1、1数码相机定位摘要数码相机定位在交通监管等方面有广泛应用，本文对数码相机双目定位中精确确定两部相机相对位置的问题进行了深入探究，首先对相机成像原理进行了分析，在假设相机严格按照小孔成像原理工作，忽略透镜畸变的影响，并进行了适当的简化后建立了精确定位圆心的像和相机标定的数学模型，解决了数码相机定位的两个关键问题。对于问题（1） ，首先依据两个公理，引出两个定理，并给予了严格的数学证明，进而推导出圆心的像在两靶圆的像的外公切线所确定的对应该圆上两切点的连线上的结论，得出在靶标上至少需要 3 个圆才能精确地确定靶标上圆心的像坐标，并根据是否进行了切点修正分别给出了切点修正前后通过 3 个圆的像确定圆
2、心的像的通用算法及其具体的坐标表达式。对于问题（2） ，首先对确定不同圆心的像坐标选取了不同组合的 3 个圆的像，然后利用这些组合解出了所有圆心的像在切点修正前后的三个像坐标，并对修正前后的像坐标的离散程度进行了分析比较，发现切点修正后的像坐标比较集中，验证了对切点进行修正可以减小误差的结论。最后对每个圆心修正后的三个像横坐标和纵坐标分别取均值，计算得出 的像心坐标分别为：,ABCDE， ，)2051.8,47.-49.,(AO)2049.157.-3.6,(BO， ，630C ,8D ).70,41.2-59.,3(EO。对于问题（3） ，利用给定的靶标上的圆心，改变圆的半径，作出一系列的同
3、心圆，圆心的像坐标也会相应的产生变化，因此本文给出的检验模型的方法为取若干个不同半径的同心圆，得到每个圆对应的圆心的像坐标，利用最小二乘法，在像平面上确定一个点，使其到这些像坐标的距离的平方和最小，然后从这点出发，分析并讨论了模型的精度和稳定性。对于问题（4） ，本文首先对世界坐标系，图像坐标系，相机坐标系的变换关系进行了推导，然后通过解线性方程组的方法确定了两固定相机与世界坐标系的原点的相对位置，从而确定了两相机的相对位置。最后对模型的可行性，合理性，科学性进行了阐述，得到对模型的整体评价以及需改进之处。关键词： 精确定位 切点修正 相机标定 2一、问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）
4、等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在
5、物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点” 。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标） ，它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图 1 所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 有人设计靶标如下，取 1 个边长为 100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为 A、C 、D、E）为圆心，12mm 为半径作圆。以 AC 边上距离 A 点 30mm处的 B 为圆心， 12mm 为半径作圆，如图 2 所示。图 2 靶标示意图 图 3 靶标的像 用一位置固定的数码相机摄得其像，如图 3 所示。需要解决的问题：（1） 建立数学模型和算法以确定靶标
6、上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y 平面平行于像平面；图 1靶 标 上 圆 的 像3（2） 对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心点到像平面的距离）是 1577 个像素单位(1 毫米约为 3.78 个像素单位)，相机分辨率为 1024768；（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、问题分析数码相机定位的最常用的方法是双目定位，精确地确定物体上的特征点在两部相机像平面上的坐标和两部相机的相对位
