1、学院 姓名 学号 任课老师 选课号 密封线以内答题无效第 页 共 页1. （10 分）随机变量 彼此独立，且特征函数分别为 ，12,X12(),v求下列随机变量的特征函数： （1） （2）1212536X解：（1） 1212()jvXjvjjvXXEeeEe1212 12()jvjv和 独 立（2）12 12536536()jvXjvXjvjvXEeEee1253612jvXjvjv和 独 立62()jve2. （10 分）取值 ，概率 的独立 二进制传输信号 ，时隙长度为 ，问：1,0.4,6半 随 机 ()XtT（1） 信号的均值函数 ；EXt（2） 信号的自相关函数 ；,R（3） 信号的
2、一维概率密度函数 。;Xfxt解：（1） 10.4.602Xt(2) 当 在同一个时隙时：,222(,)()()10.6().41XRtEttEt当 不在同一个时隙时：, ()()()()0.2.4XttXttXt（3） ;610.1Xfxtxx3. （10 分）随机信号 ， ，其中 为常数， 为在 上均匀分布的随机变量。0()sin)Xtt0cosYtt0-,（1） 试判断 和 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；tYt（2） 试判断 和 是否联合广义平稳。解：（1） 由于 和 包含同一随机变量 ，因此非独立。X(t)Yt根据题意有 。12f，0E(t)sin(wt)d 012EY
3、(t)cos(wt)d学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封线以内答.题无. .效第 页 共 6 页 212121201020020120120124XYXYC(t,)R(t,)E(t)YEsin(wt)cos(t)sinwcosdi(t)in(t)sin(t) 由于 ， 和 在同一时刻线性无关。XYCt,)tY(t)除 外的其他不同时刻 ， 和 线性相关。12k120XC,t)1(t)2Yt， 和 在同一时刻正交。0XYRt,E(t)(除 外的其他不同时刻 ， 和 非正交。12k12Et)Y(1X(t)2t（2） 由于 ， 和 均值平稳。(t)Y(t)X120102012012
4、0412XR,Esinwsi(t)(t)dcostcosw(t)dw(t)()同理可得 ，因此 和 均广义平稳。1212YXRt,t,(tYt)由于 ，因此 和 联合广义平稳。0120XY()C()sinwsin(w)X(t)Yt4. （10 分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中 均为常数）？如果不能，请写出理由。c（1） （2）cos() |()40 R其 cos() |() 20 R其（3） （4）s() |10() c其 ()=cs) |解：（1）不能，因为零点连续，而 点不连续。4（2）能。（3）不能，因为 ，而 又不是 的周期函数。02R()R()2（4）能
5、。5. （10 分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的双边功率谱密度 ，求系统输出噪声的功01 W/Hz2N率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封线以内答.题无. .效第 页 共 6 页 3L =1HR =1输入端输出端解：系统的传递函数为 ，1RHjjL则系统输出功率谱密度为 。2221YXSHj输出噪声的自相关函数为12Re输出噪声总功率为 0NYP()W)6. （10 分）设随机信号 ，其中 为常数， 均为零均值的平稳随机过程，()()sinZtXtYt00co0()XtY和并且相互正交。问：（1） 是否联合广义平稳
6、？()XtY和（2） 假如 ， 是否为广义平稳的随机信号？ ()R=Zt证明： （1）由于 相互正交，所以 ，与 t 无关 ()tY和 (,)(,)0XYYXRtt又因为 均为零均值的平稳随机过程，所以 是联合广义平稳随机信号。()Xt和 (和（2）假如 ，()XYR=()sin0EZtttt0co常 数(,)(Z )()si()()sinXttYttXttYt0000sco()EEYcosi()()()Ytttttttt0000inii由于 相互正交，所以 ()X和 XX,()()()()ZRtEttttEYttt0000cossini()XYR00cosini，与 t 无关 ()Y所以 是
7、广义平稳的随机信号。()Zt7. （10 分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。 （1） （2）29()6S= 24()109S=学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封线以内答.题无. .效第 页 共 6 页 4（3） （4）210()S ()2S=解：（1） 不可以。不是偶函数。（2） 可以。 ，所以422211()099S=，所以 P=R(0)=1/33Re1（3） 可以。 ()2PSd（4） 可以。 18. （10 分）某语音随机信号 满足广义各态历经性，现将该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义
8、各态()Xt历经的加性高斯白噪声 。讨论：N（1） 收到的信号 的均值各态历经性；()()Ytt（2） 满足广义各态历经性的条件。()t解：（1）由 满足广义各态历经性，所以 广义平稳且满足：()Xt ()Xt1()lim02()(TTEtAttd， 与 无 关同理， 广义平稳且满足：)Nt1()li()02TToEtAtNtd由于 与 是独立的，所以： ()XtNt()XEYtm(,)()()XNRt tNR 所以 是广义平稳的。且有： ()()()XAYtAttEXtNtm由于 ，所以 是均值各态历经的。()()XEYtAtm()t（2） ()()()()( ()tttNtXtXANtAt
9、Xt )( ()NAttRt假如 ，则 是广义各态历经的。 ()()0ttXtN()Yt学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封线以内答.题无. .效第 页 共 6 页 59. （10 分）已知平稳随机信号 的功率谱密度 。 通过频率响应为 的系统后得()Xt 24()XS()Xt 1()Hj到 。求：()Yt（1） 的均值、平均功率；（2） 系统的等效噪声带宽； （3） 信号 的矩形等效带宽。 ()Yt解: (1) 2 124XRFe， ()0m22()()XXCRmeYXH2222414()() 31S13YRe(0)P（2） 2 221()1thHrteu202()4YhNr
10、BRjNH（3）(0)126eqRS10. （10 分） 所表示的零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度 如右图所00()cos(2)(sin2)NtXftYft设 ()NSf示，若 为 100Hz，试求：0f（1） 随机信号 的一维概率密度函数；()t（2） ；(XYR和（3） 的两个正交分量的联合概率密度函数。 )Nt解： 也是高斯的tt00sin)(cos(tYX,依题 EtXE)(24)97103(2022 wdfSRNYN (1) 8exp42exp41; nntnf （2） =100Hz0f根据 X(t)和 Y(t)的性质知 )()()( 00NNXSSLP且 0N则可得 ， 如图)(XYR)(fX学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封线以内答.题无. .效第 页 共 6 页 6求 的傅立叶反变换可得)(fSX 2321()()sin644j jfXXjfRedSeded(3) 21;exp482Xfxt2;Yyfyt关于 对称, 在任意时刻正交,不相关,独立.NS0tYX212121,;exp4848XYY yfxytfxtfyt
