1、 -348- 第二十六章 经济与金融中的优化问题 本章主要介绍用 LINGO 软件求解经济、金融和市场营销方面的几个优化问题的案例。 1 经济均衡问题及其应用 在市场经济活动中，当市场上某种产品的价格越高时，生产商越是愿意扩大生产能力（供应能力） ，提供更多的产品满足市场需求；但市场价格太高时，消费者的消费欲望（需求能力）会下降。反之，当市场上某种商品的价格越低时，消费者的消费欲望（需求能力）会上升，但生产商的供应能力会下降。如果生产商的供应能力和消费者的需求能力长期不匹配，就会导致经济不稳定。在完全市场竞争的环境中，我们总是认为经济活动应当达到均衡（ equilibrium） ，即生产和消费
2、（供应能力和需求能力）达到平衡，不再发生变化，这时该商品的价格就是市场的清算价格。 下面考虑两个简单的单一市场及双边市场的具体实例，并介绍经济均衡思想在拍卖与投标问题、交通流分配问题中的应用案例。 1.1 单一生产商、单一消费者的情形 例 1 假设市场上只有一个生产商（记为甲）和一个消费者（记为乙） 。对某种商品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力如表 1 所示。举例来说，表中数据的含义是：当单价低于 2 万元但大于或等于 1 万元时，甲愿意生产 2t 产品，乙愿意购买 8t 产品；当单价等于或低于 9 万元但大于 4.5 万元时，乙愿意购买 2t 产品，甲愿意生产 8t产品；依次类推。那么
3、的市场价格应该是多少？ 表 1 不同价格下的供应能力和需求能力 生产商（甲） 消费者（乙） 单价（万元 /t） 供应能力（ t） 单价（万元 /t） 需求能力（ t） 1 2 2 4 3 6 4 8 9 2 4.5 4 3 6 2.25 8 （ 1）问题分析 仔细观察一下表 1 就可以看出来，这个具体问题的解是一目了然的：清算价格显然应该是 3 万元 /t，因为此时供需平衡（都是 6t） 。为了能够处理一般情况，下面通过建立优化模型来解决这个问题。 这个问题给人的第一印象似乎没有明确的目标函数，不太像是一个优化问题。不过，我们可以换一个角度来想问题：假设市场上还有一个虚拟的经销商，他是甲乙进行
4、交易的中介。那么，为了使自己获得的利润最大，他将总是以可能的最低价格从甲购买产品，再以可能的最高价格卖给乙，直到进一步的交易无利可图为止。例如，最开始的-349-2t 产品他将会以 1 万元的单价从甲购买，以 9 万元的单价卖给乙；接下来的 2t 产品他会以 2 万元的单价从甲购买， 再以 4.5 万元的单价卖给乙； 再接下来的 2t 产品他只能以3 万元的单价从甲购买，再以 3 万元的单价卖给乙（其实这次交易他已经只是保本，但我们仍然假设这笔交易会发生，例如他为了使自己的营业额尽量大） ；最后，如果他继续购买甲的产品卖给乙，他一定会亏本，所以他肯定不会交易。因此，市场清算价格就是 3 万元。
5、根据这个想法，我们就可以建立这个问题的线性规划模型。 （ 2）模型建立 决策变量：设甲以 1 万元， 2 万元， 3 万元， 4 万元的单价售出的产品数量（单位：t）分别是4321, xxxx ，乙以 9 万元， 4.5 万元， 3 万元， 2.25 万元的单价购买的产品数量（单位： t）分别是4321, yyyy 。 目标函数：就是虚拟经销商的总利润，即 432143214325.235.49 xxxxyyyy + （ 1） 约束条件： 供需平衡 =4141 iiiiyx （ 2） 供应限制 2ix ， 4,3,2,1=i （ 3） 消费限制 2iy ， 4,3,2,1=i （ 4） 非负限
6、制 0, iiyx ， 4,3,2,1=i （ 5） （ 3）模型求解 式（ 1）（ 5）是一个线性规划模型，可以用 LINGO 求解，对应的 LINGO 程序如下： model: sets: gx/14/:c1,c2,x,y; endsets data: c1=1 2 3 4; c2=9,4.5,3,2.5; enddata max=sum(gx:c2*y-c1*x); sum(gx:x)=sum(gx:y); for(gx:bnd(0,x,2);bnd(0,y,2); -350- end 求解这个模型，得到如下解答： Global optimal solution found at ite
7、ration: 5 Objective value: 21.00000 Variable Value Reduced Cost C1( 1) 1.000000 0.000000 C1( 2) 2.000000 0.000000 C1( 3) 3.000000 0.000000 C1( 4) 4.000000 0.000000 C2( 1) 9.000000 0.000000 C2( 2) 4.500000 0.000000 C2( 3) 3.000000 0.000000 C2( 4) 2.500000 0.000000 X( 1) 2.000000 -2.000000 X( 2) 2.000