7、置是双目定位的关键，设计一种简便、适用、快捷、准确的系统标定方法就是模型要解决的主要问题。1. 数码相机成像原理的分析数码相机成像原理实际上就是一个光学成像过程，光学成像的理论是小孔成像模型。其原理图如图4所示：cYcXwYwXZyxcZ(,)cPXYO1op图4 小孔成像原理图空间任何一点 在图像上的成像位置可以用针孔模型近似表示，即任何点P在图像上的投影位置 ，为 点和 点的连线 与图像平面的交点，这种PpOPO关系也称为中心射影或透视投影。 点称为相机光心， 轴和 轴与图像平面cXcY的 轴与 轴平行， 轴为相机的光轴，它与图像平面垂直。光轴与图像平面xycZ的交点，即为图像坐标系的原点
8、，由点 与 ， ， 轴组成的直角坐标系cYcZ称为相机坐标系， 为相机相距。1o2. 具体问题的分析对于问题一，依据小孔成像原理，物平面上任意一点，在像平面上都有唯一像与之对应，因此对于靶标上圆的圆心，也可以在像平面上找到圆心的像。题中要求通过靶标上圆在像平面上的像的具体大小形状确定圆心的像坐标，由于空间物体在像平面上产生像的原理非常复杂，而且靶标上圆在像平面上的像4为不规则图形，无法通过单个圆的像确定单个圆心的像，因此可以考虑利用多个圆的像的大小、形状及其相对位置确定圆心的像坐标。对于问题二，要求根据图中给出的靶标的像，确定 5 个圆心在像平面上的像坐标，可以通过问题一确定圆心的像的通用算法
9、确定，不过此时确定一个圆心的像坐标时，在其余 4 个圆的像中任取 2 个进行组合都可以确定一个圆心的像坐标，但有些组合所算出的误差可能很大，计算时，可以不用考虑这些组合。对算出来的几个坐标横坐标、纵坐标取均值确定误差较小的圆心像坐标。对于问题三，要求设计一种方法检验计算圆心的像坐标的方法的模型，并讨论精度及其稳定性，根据分析可以发现，对于靶标上的圆心，如果半径的长度产生了变化，圆心的像也会变化，因此可以利用此关系，确定检验模型的方法。对于问题四，靶标已经固定，对于一个相机位置可以通过题二中的方法求出任意一个圆心的像坐标，因此也就可以确定光学中心与此圆心的空间位置关系，同理，另一相机的光学中心与
10、此圆心的空间坐标也可以按照相同方法确定，因此两个固定相机相对位置关系也就确定了。三、基本假设1. 假设相机工作正常，其内部组件都是标准组件，组成光学系统的光学镜头的光轴完全共线；2. 假设透镜畸变对像的形变影响可以忽略；3. 假设照相机系统严格按照小孔成像原理工作；4. 假设所有相机的像距为已知。四、符号说明,ijW分别表示靶标上圆 和圆 的两外公切线确定的圆 上的两个切点；ij iijp分别表示切点 的像；,ijw,ijx分别表示在相机坐标系下， 的横坐标；,ijpijy分别表示在相机坐标系下， 的纵坐标；ijijk表示直线 的斜率；ijpf表示相机的焦距；l表示相机的像距；iO表示圆 的圆
11、心的像；i5(,)xyz表示像在相机坐标系中的坐标；w表示物在世界坐标系中的坐标；R表示坐标旋转矩阵；,Txyzt表示世界坐标系原点在相机坐标系中的坐标；,xyd分别表示一个像素在 X 与 Y 方向上的物理尺寸；0157(,)3.8uv表示图像中心在相机坐标系中的坐标；(,).表示像在相机坐标系中的坐标； xys分别表示 X 与 Y 方向上单位长度的像素个数；,f分别表示 X 和 Y 方向的等效焦距。五、模型的建立与求解（一）第一问的求解1. 圆心像位置的确定（1）为了确定圆心像的位置，首先引入以下两个公理：公理 1 靶标上的点和像平面上的点为一一对应的关系。公理 2 靶标上任意一条直线的像是
12、直线，且靶标上的这条直线上的点都在直线的像上。 1圆 圆 21像 像 212p122121p12W122121W6图 5 如图 5 所示， 、 为靶标上圆的外公切线， 、 、 、12W12 12W12为对应的切点。 、 两圆像的外公切线， 、 、 、 为21ppp对应的切点。（2）引入以下两个定理：定理 1 直线 ， 的像分别为直线 ， ，且 ，1212 121212， ， 为 ， ， ， 的像。21p2定理 2 圆 1 和圆 2 圆心的像分别在 和 上。12p21定理 1 的推导：由公理 1 可得靶标上外公切线的像与圆周的像肯定存在交点，如果交点为一个点，说明公切线的像与圆的像相切，即定理
