1、12.12.22.3 掷一枚硬币定义一个随机过程： cos()2tXt出 现 正 面出 现 反 面设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：（1） 的一维分布函数 ，()Xt (,12)XFx；(,Fx（2） 的二维分布函数 ； ()t 12(,;,1)Xx（3）画出上述分布函数的图形。2.3 解：（1）一维分布为: (;0.5).0.51XFxuxux;1.1.22(2) cos()2tXt出 现 正 面出 现 反 面(0.5),(1),0.5.,2,.XX依 概 率 发 生依 概 率 发 生二维分布函数为 12 1212(,;0.5,).,0.5,Fxuxux2.4 假定二进制数据序列
2、B(n), n=1, 2, 3,.是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量 B(n)，并有概率 PB(n)=0=0.2和 PB(n)=1=0.8。试问，（1）连续 4 位构成的串为1011的概率3是多少？（2）连续 4 位构成的串的平均串是什么？（3）连续 4 位构成的串中，概率最大的是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111 后，下一位可能是什么？2.4 解：解：（1）01102131.82.08.24PBnPBnPBnPBn（2）设连续 4 位数据构成的串为 B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,.其中 B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们
3、是相互独立，而且同分布的。所以有：串（4bit 数据）为 ：，其矩特性为：30)(2)(kknBnX4因为随机变量 的矩为：)(nB均值： 8.0.12.0)( E方差：22222()0.10.8.86VarBnBnBn所以随机变量 的矩为：)(nX均值： 303 30 0()2()2().812kk kEnBnk 方差： 303 320 0()()()4.163.kk kkDXnBnk 如果将 4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：,1,2,30.8,.,08BnBnn 5串方差： ,1,2,30.16.0.6.VarBnBn （3）概率达到最大的串为 1,（4）
4、该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是 0 或 1，与前面的序列没有任何关系。所以如果见到 10111 后，下一位仍为 0 或 1 ，而且仍然有概率PB(n)=0=0.2 和 PB(n)=1=0.8。2.5 正弦随机信号X(t,s)=Acos(200t ), t0,其中振幅随机变量 A 取值为 1 和 0，概率分别为 0.1 和 0.9，试问，（1）一维概率分布 F(x,5)；（2）二维概率分布 F(x, y, 0, 0.0025)；（3）开启该设备后最可能见到什么样的信号？（4）如果开启后 t=1 时刻测得输出电压为 1 伏特，问 t=2 时刻可能的输出电压是6
5、什么？概率多少？它是可预测的随机信号吗？解：（1） ()cos205XtA(5);0.10.9Fxuxux（2）(0)1,(0.25)0,0.1,. ,.9XX依 概 率 发 生依 概 率 发 生,;0.250.10.9,Fxyuxyuxy，（3）因为 ，所以开启该设.9PA备后 90%的情况会见到无电压(A = 0) 。（4）t = 1 时刻 ，有，可得 A=1；,cos201XsAAt = 2 时刻 ，有；,cs21ts因为在 A=1 的前提下，t=2 时刻输出电压为确定值 1 ，所以 。它211PX是可预测的随机信号。7解题关键：理解本随机信号中只有一个随机变量 A，而它的值只在初始时是
6、不确定的，一旦 A 的值确定了，信号变成了确定信号。2.6 若正弦信号 ，其中振幅()cos()XtAt与频率 取常数，相位 是一个随机变量，A它均匀分布于 间，即,1,()20f其 他求在 时刻信号 的概率密度 。t ()Xt ()Xtfx解：注意到 是 的函数，并且，t。对于任意给定的 ，arcosxA t随 可能有多个单调段。但()()Xtt在每个单调段上都有， () 21()XtfxfxAx因此， 2()10Xt xfxA其 他2.7 设质点运动的位置如直线过程 ，其中 与 ，0()XtVtX(1,)VN:0(,2)XN:8并彼此独立。试问：（1） t 时刻随机变量的一维概率密度函数、