8、000 -1.000000 X( 3) 0.000000 0.000000 X( 4) 0.000000 1.000000 Y( 1) 2.000000 -6.000000 Y( 2) 2.000000 -1.500000 Y( 3) 0.000000 0.000000 Y( 4) 0.000000 0.5000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 21.00000 1.000000 2 0.000000 -3.000000 （ 4）结果解释 可以看出，最优解为 22121= yyxx ， 04343= yyxx 。但你肯定觉得这还是没有解决问题，甚至认为
9、这个模型错了，因为这个解法没有包括 3 万元单价的2t 交易量。虽然容易验证 0321321= yyyxxx ， 044= yx 也是最优解，但在一般情况下是难以保证一定求出这个解的。 那么如何才能确定清算价格呢？请仔细思考一下供需平衡约束（ 2）的对偶价格（ dual prices）的含义。对偶价格又称影子价格，表示的是对应约束的右端项的价值。供需平衡约束目前的右端项为 0，影子价格为 3，意思就是说如果右端项增加一个很小的量（即甲的供应量增加一个很小的量） ，引起的经销商的损失就是这个小量的 3 倍。可见，此时的销售单价就是 3 万元，这就是清算价格。 （ 5）模型扩展 一般地，可以假设甲
10、的供应能力随价格的变化情况分为 K 段，即价格位于区间-351-),1+kkpp 时，供应量最多为kc （ Kk ,2,1 L= ； =+LLqqq L ；Lddd L= TARGET; END 求得投资三种股票的比例大致是： A占 53， B 占 36， C 占 11。风险（方差）为 0.02241378。 （ 4）用 MATLAB软件对模型进行参数分析 对实际投资人来说，可能不仅希望知道指定的期望投资回报率下的风险（回报率的方差），可能更希望知道风险随着不同的投资回报率是如何变化的，然后作出最后的投资决策。这当然可以通过在上面的模型中不断修改约束中的参数（目前为 0.15）来实现，如将 0
11、.15改为 0.2345，则表示投资回报率希望达到 23.45（这几乎是可能达到的最大值了，因为这几乎是三种股票中最大的投资回报率，即股票 C 的回报率）。可以想到， 这时应主要投资在股票 C 上。 实际求解一下， 可以知道最优解中投资股票 C 的份额大约是 99.6（剩余的大约 0.4投资在股票 B上）。 目前 LINGO软件还没有二次规划灵敏度分析的功能。下面我们利用 MATLAB软件进行灵敏度分析，回报率的取值区间为 0.09,0.234，变化步长为 0.002。编写程序如下： clc,clear load data2.txt,load data3.txt h=reshape(data3
12、,3,3); a=data2; solution=; target=0.09; hold on while target= TARGET; END 计算结果为，投资 A占 8.7， B 占 42.9， C 占 14.3， D（国库券）占 34.1，风险（方差）为 0.02080347。与例 5中的风险（方差为 0.02241378）比较，无风险资产的存在可以使得投资风险减少。 虽然国库券的收益率只有 5， 比希望得到的收益率 15小很多，但在国库券上的投资要占到 34.1，其原因就是为了减少风险。 现在，我们把上面模型中的期望收益减少到 10，即把数据段中的语句“ TARGET = 0.15”
13、改为“ TARGET = 0.10”，重新求解模型。计算结果如下： 投资 A占 4.3， B 占 21.4， C 占 7.2， D （国库券）占 67.1，此时风险（方差为0.0052）进一步下降。请特别注意：你能发现这个结果（这里不妨称为结果 2）与刚才“ TARGET = 0.15”的结果（这里不妨称为结果 1）有什么联系吗？ 仔细观察这两个结果，可以发现：结果 2中投资在有风险资产（股票 CBA , ）上的比例大约都是结果 1中相应的比例的一半。也就是说，无论你的期望收益和风险偏好如何，你手上所持有的风险资产本身相互之间的比例居然是不变的！变化的只是投资于风险资产与无风险资产之间的比例。
