1、第二讲 判别式二次方程根的检测器为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器” ，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。【例题求解】【例 1】 已知关于 x的一元二次方程 012)1(xkx有两个
2、不相等的实数根，那么 k的取值范围是 。 (广西中考题)思路点拨：利用判别式建立关于 k的不等式组，注意 、 的隐含制约。注：运用判别式解题，需要注意的是：(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为 0 的隐含制约；(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。【例 2】 已知三个关于 y的方程： 02ay， 012)(y和 012)(ya，若其中至少有两个方程有实根，则实数 a的取值范围是( ) （山东省竞赛题）A、 2a B、 41或 x C、 1 D、 4思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于
3、 a的不等式组，综合判断选择。【例 3】 已知关于 x的方程 02)(2kx，(1)求证：无论 k取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长 a1，另两边长 b、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长。 (湖北省荆门市中考题)思路点拨：对于(1)只需证明0；对于(2)由于未指明底与腰，须分 cb或 、 中有一个与 c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出 、 的值。注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式
4、讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。【例 4】 设方程 42ax，只有 3 个不相等的实数根，求 a的值和相应的 3 个根。 (重庆市竞赛题)思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程原方程只有 3 个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。【例 5】已知：如图，矩形 ABCD 中，AD a，DC b，在 AB 上找一点 E，使 E 点与 C、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设 AE x，问：这样的点 E 是否存在?若存在，这样的点 E 有几个?请说明理由。 (云南省中考题)思路点拨：
5、要使 RtADE、RtBEC、RtECD 彼此相似，点 E 必须满足AED+BEC90，为此，可设在 AE 上存在满足条件的点 E 使得 RtADERtBEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点 E 的存在与否及存在的个数。注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：(1)利用根的定义构造；(2)利用根与系数关系构造；(3)确定主元构造。判别式二次方程根的检测器学力训练1、已知 014ba，若方程 02baxk有两个相等的实数根，则 k= 。2、若关于 x的方程 2x有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 。(辽宁省中考题)3、已知
6、关于 方程 042k有两个不相等的实数解，化简 42k= 。4、若关于 x的一元二次方程 01)2()(xmx有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是( )A、 43m B、 43 C、 43且 D、 43且 2 (山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为 a、 b、 c，B90，那么关于 x的方程0)1(2)1(2xbcxa的根的情况为( )A、有两个相等的实数根 B、没有实数根C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于 x的方程 0)1(2mxxm只有一个实数根，那么方程0)4()2(mx的根的情况是( )A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根C、有两个相等的
7、实数根 D、只有一个实数根 (2003 年河南省中考题)7、在等腰三角形 ABC 中， A、B、C 的对边分别为 a、 b、 c，已知 3a， b和 c是 关于x的方程 0212mx的两个实数根，求ABC 的周长。(济南市中考题)8、已知关于 x的方程 063)2(mx(1)求证：无论 m 取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两实根分别为 1、 2，满足 1x=3 2，求实数 m的值。(盐城市中考题)9、 a、 b为实数，关于 x的方程 22bax有三个不等的实数根。(1)求证： 0842；(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是 60；(3
8、)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求 a和 b的值。 (江苏省苏州市中考题)10、关于的两个方程 03242mx， 0)12(2mxx中至少有一个方程有实根，则 m 的取值范围是 。(2002 年四川省竞赛题)11、当 a= ， b= 时，方程 0)243()(22 baa有实数根。 (全国初中数学联赛试题)12、若方程 ax52有且只有相异二实根，则 的取值范围是 。13、如果关于 的方程 05)2(2mx没有实数根，那么关于 x的方程0)(2)5(mxxm的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定14、已知一元二次方程 2cbx，且 b、 c可在 1、2、3、
9、4、5 中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A、12 个 B、10 个 C、7 个 D、5 个 (河南省中考题)15、已知ABC 的三边长为 a、b、c，且满足方程 0(2bxax，则方程根的情况是( )A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题)16、若 a、b、c、d0，证明：在方程 021cdbax； 021adxc；021xdx； 2d中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。 (湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数 a、b、c 满足 0cba，abc1，求证：a、b、c 中至少有一个大于 23。18、关于 x的方程 01)(2xk有有理根，求整数是的值。 (山东省竞赛题) 19、考虑方程 bax22)10(1)若 a=24，求一个实数 ，使得恰有 3 个不同的实数 x满足式。(2)若 25，是否存在实数 ，使得恰有 3 个不同的实数 满足式?说明你的结论。 (国家理科实验班招生试题)20、如图，已知边长为 a的正方形 ABCD 内接于边长为 b的正方形 EFGH，试求 ab的取值范围。参考答案
