1、第 1 页，共 16 页数学归纳法及其应用举例年级_ 班级_ 学号_ 姓名_ 分数_总分 一 二 三一、选择题(共 49 题，题分合计 245 分)1.用数学归纳法证明:“1+ + + 1)“时,由n=k( k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是2131A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+12.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分成的部分为f(n),则下列猜想:f (n)=n,f (n)=f(n-1)+2n,f( n)=n2-n+2中,正确的是A.与 B.与 C.与 D.只有3.某个命题与自然数m有关,若 m=k(kN)时该命题成立
2、,那么可以推得m =k+1时该命题成立,现已知当m =5时,该命题不成立,那么可推得A.当m=6时该命题不成立 B.当m =6时该命题成立C.当m=4时该命题不成立 D.当m =4时该命题成立得分 阅卷人第 2 页，共 16 页4.设f(n)= (nN ),那么f(n+1)-f (n)等于n211A. B. C. + D. -221125.用数学归纳法证明1+a+ a2+ = (nN,a1)中,在验证n=1时,左式应为A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a36.用数学归纳法证明“5 n-2n能被 3整除“的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设,应把5 k+1 -2 k+
3、1变形为A.(5k-2 k)+45 k -2 k B.5(5 k -2 k)+32 k C.(5 k -2 k)(5-2) D.2(5 k -2 k)-35 k7.平面内原有k条直线,它们把平面划分成f (k)个区域,则增加第 k+1条直线后,这k+1条直线把平面分成的区域至多增加A.k个 B.k+1个 C.f(k)个 D.f(k)+(k+1)个8.已知凸k边形的对角线条数为f (k)(k3)条,则凸k+1边形的对角线条数为A.f(k)+k B.f(k)+k+1 C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-29.用数学归纳法证明(n+1)+(n +2)+(n+n)= 的第二步中,n=k+1时等式左
4、边与n=k时的等式左边的差等于A.2k+2 B.4k+3 C.3k+2 D.k+110.下面四个判断中,正确的是A.式子1+k+k 2+kn(nN),当n=1时恒为1B.式子1+k+k 2+kn-1(nN),当n=1时恒为1+kC.式子 + (nN),当n=1时恒为D.设f(x)= (nN),则f(k+1)=f(k)+11.用数字归纳法证1+x+x 2+xn+1= (x1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式是12A.1 B.1+x C.1+x+x2 D.1+x+x2+x3第 3 页，共 16 页12.用数字归纳法证明1+2+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所
5、得的代数式是A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+413.用数学归纳法证明“当n是非负数时 ,34n+2+52n+1能被14整除“的第二步中,为了使用归纳假设应将3 4k+6+52k+3变形为A.34k+281+52k+125 B.34k+1243+52k125 C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2 D.34k+49+52k+2514.用数学归纳法证明 + + + = (nN)时,从“n=k到n=k+1“,等式左边需增添的项是131)1(nA. B. C. D. )1(k )2()(kk )2(k)2(115.利用数学归纳法证明不等式“ ,(n2,nN)“的过程中,
6、由“n=k“变到“ n=k+1“时,左边增n131加了A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项16.用数学归纳法证明“5 n-2n能被 3整除“的第二步中，n=k1时，为了使用假设，应将5 k+1-2k+1变形为A.(5k-2k)45 k-2k B.5(5k-2k)32 k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-35k17.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f (k),则增加一条直线后 ,它们的交点个数最多为A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.kf(k)18.已知一个命题P(k),k=2 n(nN ),若n=1,2,1000时,P(k)成立 ,
7、且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是A.P(k)对k=2004成立 B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立19.用数学归纳法证明: ,从k到k+1需在不等式两边加上)2(41321nnA. B. C. D. )1(2k12k1k1k20.设 ,则f(2 k)变形到f (2k+1)需增添项数为nnf)(A.2k+1项 B.2k项 C.2项 D.1项21.欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2 nn 3,n0为验证的第一个值，则A.n0=1 B.n0为大于1小于10的某个整数 C.n010 D.n0=2第 4 页