14、有趣的是，这一现象在一般情况下也是成立的，一般称为“分离定理”，即风险资产之间的投资比例与期望收益和风险偏好无关。 1981年诺贝尔经济学奖得主 Tobin教授之所以获奖，很大一部分原因就是因为他发现了这个重要的规律。 也正是由于有这样一个重要结果， 我们在下面各节的讨论中就不再考虑存在无风险资产的情形了，而只考虑确定风险资产之间的投资比例。 2.3 考虑交易成本的投资组合模型 例 7 继续考虑例 5（期望收益仍定为 15） 。假设你目前持有的股票比例为： 股票 A占50， B占 35， C 占 15。这个比例与例 5中得到的最优解有所不同。实际股票市场上每次股票买卖通常总有交易费，例如按交易
15、额的 1收取交易费，这时你是否仍需要对所持的股票进行买卖（换手），以便满足最优解的要求？ （ 1）建立模型 -369-仍用决策变量21, xx 和3x 分别表示投资人应当投资股票 CBA、的比例，进一步假设购买股票 CBA、的比例为21, yy 和3y ，卖出股票 CBA、的比例为21, zz 和3z 。其中，iy 和iz （ 3,2,1=i ）中显然最多只能有一个严格取正数，且 0, iiizyx ， 3,2,1=i （ 23） 由于交易费用的存在， 这时约束 1321=+ xxx 不一定还成立 （只有不进行股票买卖，即 0321321= zzzyyy 时，这个约束才成立）。其实，这个关系式
16、的本质是：当前持有的总资金是守恒的，在有交易成本（ 1）的情况下，应当表示成如下形式： 1)(01.03131=+= iiiiizyx （ 24） 另外，考虑到当前持有的各只股票的份额iiiyxc , 与iz （ 3,2,1=i ）之间也应该满足守恒关系式 iiiizycx += ， 3,2,1=i （ 25） 这就是新问题的约束条件，模型的其它部分不用改变。 （ 2）模型求解 问题对应的 LINGO程序如下： MODEL: Title 考虑交易费的投资组合模型 ; SETS: STOCKS/ A, B, C/: C,Mean,X,Y,Z; STST(Stocks,stocks): COV;
17、ENDSETS DATA: ! 股票的初始份额 ; c=0.5 0.35 0.15; TARGET=0.15; Mean=file(data2.txt); COV=file(data3.txt); ENDDATA OBJ MIN = sum(STST(i,j): COV(i,j)*x(i)*x(j); ONE SUM(STOCKS: X+0.01*Y+0.01*Z) = 1; -370- TWO SUM(stocks: mean*x) = TARGET; FOR(stocks: ADD x = c + y - z); END 在这个 LINGO模型中，股票 C是原始集合“ STOCKS”的一个
18、元素，不会因为与集合的属性 C同名而混淆。这是 LINGO新版本比 LINGO旧版本的一个改进之处。 2.4 利用股票指数简化投资组合模型 例 8 继续考虑例 5（期望收益率仍定为 15）。在实际的股票市场上，一般存在成千上万的股票，这时计算两两之间的相关性（协方差矩阵）将是一件非常费事甚至不可能的事情。例如， 1000只股票就需要计算 49950021000=C 个协方差。能否通过一定方式避免协方差的计算，对模型进行简化呢？例如，例 5中还给出了当时股票指数的信息，但我们到此为止一直没有利用。我们这一节就考虑利用股票指数对前面的模型进行修改和简化。 （ 1）问题分析 可以认为股票指数反映的是
19、股票市场的大势信息， 对具体每只股票的涨跌通常是有显著影响的。我们这里最简单地假设每只股票的收益与股票指数成线性关系，从而可以通过线性回归方法找出这个线性关系。 （ 2）线性回归 具体地说，用 M 表示股票指数（也是一个随机变量），其均值为 )(0MEm = ，方差为 )(20MDs = 。根据上面的线性关系的假定，对某只具体的股票 i，其价值iR（随机变量）可以表示成 iiiieMbuR += （ 26） 其中iu 和ib 需要根据所给数据经过回归计算得到，ie 是一个随机误差项，其均值为0)( =ieE ，方差为 )(2iieDs = 。此外，假设随机误差项ie 与其它股票 j（ ij ）
20、和股票指数 M 都是独立的，所以 0)()( = MeEeeEiji。 先看看如何根据所给数据经过回归计算得到iu 和ib 。记所给的 12年的数据为,)()( kikRM ，（ 12,2,1 L=k ），线性回归实际上是要使误差的平方和最小，即要解如下优化问题： -371-=+=1212)()(1212)(|)(minkkikiikkiRMbue ， 3,2,1=i （ 27） 对这里给出的三种股票， 可以编写如下 LINGO程序求出线性回归的系数iu 和ib（同时也在计算（ CALC）段计算 M 的均值0m 和方差20s ，标准差0s 的值）： MODEL: Title 线性回归模型 ;