13、1 成立，如果为两个交点，说明定理 2 不成立。下面利用反证法证明靶标上的像和切线的像只有一个交点：假设直线 的像与像 1 有两个交点，记为 , 。根据公理 1，圆周 112WQ2上的点与像 1 的边界点存在一一对应的关系，即在靶标上有两个点分别对应 ,Q两像点，即 与圆 1 有两个交点，这与 是圆 1 和圆 2 的外公切线2Q2 12W相矛盾，所以可以认为假设不成立，即定理 1 成立。定理 2 的推导：显然，圆 1 的圆心在 上，根据公理 2 及定理 1，圆心的像将落在直线12的像（即直线 ）上，即定理 2 得证。12Wp（3）圆心像位置的确定由定理 2 可知，圆心的像已初步定位在了 上，如
14、果能再求出一条直12p径的像，这个像也应为一条直线，圆心的像应该也会落在这条直线上，即圆心的像为此直线与 的交点。因此需要再在靶标上取一个圆，设为圆 3，在像12p平面上的像为像 3， 、 为圆 1 和圆 3 的的外公切线的切点中在圆 1 上的两3个切点的像， 、 为圆 1 和圆 3 的的外公切线的切点中在圆 3 上的两个切1点的像。在像平面上各点的像位置如图 6 所示。 xy1像 2像 3像 2p1233O1p2131p31p图 6 圆心的像确定原理图7根据以上分析，直线 和直线 的的交点即为所要求的圆 1 的圆心12p13p的像。2. 像的边界点的提取由于在靶标上圆内的点距相机的光学中心的
15、距离不同，通过照相机原理可知，在照相机拍摄后，在像平面内产生的各圆的像为不规则的图形，要求靶标上圆心的像坐标，为表述方便，需定义以下名词： 有效点：所摄得的像中含有靶标上圆的点的像；无效点：所摄得的像中没有靶标上圆的点的像；边界点：与无效点邻接的有效点；内点：除边界点外的有效点；以上定义的有效点、无效点、边界点其实质是像平面上的像素单位，即将向平面上所有的像素分为以上三类，如图 7，表示有效点、无效点、边界点的定义（图中白色表示无效点，黑色表示内点，灰色表示边界点，黑色和灰色即为有效点） 。 1 1 1 1 11 1 0 1 11 0 0 0 11 1 0 1 11 1 1 1 1图 7 像素
16、的分类图利用 3软件的 函数首先将像平面转化成 0-1 矩阵，1 表示MATLBimread无效点，0 表示有效点，把内点的 0 改成 1 即可得到所有边界点构成的离散图，由于以靶标上以圆为研究对象，通过光学成像原理可以推得离散图的形状为一个不规则的图形。对于靶平面上任意三个半径相同的圆在像平面上的像，可以通过以上方法将边界点提取出来。3. 坐标系的建立像平面上各离散点只能说明各点在像平面上的位置，要计算圆心在像平面上的像坐标，还需建立确切的坐标系。以相机的光学中心为坐标系的原点，以平行于像的长为 轴，平行于像的宽为 轴按照右手定则建立直角坐标系，称xy此坐标系为相机坐标系。直角坐标系如图 8
17、 所示。 8xyz图 8 相机坐标系4. 切点的确定 由于像是由像素单位组成，所以靶标上圆周的像并不平滑，而且所提取的边界点为离散的点，即可能按照平滑的曲线算出的切点并不在实际存在的边界点上，所以无法简单的利用直线与曲线的唯一交点来定义切点，为解决此问题，可以近似的按照如下搜索方法确定像 1 和像 2 外公切线的切点 和 ：12p（1）在像 1 和像 2 的边界点中分别任取 1 个点；（2）如果像 1 和像 2 其它边界点，都在所取的两个点确定的直线的一侧，即可认为所取的两个点即为 和 ，否则放弃所取的两个点，重新取两12p个边界点，按照同样方法判断，直到满足条件为止。按照以上搜索方法，则可确