8、，共 16 页22.某同学回答“用数字归纳法证明 3)条直线,其中有k-1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k条直线将平面分成区域的个数为A.k个 B.k+2个 C.2k个 D.2k+2个24.已知凸k边形的对角线条数为f (k)(k3)，则凸k1边形的对角线条数为A.f(k)k B.f(k)k 1 C.f(k)k-1 D.f(k)k-225.平面内原有k条直线，它们将平面分成f (k)个区域，则增加第 k1条直线后，这k1条直线将平面分成的区域最多会增加A.k个 B.k1个 C.f(k)个 D.f(k)1个26.同一平面内有n个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,
9、则这n个圆把平面分成A.2n部分 B.n2部分 C.2n2部分 D.n2n2部分27.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成f(n)个部分，则满足上述条件的n1个圆把平面分成的部分f(n1)与f(n) 的关系是A.f(n1)=f( n) n B.f(n1)=f(n) 2n C.f(n1)=f(n )n1 D.f(n1)=f(n)n228.用数学归纳法证明不等式 成立时， 应取的第一个值为A.1 B.3 C.4 D.529.若 ，则 等于124132)( nnf)(kffA. B.1k 1kkC. D.21k 221kk30.设凸n边形的内角和
10、为f (n)，则f (n+1) - f (n) 等于A. B. C. D.)第 5 页，共 16 页31.用数学归纳法证明不等式“ 成立“, 则n的第一个值应取64127412nA.7 B.8 C.9 D.1032. 等于)13(210741limnnA. B. C. D.3233.已知ab是不相等的正数,若 ,则b的取值范围是2lim1nnaA.0234.利用数学归纳法证明“对任意偶数 n,an-bn能被a+b整除“时,其第二步论证,应该是A.假设n=k时命题成立,再证n =k+1时命题也成立B.假设n=2k时命题成立,再证n =2k+1时命题也成立C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时
11、命题也成立D.假设n=2k时命题成立,再证 n=2(k+1)时命题也成立35.用数学归纳法证明“4 2n-1+3n+1(nN)能被13整除“ 的第二步中 ,当n=k+1时为了使用假设,对4 2k+1+3k+2变形正确的是A.16(42k-1+3k+1)-133k+1 B.442k+93kC.(42k-1+3k+1)+1542k-1+23k+1 D.3(42k-1+3k+1)-1342k-136.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2 n13(2n-1)(nN)时,从“ “两边同乘以一个代数式,它是A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D. 12k1)2(k37.用数学归
12、纳法证明某命题时,左式为 +cos +cos3 +cos(2n-1) ( k,kZ ,nN ),在验证n=1时,左边所2得的代数式为A. B. +cos C. +cos +cos 3 D. +cos +cos 3 +cos 521212138.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+n)=2 n13(2n-1)“时,第二步n= k+1时的左边应是n=k时的左边乘以第 6 页，共 16 页A.(k+1+k+1) B.(k+1+k)(k+1+k+1) C. D. 1)(k1)(k39.设S k= + + + ,则S k+1为12321A. B. k 21kkC. D. 212kSk 12Sk4
13、0.用数字归纳法证明某命题时,左式为1- + ,从“n=k到n=k+1“,应将左边加上413n2A. B. C. D.12k421k2k1k41.用数学归纳法证明“当n为正奇数时 ,xn+yn能被x+y整除“时,第二步应是A.假设n=k( kN)时命题成立,推得n= k+1时命题成立B.假设n=2k+1(k N)时命题成立,推得n=2k+3时命题成立C.假设k =2k-1(kN)时命题成立,推得n=2k+1时命题成立D.假设nk(k1, kN)时命题成立 ,推得n= k+2时命题成立42.设p(k):1+ (k N),则p(k+1) 为k2121A. 3211kB. 2kC. 1212311k
14、kkkD.上述均不正确43.k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱有对角面的个数为A.2f(k) B.k1f(k ) C.f(k)k D.f(k)244.已知 ，则 等于132nn)第 7 页，共 16 页A. B.1)(3)kf 231)(kfC. D.1432)( kf 14)(f45.用数学归纳法证明2sin)2cos(cos1 n，在验证n=1等式成立时，左边计算所得的项是)(21cosNn不A. B. C. D.cos3cos215cos3cos2146.用数学归纳法证明某不等式，其中证 时不等式成立的关键一步是：nk，括号中应填的式子是()()()()(kk k12333A. B.
