下：,因s3 行各项全为零，故以s4行的各项作系数，写出辅助方程如下,第三章 控制系统的时域分析,将A(s)对s求导，得,再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳斯计算表：,从劳斯计算表的第一列可以看出，各项并无符号变化，因此特征方程 无正根。但因 s3行出现全为零的情况，可见必有共轭虚根存在，这可通过 求解辅助方程A(s)得到：,第三章 控制系统的时域分析,此式的两对共轭虚根为,这两对根，同时也是原方程的根，它们位于虚轴上，因此该控制系 统处于所谓临界稳定状态。,若控制系统的特征方程缺项，或系数不全为正，则
23、系 统一定不稳定。,第三章 控制系统的时域分析,2赫尔维茨稳定判据,一个系统稳定，也就是系统特征方程式(3-31)全部根实部为负的 必要和充分条件是：,(1) 系统特征方程式(3-31)各项系数全部为正值。,(2) 将系统特征方程式各项系数排成如下的行列式：,(3-35),3-5 稳定性及其代数稳定判据,第三章 控制系统的时域分析,3-5 稳定性及其代数稳定判据,第三章 控制系统的时域分析,例3-8,解：,若已知控制系统的特征方程为,试判别系统是否稳定。,根据特征方程，列写赫尔维茨行列式,由得各子行列式：,因各子行列式都大于零，故系统稳定。,第三章 控制系统的时域分析,例3-9,解：,一个反馈
24、控制系统的特征方程为,试确定使该闭环系统稳定的K值。,可利用劳斯判据求出K值范围，劳斯表和计算过程如下：,第三章 控制系统的时域分析,3-6 误差分析与计算,本节目的,掌握稳态误差的计算方法。,研究影响误差的因素，指出提高系统精度的途径。,建立闭环控制系统的误差和稳态误差的概念。,第三章 控制系统的时域分析,一、误差与稳态误差的基本概念,1误差:,系统的误差是指被控对象的希望输出信号 与实际 输出信号 之差，即 。,系统的偏差信号，即输入信号与反馈信 号之差，能够直接或间接地反映系统的希望 输出值与实际输出值之差，而且在实际工程 系统中便于测量，因而，用系统的偏差信号 来定义系统的误差更有实际
25、意义。,误差信号的拉氏变换为,图3-15 闭环系统的误差,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,4外部扰动引起的稳态误差,图3-16 控制系统方块图,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,5内部扰动引起的稳态误差,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,二、误差计算,影响系统稳态误差的主要因素是系统
26、的结构、参数和输入信号的性质，为了计算稳态误差，需要引入系统的类型和静态误差系数的概念。,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,2静态误差系数和稳态误差计算,系统的开环放大系数K直接影响其稳态误差的大小，为了计算 稳态误差，引入静态误差系数的概念。,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,静态位置误差系数 定义为,对于0型系统,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,对于0型系统,对于型系统,对于型或高
27、于型的系统,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,图3-18为单位反馈系统对单位斜坡输入的响应曲线。其中图3- 18a、图3-18b、图3-18c分别为0型、型、型(或高于型)系统的 单位斜坡响应曲线及稳态误差。,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,对于0型系统,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,对于型系统 ，静态加速度误差系数 就是其开环放大系数K。,对于型系统,对于型或高于型的系统,图3-19为型单位反馈系统对单位加速度输入信号的响应曲线和 加速度误差。,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,各种类型系统对三种典型输入信号的稳态
28、误差列于表3-1。,图3-19 单位加速度输入的响应曲线,3-6 误差分析与计算,第三章 控制系统的时域分析,例3-10,解：,某单位反馈的电液反馈伺服系统，其开环传递函数为,试分别求出该系统对单位阶跃、等速、等加速输入时的稳态误差。,该系统的静态误差系数为,所以该系统对三种典型输入的稳态误差分别为,位置误差,速度误差,加速度误差,第三章 控制系统的时域分析,例3-11,解：,图3-20a所示系统中，设扰动信号为单位阶跃输入 ，试分别求出 和 单独作用时，系统的,稳态误差 ， 。,假定 ，扰动信号 、 分别单独作用 于系统时，其等效方块图如图3-20b、图3-20c所示。,a) 有外干扰的反馈
29、控制系统,第三章 控制系统的时域分析,b) 单独加上 的方块图,c) 单独加上 的方块图,误差信号分别为,利用终值定理求稳态误差，分别为,第三章 控制系统的时域分析,一般情况下， ，所以有,由此题可以看出，扰动信号引起的稳态误差与扰动信号 的作用点有关，误差的大小主要决定于扰动信号用点之前的 环节增益,第三章 控制系统的时域分析,例3-12,图3-21a为开环控制系统方块图。为使稳态误差 很小，调定 控制器的增益 为控制对象增益的倒数 。图3-21b为闭环控 制系统方块图。为减小稳态误差 使控制器的增益 。,由于环境变化或元件老化等原因使控制对象的静特性发生变 化 ，试分析这种变化对两种系统稳
30、态误差的影响。(假定输入量为 单位阶跃信号， ， ),图3-21 开环控制系统与闭环控制系统方块图,a),b),第三章 控制系统的时域分析,解：,对于开环系统误差信号为,则,对于闭环系统，该0型系统对单位阶跃输入的稳态误差为：,当控制对象的静特性发生变化 时，开环系统稳态误差的变为,闭环系统稳态误差的变化为,第三章 控制系统的时域分析,由于 ，所以,此时开环系统的稳态误差为,而闭环系统的稳态误差为,由上面的分析可知，开环控制系统可以由调定 而使稳态误差为零，但系统的静特性发生变化时会产生较大 的稳态误差，欲消除该稳态误差，必须重新调定 ；闭环系 统的稳态误差虽然不等于零，但只要使 ，稳态误差 就会很小，而且，当系统的静特性发生变化时，稳态误差的 变化也很小，因此闭环系统比开环系统优越。,