18、定任意两个像的外公切线的切点位置。5. 切点的修正对于 4 中确定的切点是在边界点为离散的点的情况下通过确定切线得到的，这种方法确定的切线会产生一定偏差，使得获得的切点也会与实际切点产生偏差。如果对在离散情况下确定的切点及其附近的边界点进行拟合，然后对切点进行修正，那么以此方法确定的圆心的像坐标将会更精确。以切点 和切点12p的修正为例，其修正的具体操作步骤如下：21p（1）对于 4 中得到的切点 、 ，在 两侧各取 10 个边界点，对这12p12p21 个点进行圆拟合 4，得圆 。同样，在 两侧各取 10 个边界点，并对这O21 个点进行圆拟合，得圆 。2（2）圆 ，圆 的外公切线对应的切点
19、中分别距 ， 最近的两个切1 12p点可认为是修正后的两个切点，记为 ， 。12R按照以上的修正步骤可以对所有（3）中得到的切点进行修正。6切点修正前圆心像坐标的确定按照切点的搜索方法可以搜索出像 1 和像 2 的外公切线上的四个切点坐标分别为 ， ， ， （ 为相机的12(,)pxyl21(,)pxyl(,)pxyl21(,)pxyl像距） 。则直线 方程为：19（1）1212()ykxzl（其中 为直线 的斜率， ）12k12p 12yx同理可以搜索出像 1 和像 3 的外公切线上的四个切点的坐标为 、13(,)pxyl， ， 。则直线 方程为：31(,)pxyl3(,)pxyl13(,)
20、xyl13p（2）1(kxzl（其中 表示直线 的斜率， ）13k13p 13yx靶标上圆心在像平面上的像即为 和 的交点，即圆心的像坐标为213p方程（1）和（2）联立组成方程组的并可解得圆心的像坐标为： 132131132131212(, ,)ykxykxOykxl7. 切点修正后圆心像坐标的确定对 6 中得到的切点进行修正，得到 （或 ）修正后(,)ijijpxyz(,)ijijpxyz的切点 （或 ） ，靶标上的圆的圆心的像坐标同（5）(,)ijijRXYZ(,)ijijRXYZ中的求解，即切点修正后圆心的像坐标为： 13212131321213212, ,)KYKXOKl(其中 ,
21、分别表示直线 , 的斜率， ,12331R1212Y)1313YX（二）第二问的求解图 3 中靶标给定了标靶上 5 个圆的像，而根据第一问的算法，靶标上只需3 个圆即可相互确定各个圆心的像坐标，因此对于图 3 中靶标上的圆心的像可以确定多个像坐标，又发现图 2 中 点在 直线上，如果还利用第一问的算BAC法，由于圆的像中连切点的连线的夹角可能很小，这样确定的圆心的像误差将比较大。因此在确定 的像时，不考虑圆 的像的位置，在确定 的像,ACDEB时，不考虑离 较近的圆 的像的位置。B根据以上分析，确定靶标上任意一个圆心的像时，都有另外两个圆的像起辅助计算的作用，如确定圆 A 的圆心在像平面上的像
22、坐标，则以下 3 个组合的圆的像都可以求出一个圆 A 的圆心的像坐标：,CEAD10根据第一问的模型，对于以上 3 个组合，都可以解出一个 A 的像坐标。 同理，可以分别解出 的三组像坐标。切点修正前，各圆心的像坐,BCDE标的计算结果如表 1 所示：表 1 切点修正前圆心的像坐标坐标 1 坐标 2 坐标 3AO(-49.76，51.63) (-49.84，51.19) (-50.23，51.24)B(-24.50，48.47) (-24.29，49.44) (-23.41，49.07)C(34.67，44.22) (34.62，44.01) (34.44，44.25)DO(18.75，-32
23、.14) (21.24，-30.21) (20.82，-32.26)E(-59.52，-31.91)(-59.05，-31.93)(-59.13，-32.32)切点修正后各圆心后，各圆心的像坐标的计算结果如表 2 所示：表 2 切点修正后圆心的像坐标坐标 1 坐标 2 坐标 3AO(-50.00,51.17) (-50.00,51.19) (-49.98,51.19)B(-23.78,49.04) (-23.74,49.25) (-23.56,49.17)C(34.08,44.69) (34.06,44.58) (33.97,44.70)DO(18.77,-31.86) (19.92,-30.