21、SETS: YEAR/112/:M; STOCKS/A, B, C/: u, b, s2, s; temp/15/; tmatrix(YEAR,temp):tm; link(YEAR, STOCKS): R, e; ENDSETS DATA: num=?; tm = 1943 1.300 1.225 1.149 1.258997 1944 1.103 1.290 1.260 1.197526 1945 1.216 1.216 1.419 1.364361 1946 0.954 0.728 0.922 0.919287 1947 0.929 1.144 1.169 1.057080 1948 1
22、.056 1.107 0.965 1.055012 1949 1.038 1.321 1.133 1.187925 1950 1.089 1.305 1.732 1.317130 1951 1.090 1.195 1.021 1.240164 1952 1.083 1.390 1.131 1.183675 1953 1.035 0.928 1.006 0.990108 1954 1.176 1.715 1.908 1.526236; ENDDATA CALC: for(tmatrix(i,j)|j #ge#2 #and# j #le# 4:R(i,j-1)=tm(i,j); for(tmatr
23、ix(i,j)| j #eq# 5:M(i)=tm(i,j); mean0=sum(year: M)/size(year); s20=sum(year: sqr(M-mean0) / (size(year)-1); s0=sqrt(s20); ENDCALC -372- OBJ MIN = sum(stocks(i)|i#eq#num: s2(i); for(link(k,i)|i#eq#num: ERROR e(k,i) = R(k,i)-u(i)-b(i)*M(k); for(stocks(i)|i#eq#num:VAR s2(i)=(sum(year(k): sqr(e(k,i) / (
24、size(year)-2); STD s(i)=sqrt(s2(i) ); for(stocks: free(u);free(b) ); for(link: free(e) ); END 对上面的这个程序，请注意以下几点： i）在 CALC段直接计算了 M 的均值0m 和方差20s （为了使这个估计是无偏估计，分母是 11而不是 12）以及标准差0s 。 ii）程序中使用了两个常用的数学函数：平方函数 sqr和平方根函数sqrt。 iii）除了计算回归系数外，我们同时估计了回归误差的方差2is 和标准差is 。为了使这个估计是无偏估计，计算2is 时分母是10而不是11或12，这时因为此时估计
25、了两个参数，自由度少了两个。 iv）free(u)，free (b)，free(e)三个语句一定不能少，因为这几个变量不一定是非负的。 v）DATA段定义了一个变量num，并用“num=?”语句表示其具体值需要由使用者在程序运行时输入。变量num的作用是控制当前对哪只股票进行线性回归（num1，2，3分别对应于股票 CBA , ）。 vi）其实，这个问题也可以对三只股票的回归不加区分，即放在同一个模型中同时优化（相应地，只需要去掉上面程序中的控制变量 num和所有的过滤条件“i#eq#num ”），不过这样就会增加变量的个数，我们不建议大家那样做。也就是说，对于能够分解成小规模问题的优化问题，
26、最好一个一个分开做，这样可以减少问题规模，有助于求到比较好的解。 运行上述 LINGO程序，得到的计算结果为：股票指数 M 的均值 1.1914580=m ，方差为 0.0287366120=s ， 标准差为 0.16951880=s ； 对股票 A， 回归系数 0.56397611=u ，0.44072641=b ，误差的方差 0.0057483221=s ，误差的标准差 0.075817671=s 。 同理（运行时输入 num=2或 3），可以得到：对股票 B，回归系数 0.26350282=u ，1.2397992=b ，误差的方差 0.0156426322=s ，误差的标准差 0.12
27、507052=s 。对股-373-票 C ，回归系数 0.58095923=u ， 1.5237983=b ，误差的方差 0.0302516523=s ，误差的标准差 0.173933=s 。 （ 3）优化模型 现在，仍用决策变量21, xx 和3x 分别表示投资人应当投资股票 CBA , 的比例，其中 0,321xxx ， 1321=+ xxx （ 28） 此时，与 2.1节的讨论类似，对应的收益应该表示为 )(3131iiiiiiiieMbuxRxR +=（ 29） 收益的期望为 =+=+=31031)()(iiiiiiiiimbuxeMbuExER （ 30） 收益的方差为 231220