7、均值与方差？（2） 它是可预测的随机信号吗？2.7 解：（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布 0 0()EXtEVtXtEVXt2 2DD所以它的一维概率密度函数为: 221()()exp()X tfxt(2) 此信号是可预测随机信号2.8 假定（-1,+1）的伯努利序列 的取值具有等概特性。试问：,1,2.nI（1） 它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？（2） 它是可预测的随机信号吗？2.8 解：9(1) ()0.5(1)0.5(1)Ifiii.nE12121121212(,)(,)0,nnnCREIIIE(2) 该随机信号不可预测2.92.10 给定随机过程 和常数 ，试以()X
8、ta的自相关函数来表示差信号()Xt的自相关函数。()()YtaXt2.10 解：由题意可得： 1221122211 2212112(,)()()()()()()()(,(,(,)(,)YXXXXRtEtXaXttaXtt EEtattRtaRtRaRt2.11 两个随机信号 X(t)=Asin(t+)与10Y(t)=Bcos(t+)，其中 A 与 B 为未知分布随机变量， 为 02 均匀分布随机变量，A、B 与 两两统计独立， 为常数，试问，（1）两个随机信号的互相关函数 ；),(21tRXY（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）性与统计独立性；解：（1） sinsin0XtAtE
9、At，co0YtBt1212122112 1212122,sincosinsin1si i2in2XYXYRtCtXtYtABAt tBtt t （2）如果 EA或 EB为 0，则11，随机信号 X(t)与1212,0XYXYRtCtY(t)正交 且互不相关；如果 EA与 EB均不为 0，则，X(t)与 Y(t)不正交，1212,0XYXYRtCt相关；因为随机信号 X(t)与 Y(t)中都有随机变量 ，所以 X(t)与 Y(t)一般不会相互独立。且 221XtYtAB2.122.13 假定正弦电压信号 ，()cosXtAt其中， 服从均匀分布 ， 服从均A(1,U匀分布 ，它们彼此独立。如果
10、信(,)U号施加到 RC 并联电路上，求总的电流信号及其均方值。题 2.13 解：由电路原理的相关知识可知：12()cosXtAt，则()sin()ittACtR2 22 222122 2cos()sin()cs()si(2)in()16 13EitAtACtREt tRACtEAadR 2.142.15 零均值高斯信号 的自相关函数()Xt为 ，求 的一维和二维1212(,)0.5etXRtt概率密度。解：(1) 因为 ，()0Xmt121212(,)(,).5etXXRtCt0(0.DtR13所以一维概率密度函数为： 22 ()1, exp()1expXXXmtfxt DDt(2) 高斯信
11、号 X(t)的二维概率密度函数为： 12()0Xt，1122 1212(,)(,)0.50.5exp.exp.Ctt tt ，则1212(,)t t121221122,;,exp0.520.51fxt xx X2.162.172.18 某高斯信号的均值 ，()2Xmt协方差 ，写出当 、1212(,)8cos()XCtt1014和 时的三维概率密度。20.5t31t解：由定义得： 112132 231323(,)(,)(,)(,)(,)(,)00.501(.5,)(,)(.5,)11.CttCttttCC 又因为 (0,)(0.5,)(1,)8cos(0)8CC,.51.0,.5cos(0.5)(0,1)(1,0)8cos(1)C设 112233() 2,()Xtttt88cos(1/2)8cos1cos(1/2) (/2)cs(/) C则1511/23/2, exp2Tf X CxxtC2.19 设随机变量 ，其中,XYN， ，求 的概率密度和2235C,Y特征函数 。 ,XYuv题 2.19解：因为 与 ，()2E()2EY，而,5XYD。(,)32510XYCov于是， 。则(,),;,3/N(X，Y)的概率密度函数为2 2321,exp2555XY xxyyfxy 其特征函数为： 2 2112,expXYxyuvjmuvuuv 16221,exp265XYuvjuvuv
