1、高考数学 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟第卷考生注意：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独
2、立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率以为半径的球体积：一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1直线与圆的位置关系为（ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离2已知复数的实部为，虚部为 2，则=（ ）A B C D 3的展开式中的系数是（ ）A16 B70 C560 D11204已知，则向量与向量的夹角是（ ）A B C D 5不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D6锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三
3、种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（ ）A B C D 7设的三个内角，向量， ，若，则=（ ）A B C D 8已知，其中，则的值为（ ）A6 B C D9已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ） A2 B3 C4 D5 10已知以为周期的函数，其中。若方程恰有 5 个实数解，则的取值范围为（ ） A B C D二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案写在答题卡相应位置上11若， ，则 12若是奇函数，则 13将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至
4、少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答） 14设， ， ， ，则数列的通项公式= 15已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分 ）设函数（）求的最小正周期 （）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值17 （本小题满分 13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中
5、：（）两种大树各成活 1 株的概率；（）成活的株数的分布列与期望 18 （本小题满分 13 分， （）问 5 分， （）问 8 分）设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线（）求的值；（）若函数，讨论的单调性 19 （本小题满分 12 分， （）问 5 分， （）问 7 分）如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面， ；为的中点， 求：（）点到平面的距离；（）二面角的大小 20 （本小题满分 12 分， （）问 5 分， （）问 7 分）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点（）若的坐标分别是，求的最大值；（）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的
6、射影，点满足条件：， 求线段的中点的轨迹方程；21 （本小题满分 12 分， （）问 5 分， （）问 7 分）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈（）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；（）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：； 绝密启用前2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、 选择题：每小题 5 分，满分 50 分 .(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C(7) C (8) D (9) B (10) B.二填空题：每小题 5 分，满分 25 分 .(11) (0,3)
7、(12) (13) 36 (14) (15) (1, )三解答题：满分 75 分 .(16)（本小题 13 分）解：（）=故的最小正周期为 T = =8()解法一：在的图象上任取一点，它关于的对称点 .由题设条件，点在的图象上，从而=当时， ，因此在区间上的最大值为解法二：因区间关于 x = 1 的对称区间为，且与的图象关于x = 1 对称，故在上的最大值为在上的最大值由（）知当时，因此在上的最大值为.(17)（本小题 13 分）解：设表示甲种大树成活 k 株，k0，1，2表示乙种大树成活 l 株，l0，1，2则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有, .据此算得, , ., , .(
8、) 所求概率为.() 解法一：的所有可能值为 0，1，2，3，4，且,= ,.综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9从而，的期望为（株）解法二：分布列的求法同上令分别表示甲乙两种树成活的株数，则故有从而知18、 （本小题 13 分）解（）因又在 x=0 处取得极限值，故从而由曲线 y=在（1，f（1） ）处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为 2，即（）由（）知，令（1）当（2）当K=1 时，g（x）在 R 上为增函数（3）方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数（19） （本小题 12 分）解法一：（）因为 AD/BC,且所以从而 A 点到平面的距
9、离等于 D 点到平面的距离。因为平面故,从而，由 AD/BC，得,又由知，从而为点 A 到平面的距离，因此在中()如答（19）图 1，过 E 电作交于点 G，又过 G 点作,交 AB 于 H，故为二面角的平面角，记为，过 E 点作 EF/BC,交于点 F,连结 GF,因平面,故.由于 E 为 BS 边中点，故,在中，,因，又故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此而在中，在中，可得，故所求二面角的大小为解法二：（）如答（19）图 2，以 S(O)为坐标原点，射线 OD,OC 分别为 x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点 A 在 xoz 平面上，因此又因 AD/BC，故 BC平面
10、CSD，即 BCS 与平面yOx 重合，从而点 A 到平面 BCS 的距离为.()易知 C(0,2,0)，D(,0,0). 因 E 为 BS 的中点.BCS 为直角三角形 ,知 设 B(0,2, )，0，则2，故 B（0，2，2） ，所以 E（0，1，1） .在 CD 上取点 G，设 G（） ，使 GECD .由故 又点 G 在直线 CD 上，即，由=（） ，则有 联立、，解得 G ,故=.又由 ADCD，所以二面角 ECDA 的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .因为=，,所以故所求的二面角的大小为 .(20)（本小题 12 分）解：（）由题设条件知焦点在 y 轴上，故设椭圆方程为（a
11、b 0 ）.设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .又易知 C，D 两点是椭圆的焦点，所以,从而，当且仅当，即点 M 的坐标为 时上式取等号，的最大值为 4 .（II）如图（20）图，设.因为，故因为所以 . 记 P 点的坐标为，因为 P 是 BQ 的中点所以 由因为 ，结合，得故动点 P 的估计方程为（21） （本小题 12 分）解：（I）因是公比为 d 的等比数列，从而 由 ，故解得或（舍去） 。因此又 。解得从而当时，当时，由是公比为 d 的等比数列得因此（II）由题意得有得 由，得， 故. 又，故有.下面反证法证明：若不然，设若取即，则由得，而由得得由得而及可推得（）与题设矛盾同理若 P=2，3，4，5 均可得（）与题设矛盾,因此为 6 的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾） ，故等号不成立，从而又，由和得因此由得知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：第 1 页 共 13 页