28、2312)()(iiiiiiiiixssbeMbuDxDR=+=+= （ 31） 综上所述，建立如下模型 2312202)(miniiiixssb=+ （ 32） s.t. 131=iix ， （ 33） 15.0)(310+=iiiixmbu （ 34） 0ix ， 3,2,1=i （ 35） （ 4）模型求解 为了数据传递方便，我们把三个回归模型同时计算。 LINGO程序如下： MODEL: Title 线性回归模型 ; SETS: -374- YEAR/112/:M; STOCKS/A, B, C/: u, b, s2, s; temp/15/; tmatrix(YEAR,temp):t
29、m; link(YEAR, STOCKS): R, e; ENDSETS DATA: tm = 1943 1.300 1.225 1.149 1.258997 1944 1.103 1.290 1.260 1.197526 1945 1.216 1.216 1.419 1.364361 1946 0.954 0.728 0.922 0.919287 1947 0.929 1.144 1.169 1.057080 1948 1.056 1.107 0.965 1.055012 1949 1.038 1.321 1.133 1.187925 1950 1.089 1.305 1.732 1.317
30、130 1951 1.090 1.195 1.021 1.240164 1952 1.083 1.390 1.131 1.183675 1953 1.035 0.928 1.006 0.990108 1954 1.176 1.715 1.908 1.526236; text(data4.txt)=s2; text(data5.txt)=u; text(data6.txt)=b; ENDDATA CALC: for(tmatrix(i,j)|j #ge#2 #and# j #le# 4:R(i,j-1)=tm(i,j); for(tmatrix(i,j)| j #eq# 5:M(i)=tm(i,
31、j); mean0=sum(year: M)/size(year); s20=sum(year: sqr(M-mean0) / (size(year)-1); s0=sqrt(s20); ENDCALC OBJ MIN = sum(stocks(i): s2(i); for(link(k,i): ERROR e(k,i) = R(k,i)-u(i)-b(i)*M(k); for(stocks(i):VAR s2(i)=(sum(year(k): sqr(e(k,i) / (size(year)-2); STD s(i)=sqrt(s2(i) ); for(stocks: free(u);fre
32、e(b) ); for(link: free(e) ); END 二次规划（ 32）（ 35）的 LINGO程序如下： -375-MODEL: Title 利用股票指数简化投资组合模型 ; SETS: STOCKS/A, B, C/: u, b, s2, x; ENDSETS DATA: mean0=1.191458; s20 = 0.02873661; s2 = file(data4.txt); u = file(data5.txt); b = file(data6.txt); ENDDATA OBJ MIN = sum(stocks: (sqr(b)*s20+s2)*sqr(x); sum
33、(stocks: x)=1; sum(stocks: (u+b*mean0)*x)1.15; END 计算结果为， 最后的持股情况是： A大约占初始时刻总资产的 54， B占 27， C占 19。这个结果与例 5的结果是不同的。 2.5 其它目标下的投资组合模型 前面介绍的模型中都是在可能获得的收益的数学期望满足一定最低要求的前提下，用可能获得的收益的方差来衡量投资风险，将其作为最小化的目标。这种做法的合理性通常至少需要有两个基本假设： （ 1）可能获得的收益的分布是对称的（如正态分布）。因为这时未来收益高于设定的最低要求和低于设定的最低要求的数量和概率是一样的。可惜的是，实际中这个假设往往难
34、以验证。 （ 2）投资者对风险（或偏好）的效用函数是二次的，否则为什么值选择效益（随机变量）的二阶矩（方差）来衡量风险使之最小化，而不采用其它阶数的矩？ 一般来说，投资者实际关心的通常是未来收益低于设定的最低要求的数量（即低多少）和概率，也就是说更关心的是下侧风险（ downside risk）。所以，如果分布不是对称的，则采用收益的方差来衡量投资风险就不一定合适。为了克服这个缺陷，可以用收益低于最低要求的数量的均值（一阶矩）作为下侧风险的衡量依据，即作为最小化的目标。此外，也可以采用收益低于最低要求的数量的二阶矩（即收益的半方差，semivariance）作为衡量投资风险的依据。其实，半方差