24、95) (19.74,-31.89)E(-59.92,-31.69) (-59.89,-31.69) (-59.90,-31.71)观察表 1 和表 2 中的像坐标可以发现：切点修正前得到的圆心的 3 个像比较分散，切点修正后得到的圆心的三个像比较集中，验证了切点修正可以提高计算的精度的结论,如图 9 所示为 点在切点修正前(左)与切点修正后（右）取D得 3 个圆心的像示意图。11图 9 根据以上解法，对于一个圆心的像坐标有 3 个解，为了减小误差，可以分别取 3 个解的横坐标和纵坐标的平均值做为圆心的像坐标，通过计算可以得到5 个圆心的像坐标为： )2051.8,47.-49.,(AO236
25、B.,0,C)-(D.7,41.2059.,E（三）第三问的求解首先对第一问中确定圆心的像坐标的算法误差进行分析。由于在建立模型时忽略了透镜畸变的影响，如果分辨率足够高，使得圆周的像可以认为是连续光滑的曲线，那么可以认为模型中确定的切点即为此曲线的切点，此时模型的误差非常小。所以说模型的误差可以认为完全是由边界点的离散特性造成的。对于耙标平面上的一个圆的圆心在像平面上肯定能够找到唯一对应的像，根据求解第一问的模型求出的圆的圆心的像与实际的像肯定存在偏差，为设计一种方法检验模型的精度与稳定性，对于问题一中求解模型的方法，可以采用改变靶标上圆的半径方法，即对于问题一中求解圆心像的坐标方法，对应于一
26、个半径可以求出一个圆心的像坐标，如果取若干个半径，则可以求出若干个圆的像坐标。对应于靶标上的圆，可以取 20 个半径长度进行研究，假设所取得的半径长度为 , , 在像平面上可以得到 20 个像坐标，记为0r02r019r, , , 。在像平面上利用最小11()oxyz()xyz33(,)oxyz2020(,)oxyz二乘法可以确定距 20 个圆心的像的距离平方和最小的点，记为 ，并(,)oxyz可以得到残差 。那么残差的大小就可以反映模型的精度，残差越小，说明精d度越高，残差越大，说明模型的精度越低。对于方法的稳定性的讨论，那么必须依据所取半径的具体长短来确定，假如所取的半径长度很短，使得圆在
27、像平面上的像只有几个像素点，那么虽然模型中采取圆拟合边界点的方法消除误差，但是所参与拟合的边界点很少，使得拟合曲线并不能够反映边界点，如用此拟合曲线确定的切点将产生比较大的误差，从而以此半径确定的圆心像坐标的偏差比较大。假如所取的半径长度很长，使产生的像的曲率很小，则边界点可能出现很长一段边界点都在一条直线上的情况，以此半径确定的圆心的像坐标的偏差也比较大。根据以上分析。可以确定了方法的适用范围为靶标上圆的半径不能太长，12也不能太短，此时，按此方法的计算的结果是稳定的。如果半径取得过长或过短，按此方法的计算的结果将偏差很大，认为此方法是不稳定的。（四）第四问的求解 12对于靶标，以及给定的两
28、部相机，可以得到五个圆在两个相机中的像平面中的位置，大小，形状。根据前三问的求解，可以分别得到五个圆的圆心A、B、 C、D 、E 在两个相机的像在两个相机坐标系下的坐标。根据这些信息，就可以确定两部相机的相对位置，为表述方便，需要建立世界坐标系。定义了上述各种空间坐标系后，就可以建立两两不同坐标变换之间的关系。1. 世界坐标系与相机坐标系变换关系世界坐标系中的点到相机坐标系变换可由一个正交变换矩阵 R 和一个平移变换矩阵 T 表示为： 12133 r wwxxyRTyTz z齐次坐标表示为： 01wTxxyyzz其中， 是世界坐标系原点在相机坐标系中的坐标，矩阵 R 是正交,Txyzt旋转矩阵
29、，其矩阵元素满足（3）2211322313r正交旋转矩阵实际上只含 3 个独立变量，再加上 ，总共有六个参数决定,xyzt了相机光轴在世界坐标系中空间位置，因此这六个参数称为相机外部参数。2. 图像坐标系与相机坐标系变换关系如图 4 所示，相机坐标系中的物点 P 在图像物理坐标系中像点 坐标为uP/1573.8XfxzYyZ13齐次坐标表示为： 0157 1 3.8xXfyzYz将上式的图像坐标系进一步转化为图像坐标系 0/xyuXdsvY齐次坐标表示为： 0 157157 3.83.8xysuuvvY其中， 是图像中心（光轴与图像平面的交点）坐标， 分别为一0,uv ,xyd个像素在 X 与
