1、1数学归纳法及应用举例 重点难点分析： （1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。 （2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。 （3）归纳猜想证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。 （4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。 典型例题： 例 1证明： =-n(n+1)(4n+3)。 证明：当 n=1 时，左 ，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。 假设 n=k 时等式成立， 即 =-k(k+1)
2、(4k+3)。 n=k+1 时， +(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2 =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k 2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)4k2+3k+2(6k+7)=-(k+1)(4k2+15k+14) =-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)(k+1)+14(k+1)+3，等式成立。 由知，当 nN时等式成立 例 2试证 Sn=n3+(n+1)3+(n+2)3 能被 9 整除。 证明：n=1 时，S 1=49，能 9 整除。 假设，n=k 时，S k 能被 9 整除，则 Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk
3、+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k+3) 由归纳假设知 Sk+1 能被 9 整除，也就是说 n=k+1 时命题也成立。 综上所述：命题成立。 点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把 n=k+1 时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。 例 3通过一点有 n 个平面，其中没有任何 3 个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n 2-n+2)个部分。 证明：设适合条件的 n 个平面把空间分成 pn 个部分，p n=n2-n+2 当 n=1 时， p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。 假设当 n=k 时，
4、命题成立，即满足命题条件的 k 个平面把空间分成 pk=k2-k+2 个部分， 那么当 n=k+1 时，即如果再有一个平面 a 适合条件，那么，在平面 上必有 k 条交线， 平面 被分成 2k 个部分，p k+1=pk+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2。 当 n=k+1 时，p n=n2-n+2 成立。 综上可知对任何 nN ，命题成立。 点评：几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等。 例 4若不等式 对一切正自然数 n 都成立，求自然数 a 的最大值，并证明你的结论。 证明：n=1 时， ，即 ，所以 a0, 且 a1），数列a n的前 n 项和为 Sn。试比较 Sn 与 的大小。 解：由 bn=3n-2，知 又 ， 因此要比较 Sn 与 的大小，可先比较 的大小。 当 n=1，有 ； 当 n=2，有 ； 当 n=3，有 ， 通过观察、分析： （*） 若（*）式成立，则由对数函数性质可判定： 当 a1 时， ；当 01 时， 。当 0a1 时， 。