15、C. D.322k47.对于不等式 ，某人的证明过程如下： 当 时， 不等式成立。)(12Nnn 1n12假设 时不等式成立，即 ，则 时，2)(Nk2kk2)3(31)(2k。 当 时，不等式成立。上述证法)(2k1nA.过程全都正确 B. 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 到 的推理不正确k48.某个命题与自然数n有关,如果当n=k(kN)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立49.利用数学归纳法证明不等式“ “时,由“假设n=
16、k时命题成立“到“ 当n=k+1时“,正确的步骤是12A. 243)1()(22 kkkB. )()2(k第 8 页，共 16 页C. 2)()2(1)()1(2 kkkD. 2)(1)2()1()(3)()( 2222 kkkkkk二、填空题(共 9 题，题分合计 36 分)1.用数学归纳法证明:当nN,1+2+2 2+23+25n-1是31倍数时,当n=1时,原式为_.从n=k到n=k+1时需增添的项是_.2.用数学归纳法证明1n( n 1)，在验证n2成立时，左式是_.213123.不等式中，当“nknk 1时“，不等式左边增加的项是1nn43_，少掉的项是_. 4.平面上原有k个圆，它
17、们的交点个数记为f (k)，则增加第 k1个圆后，交点个数最多增加_个. 5.用数学归纳法证明 ，从 到 一步时，等式两边应增2)()32()1nnk1n添的式子是_.6.用数学归纳法证明 (a,b是非负实数,nN +)时,假设n=knba)2时不等式 (*)成立,再推证n=k+1时不等式也成立的关键是将(*) 式kba)(2_.7.用数学归纳法证明 能被14整除时，当 时，对于 应变形为)(53124Nn 1kn1)(21)(453kk_.8.用数学归纳法证明 时，第一步验证为)(221nn得分 阅卷人第 9 页，共 16 页_.9.用数学归纳法证明 时，当 时，应证明的等)(sin2)co
18、s(4cos2cos 1N xxxn 1kn式为_.三、解答题(共 36 题，题分合计 362 分)1.已知数列a n的前n项和为S n，是否存在a,b,c使得a n=an2+bn+c,且满足a 1=1，3S n=(n+2)an对一切自然数n都成立?试证明你的结论.2.平面上有几个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆把平面分成f(n)=n 2-n+2个部分.3.设a n是正数组成的数列,其前n项和为S n,并对一切自然数n有, nnSa2(1)写出数列前3项;(2)求数列a n的通项公式(予以证明 ).4.已知数列 计算S 1 、S 2、S 3由此推测S n 的
19、公式，然后用数学归纳法证明.不不不)1(4312 n5.求最大的正整数m,使得f( n)=(2n+7)3n+9对任意的正整数 n,都能被m整除,并证明你的结论.6.当nN时,S n=1- + - + - ,Tn= + + .对于相同的n,试比较S n与T n的大小关系,并213412121证明你的结论.7.已知函数f(n)= -2 +2(n4)2x(1)试求反函数f -1(n),并指出其定义域;(2)如果数列a n(an0)中a 1=2,前n项和为S n(nN)且S n= f-1(Sn-1),求a n的21得分 阅卷人第 10 页，共 16 页通项公式;(3)求 的值.21limna8.已知数
20、列a n的前n项和为S n，是否存在a,b,c使得a n=an2+bn+c,且满足a 1=1，3S n=(n+2)an对一切自然数n都成立?试证明你的结论.9.已知:x-1且x0,nN,n2求证:(1+x) n1+nx.10.求证:二项式x 2n-y2n(nN) 能被x +y整除.11.是否存在常数a，b使等式1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-2)3+(n-1)2+n1= n(n+a)(n+b)对一切自然数N都成立，并证明你的结论.6112.已知x 10,x11,且x n+1= (n=1,2,3).试证:数列x n或者对任意的自然数n都满足x nxn+1,或者对任意13)2的自然数n都满
21、足x n+1x.13.是否存在常数abc,使得等式12 2+232+n(n+1)2= (an2+bn+c)对一切自然数n成立?并证明你的结1论.14.证明不等式:1+ (nN).2132115.平面上有n条直线,其中无两条平行也无三条共点求证:这n条直线(1)彼此分成n 2段;(2)把平面分成 个部分.)(1n16.用数归纳法证明(3n+1)7 n-1是9的倍数 (nN).17.用数学归纳法证明(x+3) n-1能被（x +2）整除.18.用数学归纳法证明：1232 nn(2n1)( nN) .19.下列所给条件，写出数列a n的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.已知a 1=1，S
22、 n= n2an (n2) .20.下列所给条件，写出数列a n的前四项，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.已知a 1=1，且a n、a n+1、2a 1成等差数列.第 11 页，共 16 页21.对于任意自然数n，n 3+11n能被6整除.22.已知数列b n是等差数列, , ,1b14502b(1)求数列b n的通项.(2)设数列a n的通项 (其中 )记S n是数列a n的前n项和,试比较S n与)1lognanb10a不的大小,并证明你的理论.1log3b23.用数学归纳法证明已知： log)12(log21)(21log:,0,0 yxyxnya anan不 N24. .:,11
