1、高等数学复习,一、极限,例2,例 3,设f(x)在x=0的某邻域内连续,且f(0)=0,解,如果f(x)在a,b 上连续,则积分上限的函数的导数,推广:当积分上、下限都是的函数时，有以下的求导公式,解,则,例4 求极限,例5 求极限,解,则,二、导数和偏导数,例 6,解,(不写出中间变量),例 7 计算由摆线的参数方程,所确定的函数y=y(x)的导数,解,例 8,解,例9. 设,由方程,确定 ,求,解法1,方程两边对 x 求导,得,利用隐函数求导,利用公式.,令,解法2,说明：利用公式法求导时，将方程F(x,y,)=0中x,y,视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将y视作x,的函数：y=y(x,
2、).,例10,解法1,利用公式.,令,则,利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中x,y,z视作独立变量.,解法2 利用隐函数求导,方程两端关于x求偏导，得,方程两端关于y求偏导，得,说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作x,y的函数：z=z(x,y).,例 12 设 u=f(xy,yz,zx,),其中f是具有二阶偏导数的函数，求,解,例11 求,三、积分,解: 原式 =,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例12 求,解,例13,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,例14 求,（换元和分布积分法结合使用
3、）,解: 令,则,例14 求函数 的极值点，拐点，单调区间，凹凸区间.,解,(拐点）,极大值；,极小值：,拐点：,四、应用题,解: 由,得交点,平面图形的面积,平面直角坐标下图形的面积,(1)由曲线,与直线,及 x 轴所围曲,边梯形面积为 A .,其中被积表达式f(x)dx就是直角坐标下的面积元素,它表示高为f(x)、底为dx的一个矩形面积.,(2)由曲线 ,直线y=c,y=d(cd)及y轴轴所围成的曲边梯形的面积,(3)求下列曲线所围成的面积,解: 由,得交点,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,切线方程,法平面方程,
4、即,即,解:,对应的切向量为, 故,由于,例18计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),例19,解法一 利用平面束解之.,设通过直线L 的平面方程为：,将x=3,y=1,z=-2代入上式，得,解,设通过直线 平面的方程为,代入(*),得,上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体, 称为平面束.,平面束,考虑三元一次方程:,A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0, 其中l为任意常数.,1. 函数的极值问题,第一步 利用
5、必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,例20,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部
6、的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,且 的方向余弦为 , 则,方向导数：,首先计算f 在点(1,1,1)处的偏导数：,解,其次计算给定方向的方向余弦.,定义:,的微分,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,微分,全微分,解,可微与偏导数的关系:,(2) 偏导数连续,(1) 函数可微,偏导数存在,函数可微,例 22 证明函数,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,证明,由夹逼准则得，,要证明 f(x,y)在点(0,0)不可微分，即要证明,故f(x,y)在点(0,
7、0)不可微分,提示: 利用,故f 在 (0,0) 连续;,知,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,例23. 证明:,故f(x,y)在点(0,0)不可微分.,参考数学分析答案,微分中值定理,中值定理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,泰勒中值定理 :,其中,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,在泰勒公式中若取,几个初等函数的马克劳林公式,例 23 求,解,则,例 24 求,解,已知,=,练习题,一、求下列函数的导数,二、求下列极限,三、1. 求积分,2. 计算,2.求曲线,四、 应用题,极小值；,拐点：,五、解答下列各题,2. 求函数 在点(1
8、,2)处从点 到 点 的方向的方向导数 .,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,3.证明:,求,【此证明题参考数学分析答案】,7. 设f(x)在区间a,b上连续,且f(x)0,证明,(2) 方程F(x)=0在区间(a,b)内有且有一个根.,6. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,的方向导数 .,证明,因为积分上限的函数可导,知F(x)在a,b上连续,又由零 点定理可知:方程F(x)=0在(a,b)内至少有一个根;,又因 所以F(x)在上单调递增,从而 方程F(x)=0 在(a,b内仅有有一个根.,证明 由于f(x)在a,b上连续,故f(x)在a,b上存在最大值M和最小值m, 即,则有,由于f(x)在a,b上连续,由介值定理知,必存在 使得,
