1、创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下 进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确说明并表示了谢意。 本人签名： 日期： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使 用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权
2、保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容；可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。（保密的论文在解密后遵守此规定） 本人签名： 日期： 导师签名： 日期： 摘 要 在现代雷达系统的设计和研制过程中，计算机建模与仿真技术变得越来越重要。本文的目的是总结雷达杂波的模型，并且产生各种类型的杂波提供给内场仿真实验系统使用，并且提出几种雷达杂波模型，对新雷达杂波模型的建立做试探性的工作。主要工作有：把奇异值分解 -最小二乘法运用于杂波模拟，对滤波器的参数进行优化设计；提出一种归一化的杂波模型非中心化 2伽玛分布杂波模型，可以对杂波形成的物理机制作出很好的解释，而不
3、是像韦布尔分布杂波和对数正态分布仅仅对实验数据进行拟合；在雷达杂波混沌模型的基础上提出一种混沌模型杂波的模拟方法；建立了一个多样化的雷达杂波库，杂波类型包括瑞利分 布、对数正态分布、韦布尔分布、 K 分布、NG 分布等，功率谱谱型包括高斯谱、柯西谱、全极谱等。 关键词：杂波 建模与仿真 统计模型 混沌模型 Abstract Computer modelling and simulation techniques are becoming increasingly important in the design and development of modern radar systems. T
4、he main purpose of this paper is to summarize radar clutter models and generate various kinds of clutters for the laboratory simulation systems. The paper also present better simulation methods or new clutter models. The works of this paper are summarized as follows. A singular value decomposition t
5、otal least square algorithm (SVD-TLS) is applied to simulate the correlated radar clutter. A new generalized radar clutter model noncentral chi-square gamma (NG) distributed clutter model is proposed which depends on the fact that they not only produce a reasonable fit to measured clutter data, but
6、also explain their physical mechanism. Based on the chaos theory a chaotic clutter model is put forward using radial basis function network (RBFN). A radar clutter library which is able to generate various coherent or correlated clutters is built. The clutters generated with the library may be Rayle