30、 Y 方向上的物理尺寸， 分别为 X 与 Y 方向上/, =/xxysd的采样频率，即单位长度的像素个数。由此可得物点 P 与图像像素坐标系中像点 P 的变换关系0/xxyyufszfv其中， 分别定义为 X 和 Y 方向的等效焦距。 等,xyfsf 0,xyfuv4 个参数只与相机内部结构有关，因此称为相机内部参数。3. 世界坐标系与图像坐标系变换关系（共线方程）世界坐标系与图像坐标系变换关系： 012133213wwxx yywwXurrztfyYvfrrzt齐次坐标表示为： 0 1157157 3.83.8x wyTxfuuRyzvvz由于光轴穿过图像中心，单位长度的像素个数为 3.78
31、，上式可表示为：14112132231323.78 . .78 . 1555r r r 13.wxyzfffftuzv t 其中， 是空间三维点的世界坐标， 为相应的图像坐(,)wxyz 7(,).8uv标，整理消去 后，得到如下线性方程：1121331323571573.78+78+.rrr .8.8wxwwwzfrffrftuzyzut22 7wy zxyzvvvv即给定任意一个世界坐标系中的点都有以上两等式成立，对于题中给出的靶标，可得 5 个圆心的世界坐标，及其对应的像在相机坐标系下的坐标，将这5 组数据带入上式，可以得到 10 个线性方程，联立（3）式的三个方程，得到有 13 个方程
32、的方程组，其中有 13 个未知数：、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 。解此方程组可得f1r213r2r21r32rxtyzt世界坐标系的原点在相机坐标系下的坐标，即确定了相机与世界坐标系的原点的相对位置。按照同样的算法，可以确定另一相机与世界坐标系的原点的相对位置。因此两相机的相对位置也就确定了。六、模型的推广通过对题目的解读，可以发现这是一类利用光学原理进行精确定位的问题。本模型对双目定位的实现的前提条件即精确确定两部相机的相对位置进行了探究。仔细分析本模型不难发现：这个模型不仅仅适用于数码相机的精确定位，它对其它实际中的问题都可以起到指导作用。本模型的原理可以广泛应用于四个领
33、域：机器人导航、微操作系统的参数检测、三维测量和虚拟现实。比如说在军事方面，对多基雷达自身坐标的定位，飞机自身坐标及其可疑飞行物坐标的确定，军事地形地势测定等领域都可以利用本模型利用光学原理解决，较一般情况下利用超声波解决类似问题的效率高，而且具有更高的准确度。在测量测绘方面，应用传统的测定方法，计算工作量较大，且出错率高，返工现象较严重，如果利用本模型的原理利用光学仪器测量能够很好地满足对测量精度的要求。七、模型的评价与改进（一）模型的优点：1. 本模型成功的解决了复杂的数码相机的双目定位问题，求解过程中充分考虑了实际情况，并进行了适当的简化，建立了精确定位圆心的像和相机标定的数学模型，给出
34、了靶标上任意一圆心的像坐标的15通用表达式，本模型具有很高的实用价值。2. 模型在确定圆心的像时所用的方法比较巧妙，而且符合实际，利用平面几何知识求解，避开了繁琐的光学成像过程，在第二问中得到了比较满意的五个圆心的像坐标。3. 在确定外公切线的切点时，对搜索得到的切点进行修正，即利用圆拟合部分边界点，获得更加符合要求的切点，有效的降低了在确定圆心的像坐标时由于边界点的离散性产生的误差。4. 模型的理论推导严谨，在确定圆心的位置时都有严格的数学证明和理论推导。（二）模型的缺点：在第三问的求解过程中，模型在对方法的精度分析及稳定性讨论时，只是定性的分析误差产生的原因，精度的判定标准及引起方法不稳定
35、的条件，没有对方法的精度和稳定性进行定量的讨论，这是本模型缺点也是本模型的遗憾。（三）模型的改进方向：1. 在确定圆心的像坐标时，可以利用光学成像原理，通过找出标靶上的点与其在像平面上的像坐标的具体函数关系，确定圆心的像坐标，这种方法实现起来很困难，但所得的结果的精度将很高。2. 可以用曲线对所有的边界点进行拟合，然后在通过拟合曲线确定公切线的切点，此方法确定的圆心像坐标也可能有很高的精度。八、参考文献1 摄像机标定， http:/www.china- 张艳珍，欧宋瑛，一种新的摄像机线性标定方法J，中国图像图形学报，2001，6(8)： 272-731。3 张志涌等，精通 版，北京：北京航空航天大学出版社，2003。6.5MATLB4 胡永孚，数学模型，西安：西北大学出版社，1994。16