35、计算与方差计算类似，只是只有当收益低于最低要求的收益率时，才把两者之差的平方记入总风险，而对收益高于最低要求的收益率时的数据忽略不计。这方面的具体模型这里就不再详细介绍了。 下面介绍一个与上面这些优化目标完全不同的投资组合模型，这个模型虽然很简单，但却会产生一些非常有趣的现象。 例 9 假设市场上只有两只股票 BA、可供某个投资者购买，且该投资者对未来一-376- 年的股票市场进行了仔细分析，认为市场只能出现两种可能的情况（ 1和 2）。此外，该投资者对每种情况出现的概率、 每种情况出现时两只股票的增值情况都进行了预测和分析（见表 7，可以看出股票 BA、的均值和方差都是一样的）。该投资者是一
36、位非常保守的投资人，其投资目标是使两种情况下最小的收益最大化（也就是说，不管未来发生哪种情况，他都能至少获得这个收益）。如何建立模型和求解？ 表 7 两种情况出现的概率及两只股票的增值情况 情形 发生概率 股票 A 股票 B 1 0.8 1.0 1.2 2 0.2 1.5 0.7 （ 1）优化模型与求解 设年初投资股票 BA、的比例分别为21, xx ，决策变量21, xx 显然应该满足 0,21xx ， 121=+ xx （ 36） 此外，使最小收益最大的“保守”目标实际上就是希望： )7.05.1,2.10.1maxmin(2121xxxx + （ 37） 引入一个辅助变量 )7.05.1
37、,2.10.1min(2121xxxxy += ，这个模型就可以线性化为 ymax s.t. 121=+ xx yxx +212.1 yxx +217.05.1 编写 LINGO程序如下： model: sets: COL/12/:x; ROW/12/; link(ROW,COL):a; endsets data: a=1 1.2 1.5 0.7; enddata max=y; -377-sum(COL:x)=1; for(ROW(i):sum(COL(j):a(i,j)*x(j)y); End 可见，此时应该投资 BA、股票各 50，至少可以增值 10。 （ 2）讨论 现在，假设有一位绝对可
38、靠的朋友告诉该投资者一条重要信息：如果情形 1发生，股票 B的增值将达到 30而不是表 7中给出的 20。那么，一般人的想法应该是增加对股票 B 的持有份额。果真如此吗？这个投资人如果将上面模型中的 1.2改为 1.3计算，将得到如下结果： 0.54545451=x ， 0.45454552=x ， 1.136364=y 。 也就是说，应该减少对股票 B的持有份额，增加对股票 A的持有份额。这真是叫人大吃一惊！这相当于说：有人告诉你有某只股票涨幅要增加了，你赶紧说：那我马上把这只股票再卖点吧。之所以出现如此奇怪的现象，就是由于这个例子中的目标的特殊性引起的：我们可以看到新的解可以保证增值达到
39、13.6364，确实比原来的 10增加了。 最后需要指出：我们上面所有关于投资组合的这些讨论基本上只是纯技术面的讨论，只利用历史数据来说话，认为历史数据中包含了引起股票涨跌的所有因素。在实际股票市场上，影响股票涨跌的因素可能有很多（如政策变化、银行加息、能源短缺、技术进步等），未来不长时间内可能发生的一些重大事件很可能以前没有发生过，因此也不可能体现在历史数据中。所以，进行投资选择前，还应该进行基本面分析，需要对未来的一些重要影响因素、 重大事件发生的可能性及其对每种股票涨跌的影响进行预测和分析，最后综合利用历史数据和这些预测数据，决定投资组合。如何将这些预测数据与历史数据一起使用，建立相应的
40、投资组合模型，这里就不再更多地介绍了。这方面的模型有很多，有兴趣的可以继续查阅相关的专业书籍和研究文献。 3 市场营销问题 3.1 新产品的市场预测 例 10 某公司开发了一种新产品，打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。为了了解这种新产品在市场上的竞争力，在大规模投放市场前，公司营销部门进行了广泛的市场调查，得到了表 8。四种产品分别记为 DCBA、，其中 A为新产品，表中的数据的含义是： 最近购买某种产品 （用行表示） 的顾客下次购买四种产品的机会 （概率） 。 例如： 表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客， 下次购买产品 DCBA、的概率分别为 75， 10， 5， 10。请你根据这个调查结果，分析新产品 A未来的市场份额大概是多少？ 表 8 市场调查数据 产品 A B C D A 0.75 0.1 0.05 0.1 B 0.4 0.2 0.1 0.3 C 0.1 0.2 0.4 0.3