7、igh, log-normal, Weibull, K-distributed or NG distributed, with Gaussian, Caucy or all-pole spectrum. Keyword: clutter modelling and simulation stochastic model chaotic model 目 录 第一章 绪论 1 1.1 论文产生的背景和意义 .1 1.2 国内外研究状况 .2 1.3 本文的主要工作 .3 第二章 杂波的统计模型 4 2.1 雷达杂波概述 .4 2.2 杂波的统计模拟方法 .6 2.3 瑞利分布杂波的产生 .13 2
8、.4 对数正态杂波的产生 .15 2.5 韦布尔杂波的产生 .17 2.6 相干韦布尔杂波的产生 .21 2.7 K分布杂波的产生 26 2.8 基于 SIRP 模型相干 K 分布杂波的产生 32 2.9 归一化杂波模型 .35 2.10 结语 40 第三章 杂波的混沌模型 .41 3.1 引言 41 3.2 混沌模型简介 .42 3.2 基于径向基函数的杂波模拟 .48 3.4 结语 52 结束语 54 致 谢 55 参考文献 56 附录 A 2.9 节 Ex xj的推导i59 硕士期间完成的工作 61 第一章 绪论 1 第一章 绪论 1.1 论文产生的背景和意义 在现代雷达系统的设计和研制
9、过程中，计算机 建模与仿真技术变得越来越重要。例如在雷达设计的初期，数学模型的建立可用于对系统性能进行统计性预测，而对目标和周围环境建立逼真的模型则可以用于对新的信号处理方法进行检验。 首先，在雷达研制过程中，为了检验系统的性 能，需要对雷达进行样机试验。但进行真实的雷达试验需要大量的财力物力，事实上有时并不可行。而进行内场仿真试验可以很好地解决这一问题，这时就需要建立与实际雷达环境一致的模型，用软件或硬件实现对雷达环境的模拟。其中杂波是构成雷达环境的重要部分，因此对雷达杂波的准确建模和仿真对雷达的研制起着至关重要的作用。 其次，雷达信号处理的一个重要课题就是如何 在杂波背景下检测出雷达目标，
10、杂波的模型也就是杂波的统计特性直接影响雷达最佳检测器的设计。对杂波进行建模与仿真是研究雷达最佳检测理论、设计最佳检测器结构的重要手段。 真实的世界是错综复杂的，要为其建立精确的 数学模型是一件极其困难的事情，而建立的这些数学模型通常是近似片面的。对雷达杂波的研究过程也是如此，虽然有些杂波模型能很好地拟合实验数据，但却不能从物理上给出比较好的解释。并且即使有了好的杂波模型其实现也不太容易，或者是实时性不易解决，或者是模拟手段不够充分。 本文的目的是总结雷达杂波的模型，并且产生 各种类型的杂波提供给内场仿真实验系统使用，为今后的研制或实验提供杂波数据和一些具体的模拟方法。提出几种杂波模型，为新杂波
11、模型的建立做一些探索性的工作。 2 雷达杂波的建模与仿真 1.2 国内外 研究状况 一、国外研究状况 从上个世纪 70 年代以来，学者们就一直致力于 雷达统计模型的研究。在早期的工作中，人们把杂波当成是一种高斯噪声，为杂波提供了一种结构非常简单的模型。后来通过对窄脉冲雷达的测量发现用高斯分布来描述杂波是不够的，杂波的分布函数表现出一个长长的拖尾，明显长于高斯分布模型。80 年代人们发现对数正态分布和韦布尔分布可以比较好地对数据进行拟合。 随着研究的深入，一种半实验化模型 K 分布被提了出来，到 90 年代中后期，K 分布杂波模型渐渐成熟起来，迄今为 止它是一种模拟海杂波的最好的模型，因为它不仅
12、从数据上和海杂波非常的吻合，而且它可以从物理机理上解释海杂波的成因。 另一个方面，雷达杂波的模型也在从非相干向 相干模型演化，因为雷达的最佳检测是不应该丢弃正交分量的，近十年来，相干并且相关的雷达杂波的模拟受到了广泛的关注。 90 年代中后期，人们开始尝试寻找地面、海面的特征与雷达波反射特性之间的关系。寻求从物理角度解释雷达杂波的成因，而并不仅仅使杂波在数据上与真实杂波相吻合。由此学者们开始借助混沌理论来模拟雷达杂波，通过重构相空间来建立雷达杂波的混沌模型。但这种模型发展还不十分完善，许多问题仍存在争议。 另外，目前研究得比较多的一种模型还有分形模型，它是利用杂波的自仿射性来建立杂波模型的，这
