1、多项式的最大公因式,教学目的与要求：,理解多项式的最大公因式的定义，掌握用辗转相除法求多项式的最大公因式，会求 ,使得,多项式的最大公因式,讲授方式：讲授,2.3多项式的最大公因式,设 是一个数域, 是 上的一元多项式环,一、 最大公因式的定义及其性质,3. 最大公因式的性质,(因此,当不计常数因子 时, 与 的最大 公因式是唯一的.将 与 的首项系数为1的最大公因式记为 ),证明:,若 为 与 的最大公因式,则有 ,于是 ,若 ,则,故 是 与 的公因式，,是 与 的一个最大公因式,若 ,由 是最大公因式 。,为 与 的最大公因式。,且,证明: 由(2)知 ,故等号成立,证明：若 ,则由知
2、,故 是 , 的一个公因式,是 , 的公因式,由此可得,若 有一个最大公因式 ,则 也是 的一个最大公因式,二、最大公因式的存在性,证明：分三步讨论：, 假设 ，显然,若 中有一个为0，比如 ，则 ，且, 最后假设 ，由带余除法可得,（1）,（2）,（3）,如此继续下去,由于所得余式的次数不断降低,所以经 过有限次后,必有余式为零,可设为,照此继续代入下去.就可以得到所要求的式子:,由性质(1)及(4)知 是 与的一个最大公因式.,又由上面(1)式,有,代入(2)式有,但是下面命题是正确的。,例：,显然 不是 与 的最大公因式,解：利用辗转相除法，有,用等式写出来，就是,而由,得,选取,三 、多项式互素,注：零多项式与任何多项式都不互素。,3. 性质,即,证明：（法一）由 ，有 （1）,且,由知： 即 ，代入（1）有,（法二）由 ，则有,，,结论成立,证明：,再由 ，故 ，由 的任意性，,知 为非零常数。,证明：设 是 的最大公因式，,则,由,而,为非零常数,知： ，又,4.最大公因式和互素的推广,易知，如果 的最大公因式存在，,并且 ，使,注：互素不一定两两互素,作业：3、5、6、8、10,