23、不不不 不nnnap pp25.设 ,是否存在关于n的整式g(n) 使 对大于1的(321Nan )(121 nnaga一切正整数n都成立?并证明你的结论.26.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,(1)设这n条直线互相分割成f (n) 条线段或射线,猜想f (n) 的表达式并给以证明.(2)求证:这n条直线把平面分成 个区域.1227.数列a n中, ,设 .)(1Nna )1(2af)(n(1)试求出 的值;)3(2)1(ff不(2)猜想出 ,并用数学归纳法证明.28.是否存在常数a、b、c使等式对一切自然数n都成立，并证明结论)(12)(321 cbann第 12 页，
24、共 16 页29.在各项都为正数的数列a n中，其前n项和为S n，且 ( nN )，试由a 1，a 2，a 3的值推测a n的)1(2naS计算公式，并证明之.30.已知f(x)=2x+b，f 1 (x)= f f(x)，f n (x)= fn-1 f(x) (nN ，n2)，试求ab，x表示的f 1 (x)，f 2 (x)，f 3 (x)的式子，并推测f n (x)以b，x，n表示的式子，证明你的结论31.设函数 , 2121)(ff)(f若数列 满足 ,na1naan求证：当 21n不N32.用数学归纳法证明(nN)22ban33.用数学归纳法证明|sin n|n|sin|.34.),1
25、0(,3.lg2)1(lg1,)lg1( xnxnxBxAn N不不试比较A n与B n的大小，并说明理由.35.已知等差数列a n的第2项为8,前10项的和为185.(1)求数列a n的通项公式.(2)若从数列a n中依次取出第2项,第4项,第8项,.,第2 n项 ,按原来顺序排成一个新的数列,求此数列的前n项和Sn.(3)设T n= n(an +9),试比较S n与T n的大小,并说明理由.36.数列a n的通项公式a n= ,f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)(1-an).*)()12N(1)求f(1),f(2),f(3),f(4), 并猜想f(n) 的表达式;(2)用数字归
26、纳法证明你的结论.第 13 页，共 16 页数学归纳法及其应用举例答案一、选择题(共 49 题，合计 245 分)1.952答案：C2.953答案：C3.1015答案：C4.1019答案：D5.1063答案：C6.1065答案：B7.1066答案：B8.1067答案：C9.1081答案：B10.1082答案：C11.1083答案：C12.1085答案：C13.1091答案：C14.1092答案：C15.1098答案：D16.1100答案：B17.1101答案：B18.1102答案：D19.1103答案：C20.1104答案：B21.1107答案：C22.1108答案：D23.1109答案：C2
27、4.1110答案：C25.1111答案：B26.1113答案：D第 14 页，共 16 页27.1114答案：B28.1120答案：D29.1121答案：D30.1123答案：C31.8059答案：B32.8060答案：B33.8061答案：B34.1084答案：D35.1088答案：A36.1089答案：D37.1090答案：B38.1093答案：D39.1094答案：C40.1095答案：D41.1096答案：C42.1105答案：C43.1106答案：B44.1122答案：C45.1124答案：B46.1125答案：C47.1126答案：D48.1086答案：C49.1099答案：D二、
28、填空题(共 9 题，合计 36 分)1.954答案：1+2+2 2+23+245152nn2.1068答案： 61323.1069答案：,kk4.1070答案：2k第 15 页，共 16 页5.1127答案： kk)13()13(6.955答案：两边同时乘以 2ba7.1128答案：121456)3(8kk8.1130答案：当 时，左边 ， 右边 不等式 成立n4421221nn9.1129答案： xxxx kkk si)()cos()2cs(cos2cos 1三、解答题(共 36 题，合计 362 分)1.981答案：见注释2.1060答案：见注释3.1061答案：见注释4.1112答案：见
29、注释5.956答案：m=366.957答案：相等7.958答案：(1) (2) (3)142)(1xxf 2na8.977答案：见注释9.979答案：见注释10.980答案：见注释11.1001答案：见注释12.1048答案：见注释13.1050答案：见注释14.1058答案：见注释15.1073答案：见注释16.1075答案：见注释17.1076答案：见注释18.1080答案：见注释19.1116答案： )1(2na第 16 页，共 16 页20.1117答案： 12na21.1118答案：见注释22.1131答案：见注释23.1181答案：见注释24.1182答案：见注释25.8067答案
30、：见注释26.1119答案：见注释27.1132答案：见注释28.1208答案：令n=1，n=2，n=3，列方程组求得a= 3，b=11，c=10再用数学归纳法证明.29.1209答案：a 1=1，a 2= ，a 3= ，推测 并用数学归纳法证明.121nan30.1210答案：f 1 (x)=22 x+(2+1) b，f 2 (x)=23 x+(22+2+1) b，f 3 (x)=24 x+(23+22+2+1) b，推测f n (x)= 2n+1 x+(2n+2n-1+2+1) b31.4733答案：见注释32.1077答案：见注释33.1078答案：见注释34.1183答案：见注释35.1184答案：见注释36.4329答案：(1)f (1)= ,f(2)= ,f(3)= ,f(4)= ,故猜想f(n)=432853*)()12Nn