13、种模型也在探索中。 二、国内研究状况 对于雷达杂波的建模与仿真，国内的学者也进行了深入的研究，提出了一些实用的模拟方法和一些合理的模型，主要还是集中在统计模型的非相干以及相干杂波的模拟上。对于分形杂波模型，国内也有人对此进行了研究，把小波变换用于分形信号的分析，提出 了多种基于分形模型的杂波模拟方法。混沌模型杂波模拟在国内刚开始不久，学者们已经作了一些探索性的工作。 国内的许多研究已经进入实用阶段，杂波的模拟已经被运用在内场仿真系统中。另外，有些科研单位也在进行从实际地图产生真实杂波的模拟方法的研究。 第一章 绪论 3 1.3 本文的主要工作 本文主要对雷达杂波的建模与仿真方法进行研究，主要工
14、作总结如下： 1.把奇异值分解 -最小二乘法运用于杂波模拟，对滤 波器的参数进行优化设计。这种方法可以设计复系数的滤波器；有比较好的数值鲁棒性，生成的滤波器系数的模值不会大于 1， 使设计的滤波器稳定； 并且可以用来确定滤波器的阶数。 2.提出一种归一化的杂波模型非中心化 伽玛分布 （ NG） 杂波模型，这种模型不仅可以统一韦布尔分布和对数正态分布杂波，而且可以对杂波形成的物理机制作出很好的解释，而不是像韦布尔分布杂波和对数正态分布仅仅对实验数据进行拟合。 23.在雷达杂波混沌模型的基础上提出一 种混沌模型的杂波模拟方法， 此方法可以把各种杂波类型的网络参数保存下来，在产生杂波时调用这些参数便
15、可产生某种类型的杂波。 4.建立了一个多样化的雷达杂波库， 从模拟的角度对各种雷达杂波模拟方法作出分析， 杂波类型包括瑞利分布 、 对数正态分布、韦布尔分布、 K 分布、NG 分布等， 功 率谱谱型包括高斯谱、 柯西谱、 全极谱等， 这 些参数可以进行调整。 本文的结构如下：第二章雷达杂波的统计模型，包括瑞利分布、对数 正态分布、 韦布尔分布、 K 分布、 NG 分布等的模拟； 第三章雷达杂波的混沌模型。 4 雷达杂波的建模与仿真 第二章 杂波的统计模型 2.1 雷达 杂波概述 一、雷达杂波的定义 雷达杂波是雷达波束在物体表面形成的后向散 射，比如地表面、海洋表面等。其中包括：地面杂波，除由人
16、造建筑物所产生的点杂波外，通常情况下是一种分布散射现象；海杂波就是指海面的回波，它表现出更强的动态特性；另外，还有气象杂波，主要是降雨层的后向散射。 杂波在实际研究当中所扮演的角色通常要一分 为二地看待，如果我们的研究对象是海洋、地面及其动态特性，那 么此时杂波中则包含了有用的信息，杂波的特性就是我们研究的课题；另一方面，如果我们的目的是要从杂波中探测目标，比如船只、浮冰、车辆，那么杂波就是一种要被抑制的干扰源，这时杂波的特性在雷达检测性能中也同样重要。 应该指出的是杂波并不是一般意义上的噪声， 它的成因有着与噪声不同的物理机制，应该说杂波的自由度要远远小于随机噪声，尽管这些杂波表现得无比“随
17、机”。这同时也增加了正确地对杂波模拟的难度。 二、一个真实的杂波例子 为了从感性上先描述一下雷达杂波的样子，我们选取了 IPIX 雷达的一组杂波数据作为例子， 在 Matlab 编程环境下绘出了它的波形和雷达扫描显示图。 IPIX 雷达最早设计用来探测海洋中的冰山， 是 Ice Multiparameter Imaging X-Band Radar 的缩写。在于 1993 年和 1998 年升级后，此雷达的高分辨率数据成为测试智能检测算法的标准。有不少学者的文章中都引用了这个雷达的数据，并对其进行处理以此来验证自己的算法。 我们所选取的这组雷达数据是在一次在 Osborne Head Gunn
18、ery 山（ OHGR）上做的实验所采集到的， OHGR 山坐落于加拿大新斯科舍省南部的达特默思市，IPIX 雷达位于此山面向大西洋的峭壁上，海拔高度 100 英尺，面对 130的海景，地理坐标是北纬 4436.72，西经 6325.41，如图 2.1（ a）的地图所示。 图 2.1（ b）显示的是雷达扫描的图形，用采集的真实数据在 Matlab 环境下编程绘出。在图中可以清晰地看到 130的开阔的海面，中心偏左下方的深红色的奶牛湾的海岸线，以及西北方向上被山遮蔽的区域。 第二章 杂波 的统计模型 5 Osborne Head Gunnery 山雷达所在位置 奶牛海湾 a 实际地图b 雷达扫描
