1、数学归纳法及其 应用举例,问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？,问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？,问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？,一、设置情景，导学探究：,多米诺骨牌课件演示,如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？,（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。,（1）第一块骨牌倒下,-递推关系；,即第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下,-奠基；,求证,(一定要用上假设)
2、,二、挖掘内涵、形成概念：,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,【归纳奠基】,【归纳递推】,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件-游戏开始 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确；假设推理-游戏规则
3、 （3）由（1）、（2）得出结论.点题,找准起点 奠基要稳,用上假设 递推才真,写明结论 才算完整,特别提醒：,证明: (1) 当n=1时 左1，右121 n=1时，等式成立(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时 左1+3+5+ +(2k1)2(k+1)-1 =k2+2k+1 =(k+1)2=右 即n=k+1时等式成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立,递推基础,递推依据,例1.用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2,证明: (1) 当n=1时 左1，右121 n=1时，等式成立(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1
4、)=k2 那么，当n=k+1时 左1+3+5+ +(2k1)2(k+1)-1 =k2+2k+1 =(k+1)2=右 即n=k+1时等式成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立,证明：1、当n=1时,左=12=1，右= n=1时，等式成立 2、假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左=12+22+k2+(k+1)2=右 n=k+1时，原不等式成立 由1、2知当nN*时，原不等式都成立,练1、用数学归纳法证明：,例:如下证明对吗？,证明：当n=1时，左边,右边,等式成立。 设n=k时，有,那么，当n=k+1时，有,即n=k+1时，命题成立。 根据问可知，对nN，等式成立。,第二
5、步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。,(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.,证明中的几个注意问题：,(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.,例:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第一个取值应是多少?,答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为n=5.,例:用数学归纳法证明:,(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.,(1)在第二步中,证明
6、n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.,证明中的几个注意问题：,(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.,(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.,练习巩固,2.已知: 则 等于( )A: B:C: D:,这就是说当 时等式成立， 所以 时等式成立.,思考1：下列推证是否正确，并指出原因. 用数学归纳法证明：,证明：假设 时，等式成立，,就是,那么,思考2：下面是某同学用数学
7、归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?,例、用数学归纳法证明： 122334n(n1) ,1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：,例1、是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
8、,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,(1)数学归纳法证明等式问题：,二、数学归纳法应用举例：,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,例2、已知正数数列an中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明:,证:(1)当n=1时,=1,结论成立.,(2)假设当n=k时,结论成立,即,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.,(2)数学归纳法证明整除问题：,例1、用数学归纳法证明:当n为正偶数
9、时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,例2、用数学归纳法证明: 能被8整除.,证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.,(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.,那么:,因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是
10、8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.,例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.,证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立.,(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除,则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1,=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1),因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上
11、式右边能被x2+x+1整除.,即当n=k+1时,命题成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.,例6、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.,当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，,由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。,证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立。,k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1),即当n=k+1时命题仍成立。,2）假设n=k
12、(kN,k2)时，k条直线交点个数为f(k)= k(k-1),(3)数学归纳法证明几何问题：,练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)=f(n)+_.,n-1,练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+_个区域.,2k,(4)数学归纳法证明不等式问题：,例1、用数学归纳法证明:,证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1
13、)、(2)原不等式对一切 都成立.,例2、证明不等式:,证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.,(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.,例3、求证:,证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于故不等式成立.,(2)假设n=k( )时命题成立,即,则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例4、已知x 1，且x0，nN，n2 求证：(1+x)n1+nx.,（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+
14、kx 当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x 因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.,证明： （1）当n=2时，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右n=1时不等式成立,例5、已知 求证 : .,证:(1)当n=2时, ,不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即,则当n=k+1时, 有:,即当n=k
15、+1时,不等式成立.,由(1),(2)所证不等式对一切 都成立.,五、小结:,1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明,但注意不要滥用.要掌握数学归纳法的实质与步步.,2.归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的辨证思想,是数学的基本思想,数学归纳法体现了有限辨证关系与转化的思想.,3. 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.,数学归纳法的第一步是递推的基础,有了此基础,在 第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯粹假设.,第二步是递推的依据,当假设中的某些情况(nn0) 时n取值较小的情况)成为事实后,依据第二步就可知当n取下一个值时命题也成立,如此又增加了假设中变为命题成立的n的取值,经不断地循环递推便得到对满足nn0的所有正整数命题都成立.,(1)重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。,