19、图 图 2.1 实际地图和雷达扫描图 a I 路杂波 b Q 路杂波 图 2.2 杂波波形 图 2.2 是取自上面杂波图形中的杂波信号波形，距离单元 1971 米、方位角 -8-55之间的 1000 个采样点。从以上的几幅图中可以看到雷达杂波的图形以及波形， 很明显杂波有着类似噪声一样的 波形， 但却不是没有一点关联，从图中也能看到在同一个距离单元中，不同的方位角之间的回波信号似乎有着比较强的相关性，究竟应该怎样刻画时域波形的特征和这些相关性呢？ 在知道了这些特征之后有用什么样的手段来模 拟这样一个杂波，使模拟出来的杂波在特征上逼近真实的杂波？这个问题的关键就是要建立怎样一个模型使得以上条件满
20、足，几十年来许多学者都在致力于对它的研究，并产生了一套完整的理论。 三、统计模型杂波的发展 在早期的研究工作中，并且认为存在一种特定的分布函数可以用来刻画它的幅度特征。因为基于这样的假设：雷达的照射的单元里由大量独立的散射点组成，根据中心极限定理，这种分布很自然地被认为是高斯分布的。Goldstein1把杂波当成是一种类似于噪声的信号，6 雷达杂波的建模与仿真 但事实远非如此，人们通过对窄脉冲雷达的测 量发现用高斯分布来描述杂波是不够的 2，有时雷达回波的幅度会突然出现 一个很大的尖峰，其形状像一个长钉，由此使得杂波的分布函数表现出一个长长的拖尾，这个拖尾明显长于高斯分布模型。通过分析实验数据
21、，人们发现对数正态分布和韦布尔分布 4， 5可以比较好地对数据进行拟合。从此， 人们开始尝试寻找地面、海面的特征与雷达波反射特性之间的关系。 随着研究的深入，一种半实验化模型 K 分布被提了出来 6，迄今为止，它是一种模拟海杂波的最好的模型，因为它不仅从数据上和海杂波非常的吻合，而且它可以从物理机理上解释海 杂波的成因。随后， Oliver7， 8，Armstrong9， Rangaswamy10， Blacknell11等提出了各种各样的对 K 分布雷达杂波的仿真方法。 在本章最后， 我们提出一种归一化的杂波模型非中心化 伽玛分布 （ NG）杂波模型，这种杂波模型可以统一韦布尔分布和对数正态
22、分布，并且可以对杂波的物理成因做出很好的解释。 22.2 杂波的统计模拟方法 数字信号处理理论发展到现在已经具备了非常 完善的体系，特别是对随机过程的处理，无论从理论还是实践上都有了完备的方法。如果我们把杂波也当成一个统计过程，那么就能很方便的对其进行处理。事实上，学者们在对杂波的数据做了统计分析之后，很自然的想法就是借用概率统计学的理论去分析它，于是也就产生了许多基于数字信号处理的方法。 一、需要模拟的特征量 对于一个一般意义上的随机过程 ix,1xxp， 要 对它进行刻画要用所有各个时间点上的随机变量的多维联合概率密度 ),(21,.,2NxxxxN 来描述它，因为各个低维的概率密度可以从
23、 N 维的概率密度推求得到。但如果一个随机过程是平稳的，那么概率特性不随时间平移而变化，对于这种平稳随机过程，用它的二维概率密度函数可以充分的描述它。 这也就是说如果认为杂波是一个平稳的随机过 程，那么用它的二维概率密度函数就足以刻画它了。但事实上，得到一个二维概率密度函数也并不是一件容易的事。 这时， 人 们把条件又放宽了， 认为只要是广义平稳就可以了，也就是说用它的自相关函数来刻画它似乎就可以，因为自相关函数是二维概率密度函数的 “泛函” ， 并 且分析自相关函数要简单得多， 但这样的话就必 须第二章 杂波 的统计模型 7 要同时知道杂波的一维概率密度函数。这时问题就变得明确了，用杂波的一
24、维概率密度函数和它的自相关函数可以完全地刻画一个杂波过程。 因此，我们在模拟杂波的时候，只需要产生同 时具有某种特定的概率密度和自相关函数的随机数来就可以了。而自相关函数是功率谱密度的傅立叶逆变换， 杂波模拟也就等价于 模拟同时具有特定的概率密度 （ PDF） 和功率谱密度（ PSD）的随机过程。 作为一个例子， 图 2.3 中显示了图 2.2 所示的杂波的 PDF 和 PSD。 学者们的研究表明，通常我们常用的概率密度有瑞利分布（ Rayleigh） 、对数正态分布（ lognormal） 、 韦 布尔分布 （ Weibull） 、 K 分布 （ K-distributed） 、 非中心化伽
25、玛分布（ NG）就能很好地对杂波的幅度进行模拟。 2a 实际杂波 PDF b 实际杂波 PSD 图 2.3 实际杂波 PDF 和 PSD 常用的功率谱谱型有三种：高斯谱型、柯西谱 型、全极谱型。其定义分别如下： 高斯谱型=222)(exp)(fdfffP（ 2.2.1） 式中， 为多卜勒频率，dff 是杂波谱分布的标准差。 柯西谱型cdffffP2)(11)(+= （ 2.2.2） 式中， 为多卜勒频率， 是 3 分贝处的谱宽。 dfcf全极谱型cndffffP+=11)( （ 2. 2.3） 其中 和 的定义同上， n的典型值为 25。 dfcf二、杂波模拟的方法 8 雷达杂波的建模与仿真
26、如上所述，我们在模拟杂波的时候，只需要产 生同时具有某种特定的概率密度和自相关函数的随机数来就可以了，但这却不是一件很容易的事，经过这么多年的研究，人们提出了两种方法：一种是无记忆非线性变换法（ ZMNL） ， 另一种是球不变随机过程法 （ SIRP） ， 下 面对这两种方法作一下简单的介绍。 （一） 、无记忆非线性变换法 ZMNL 方法发展的较早， 应用广泛， 它有一个 一般的步骤， 可表述如下： 1、 产生高斯白噪声序列 ； in2、 将高斯白噪声序列 通过一个线性滤波器 ，得到高斯色噪声序列 ，也就是使 各个时间点上的随机变量具有某种相关性； inix)(zHix3、 对相关高斯色噪声序
27、列 进行非线性变换， 得到具有某种概率分布的相关序列 。 ixiz将以上步骤表示为框图如下： )(kw )(ky)(kx)(zH线性 滤波 器非线 性变 换图 2.4 ZMNL 方法框图 这种方法的可贵之处是高斯白噪声通过线性滤波器后其分布仍是高 斯的。其难点是 的设计，因为非线性变换会使 的谱展宽，使得 与的自相关函数之间有很复杂的变换关系，因此不易从 的自相关函数得到 的自相关函数。所幸的是这十几年里学者们已经针对不同的非线性变换得出了许多变换关系式，这些将在后面用到。 )(zH )(ky )(kx)(ky )(kx)(ky（二） 、球不变随机过程法（ SIRP） 另一种产生相关随机序列的
28、方法是 SIRP 方法， 它是一种外生 （ exogenous）模型，它允许对杂波的边缘 PDF 和自相关函数独立进行控制，从而克服了ZMNL 方法中非线性变换对相关函数的影响。其框图如下： )(zH)(kw)(kx)(ky)(ks图 2.5 SIRP 方法框图 粗线表示复数流如图 2.5 所示， 复包络 ， 其中 是 零 均 值 复 高 斯 序 列 ， s是与 相互独立非负实平稳序列，其相关时间要远远长于 。复高斯过)()()( kskykx = )(ky )(k)(ky )(ky第二章 杂波 的统计模型 9 程 可以由复高斯白噪声通过线性波器（可为时变系统）产生，线性滤波器的结构由 的相关
29、函数确定。从另一个方面说，整个模型可以表述为相关高斯序列被一个外生的序列 调制了。 )(ky)(ky)(ks2(ku,( mnx)(2k(ks(rs)(ksy)(kx)(z)(jdeH事实上由全概率公式， 产生的序列其幅度包络 |)(|)()( kykskA = 具有如下边缘分布 12： =02222)()(2exp);( dssfskuskufA（ 2.2.4） 其中 是两个正交分量的方差， 不失一般性可以认为 具有单位均方差。从上式中可以看出，幅度分布由调制过程 s 的边缘分布 唯一确定。 )(ks)(k )(sf并且由于 和 相互独立， 的复自相关函数可以表示为： ) )(ky )(kx
30、),()() mnrmrrys= （ 2.2.5） 其中 是 的自相关函数， r 是 的复自相关函数。 因为 具有很长的相关时间， 所以对于任意时间间隔 m，)m ),( mn )(ky )(ks1)( msr 。 这样产生出来的序列 的自相关函数就与复相关高斯序列的自相关函数相等。 从上面的分析可以看出， 幅度的边缘 分布和自相关函数由可以由 （ 2.2.4）和（ 2.2.5）分别控制。注意并不是所有的幅度分布都可用这种方法产生，对于一个具有幅度分布为 的过程 ， 需要存在一个边缘分布使得 （ 2.2.4） 式成立。 经过证明 13， 常用的杂波模型中， 除对数正态分布外，其它如瑞利分布、韦
31、布尔分布、 K 分布杂波都可以用 SIRP 方法模拟。 ;( kufA)(kx 0),( ssf三、线性滤波器的设计 从上面的分析可以看出， 无论使用 ZMNL 方法还是 SIRP 方法都要用到线性滤波器的设计，也就是知道了 的自相关函数求得线性滤波器的结构。设计的方法也比较多，下面将介绍几个。 )(kyH（一） 、频率采样法 当高斯白噪声 通过线性滤波器 时， 从频域看其输出功率谱密度等于输入功率谱密度与 的模平方的乘积，即： )(kw )(zH(jdeH)()()(2wwjdyyPeHP = （ 2.2.6） 对于服从 N(0,1)分布的高斯白噪声 ， 其功率谱密度为 1， 这时如果不考虑
32、的相位可以直接对)(kw)H )(yyP 开方，得到 。 )(jdeH在知道了期望的线性滤波器的频率响应后，可以用频率采样法设计 FIR滤波器 14。对 在)(jde 2,0 区间等间隔采样 N 点得到 ，即： )(kH10 雷达杂波的建模与仿真 1,1,0|)()(2=NkeHkHkNid（ 2.2.7） 对 作 IDFT 可唯一确定有限长度序列 ，即： )(kH )(nh1,1,0)(1)(10=NnWkHNnhNkkN （ 2.2.8） 其中 就是我们实际设计出的 FIR 滤波器的单位取样响应。由频域采样定理的内插公式可以得到实际 FIR 滤波器的系统函数： )(nh=1011)(1)(
33、NkkNNzWkHNzzH （ 2.2.9） 其中kNjkNe2=W ，根据（ 2.2.9）式可以得到数字滤波器的结构： )(kwNz)0(H)1(H)1( NH0NW1NW)1( NNWN1)(ky图 2.6 FIR 滤波器的频率采样结构 这种方法计算量很小，但有一个缺点，由于 )(yyP 已经不包含相位信息，得到的滤波器参数并不包含信号的相位信息，这样在模拟复过程时（相干杂波）时就无能为力了。 （二） 、一个基于 AR 模型的 IIR 滤波器 另外还有一种方法也能构造线性滤波器， 我们可以认为相关高斯随机序列是一个 ARMA(p,q)过程， 由于一个 ARMA 过程可由一个足够高阶的 AR
34、 过程来近似， 所以可以选用计算上简单得多的 p 阶 AR 模型来模拟相关高斯随机序列。相关高斯随机序列 可表示为： )(ky() ( ) ( ) ( )nwpnynynyp=+ 11（ 2.2.10） 其中 w(n)是个均值为零、 方差为 1 的高斯白噪声， w(n)WN(0,1) 。由此可见， 只要估计出了 AR 过程的阶数 p 和参数 i便可得到相关高斯随机序列 wi。因为我们已知了 的自相关函数 ，可以通过 Yule-Walker 方程求得 )(ky )(kRyi： 第二章 杂波 的统计模型 11 =001)0()1()()1()0()1()()1()0(221*yyyyyyyyyyR
35、pRpRpRRRpRRR（ 2.2.11） 滤波器的阶数 p 可以根据需要选取，只要解上 面的线性方程组就可以得到滤波器的结构： ppzzzH+= 1111)( （ 2.2.12） 需要指出的是如果要模拟的滤波器是复系数时 ，就要解一个复系数的方程组，在实际应用中解出来的值很难保证 pii,2,1,1 =+=lilRlRpiyiy (2.2.13) 由于 AR 参数的可辨识性，即 ARMA 模型的 AR 参数可由 MYW 方程唯一确定， 因此 i可以通过求解方程 (2.2.13)得到。 但在实际的应用中， 阶数 p是未确定的， 只有 的自相关函数 R)(kyy(n) 可供利用。 这时可以构造超
36、定的扩展阶 MYW 方程估计 AR 模型自相关函数 Ry(n) 的参数，即： () ),1()(1tllqRilqRepieyeyi=+=+= (2.2.14) 其中 pe、 qe是对 p、 q 初步的估 计值，在 实际计算 中可根据 需要选择，只要满足 pep， qeq， tpe即可。则此方程的 t (pe+1)系数矩阵为： +=)()1()()1()1()2()1()()1(tpqRtqRtqRpqRqRqRpqRqRqReeyeyeyeeyeyeyeeyeyeyeR (2.2.15) 12 雷达杂波的建模与仿真 （2 ） 确定 Re的有效秩，给出 AR阶数估计 p Cadzow16证明了
37、 rank(Re)=p，这样就可以确定 AR 模型的阶数。但在实际的工程应用中很少这样做， 因为工程计算很难使 rank(Re)=p， 这就需要运用下面的奇异值分解法来确定 AR 模型的阶数。 首先把矩阵 Re作奇异值分解： Re=UV* (2.2.16) 其中 U 和 V 是酉矩阵，分别为矩阵 Re的左奇异阵和右奇异阵， *表示矩阵的共轭转置； 是一个对角阵，其主对角线上的元素是非负的，称为 Re的奇异值，并按递减次序排列： 1 2 min(t, pe+1) 0 在实际应用中可以简单地利用归一化 的奇异值来确定矩阵 Re的有效秩，令： ( )(1,min1/1+=eppptp (2.2.17
38、) p 称为归一化奇异值。选择一个接近零 的数作为门限值（例如 0.05， 0.1等） ，并 把p小于此门限的最大 p 值取为矩阵 Re的有效秩， 也就是此 AR 模型的阶数 p。 （3 ） 估计 AR模型的参数向量 i 首先定义： ()=+=pjijijppjjpe1*112)(vvS (2.2.18) 式中 是酉矩阵 V 的第 j 列上的一个加窗段，其定义为： ijvTijkpivjivjiv ),(,),1(),( +=v (2.2.19) 然后再求 S(p)的逆矩阵 S - (p)，在实际计算中很难保证 S(p)满秩，可以用 S(p)的 Moore-Penrose 逆代替。最后求出 A
39、R 模型的参数集 i，其解可由 ),1()1,1(/)1,1()()(piippi=+=SS (2.2.20) 给出。 （ 4） 当 AR 模型的阶数和参数都确定后，就可利用式 (2.2.10)递推出所求的相关高斯随机序列 wi。滤波器的结构同（ 2.2.12） 。 SVD 方法有比较好的数值鲁棒性， 可以容易保证 pii,2,1,1 =cccccxxxxp （ 2.4.1） 式中，c 是尺度参数， 表示分布的中位数；c 是形状参数， 表明分布 的偏斜度。 对于海杂波，c 从高视角 （ 4.7数量级） 和低海况条件下的 0.6dB（近似值） 变化到低视角 （大约 5） 和高海况条件下的大约 5
40、.75dB。 在地杂波中，作为雷达视角的函数大约从 3dB 到 4dB 范围内变化 17。 一、相关对数正态杂波的模拟方法 由概率论知识可以知道，对于服从正态分布 N( ln )的随机变量 w，经过非线性变换 后， 得到两参数的对数正态分布， 其概率密度如 式（ 2.4.1）所示。产生相关对数正态杂波的框图如图 2,c)exp(wx =)(Hinixiy( )Expcclniw图 2.10 对数正态杂波模型 定义相关对数正态杂波 xi序列的相关系数为 sij，正态随机序列 yi的相关系数为ij ： )()(/)(22jijijiijxDxDxExExxEs = （ 2.4.2） )()(/)(
41、22jijijiijyDyDyEyEyyE = （ 2.4.3） 16 雷达杂波的建模与仿真 其中， E 表示期望， D 表示方差。那么ij 和 sij之间存在如下关系18： 1122=cijceesij（ 2.4.4） 这个关系绘制成一个随着c （ dB）的变化曲线族，如图 2.10所示。 图 2.10 在不 同c （ dB）下 与ijsij 关系由图 2.10可以看出， 在c 比较小的情况下 （ 5以后曲线形状的变化越来越小。 第二章 杂波 的统计模型 19 图 2.13 ij 和 sij之间的随 p 变化关系 a 1pb 1p二、相关韦布尔杂波模拟中的几个问题 （一） 、相关高斯序列相关
42、系数据的计算 在应用这种方法产生韦布尔杂波时， 需要根据杂波的相关函数 sij得到高斯色噪声的自相关函数ij ， 而式 （ 2.5.5） 式给出的是从ij 变换到 sij的关系式，由于公式中用到高斯超几何函数和伽玛函数这些特殊函数，所以很难得到其反函数也就是从 sij到ij 的显式封闭解。 有一种查表法可以解决这个问题，这种方法是 事先把自相关函数之间的关系做成曲线表保存下来， 如图 2.13。 在仿真的时候查表由 sij得到相应的ij ，也可以应用一些线性插值或二次曲线插值等方法是得所得到的结果更接近真实值。在制成这张曲线表时可以根据实际需要选取合适的分辨率，已达到比较好的模拟效果。这种方法
43、实时性比较好，缺点是随着模拟精度的提高，表的数据量要求比较大。 还有一种方法是把关系曲线用多项式进行拟合。 取一条ij 和 sij关系曲线上的一些数据对，采用最小二乘法进行拟合： 112210)(+=NNsasasaas （ 2.5.6） 阶数 N 取 38 就能满足模拟的要求。这种方法需 要事先存储的数据量不大，并且实时性比较好。 （二） 、高斯超几何函数高斯超几何函数在平时的应用中比较少，函数为： );,(12=xF 当 x 的值为 0 时，高斯超几何函数的值为当 x 的值为 1 时，高斯超几何函数的值为：2F根据 20中的定义， 高斯超几何1|!)()()()()()(0+=xmxmmm
44、mm（ 2.5.7） 1)0;,(12=F （ 2.5.8） )()()()()1;,(1= （ 2.5.9） 20 雷达杂波的建模与仿真 高斯超几何函数在 |z|1 时可表示为超几何级数： +=nxnnnnxxxF!)1()1()1()1()1()1(!2)1()1()1(1),;,(212（ 2.5.10） 依照上式可以很容易的对高斯超几何函数进行模拟。为了验证算法可以取特殊值计算，令 2= ， 1= ，此时xxF=11),2;1,2(121210F，此解析解很容易计算可视为理论值，将结果绘制于下表，纵坐标是 log ： ),2;1,2( x图 2.14 超几何级数与理论值比较 从图中可以
45、看到用超几何级数的渐近表达式和理论值吻合的很好。 三、相关韦布尔杂波的模拟结果 图 2.15是对韦布尔的模拟数据， 其参数为： 概率密度参数 p=0.5， q=0.5，谱型为柯西谱型， 其 3dB宽度为 9赫兹， 截止频率取 30赫兹。 从图 2.15（ b）可 以 看出韦布尔分布长长的拖尾，与真实 PDF吻合得很好，功率谱密度也和理论值拟合得很好。 a 韦布尔杂波波形 b 韦布尔杂波 PDF第二章 杂波 的统计模型 21 c 韦布尔杂波 PSD图 2.15 相关韦布尔杂波模拟结果 2.6 相干韦布尔杂波的产生 所谓相干，简单的讲就是杂波的同相分量和正 交分量不再是独立的，而是具有一定相关性，
46、 也就是需要把杂波当成一个复信号 w=u+jv， 其 0)( kRuv。 在一般情况下，将雷达杂波模拟为一个实随机 过程是可以接受的，在相干检测时，只保留杂波的同相分量而舍弃正交分量。然而，事实上雷达的最佳检测时不应该舍弃正交分量的，这也就带来了杂波从非相干模型到相干模型的演化。但其模拟也就要复杂得多。 一、相干韦布尔杂波模型 （一） 、相干韦布尔杂波模型框架 相干 （复数） 的韦布尔随机变量 w=u+jv 可以由相干高斯随机变量 g=x+jy通过如下非线性变换得到： 2/1/1222/1/122)()(+=+=aayxyvyxxu（ 2.6.1） 其中 x 和 y 是 0 均值方差为 的联合
47、高斯随机变量。 如 图 2.16 所示， 这也是运用 ZMNL 方法， 由上式可以看出 ZMNL 变换只是改变了复随机变量的幅度，但保留了原始变量的相位。通过 ZMNL 变换， (u,v)的联合概率密度函数可表示为： 222 雷达杂波的建模与仿真 )(H1x1yxy()2()2() 211 auv图 2.16 相干韦布尔杂波模型 )(21exp)(221),(2/22212/222aavuvuavup +=（ 2.6.2） 其中， a 是形状参数，表明分布的偏斜度， 是尺度参数，表示分布的 中位数。那么所得杂波 w 的包络 |w|就是韦布尔分布满足如下概率密度分布： 2)2|exp(|2|)(|2212wwawpa=（ 2.6.3） 二、相关函数之间的关系 在应用以上模型时， ZMNL 变换会使输入变量的自相关函数按照一定的规律发生变化，选择适当的输入自相关函数，可以使产生的韦布尔杂波具有想要的自相关函数。 下面就讨论一下输出自相关函数 Rw(k)和输入自相关函数Rg(k)之间的关系。 对于相干模型， 输入与输出的自相关函数都是复数序列
