1、- 1 -1+8=? 1+8+16=? 1+8+16+24=?中考数学规律探索型（几何类）问题解决浅见长旺中学 明道银中考数学规律探索型问题的解决体现了新课程下数学中考命题的新尝试，是近几年来中考的热点、重点和难点，需要敏锐的观察力、严密的逻辑推理能力和一定的计算能力。为培养这方面的能力，本人以几何图形的问题为例，从哪些方面来观察思考，观察发现规律，并利用规律从特殊到一般和从一般到特殊的办法来解决几何类规律探索型问题。规律明显 数数看看定有发现例 1、如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 3 个，第 3 幅图中有 5 个，则第 n 幅图中共有 个。
2、解析：方法 ：一数。在数字中发现。在开始的几幅图中把所要的问题分别数字记载，如 1、3、5、7 、 ，发现奇数规律排列，猜想最终结果为 2n-1 ；二看。发现图形规律和结果数字规律。直接由图序排列发现大小菱形逐次各自多 1，得出所要的结果是：1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、 ，再发现是 1 加上若干个 2 组成，2 的多少与序列号少 1，于是得 1+2（n-1）即 2n-1 。例 2、观 察 下 列 图 形 及 图 形 所 对 应 的 算 式 ，根 据 你 发 现 的 规 律计 算 1+8+16+24+8n（n 是 正 整 数 ）的 结 果 为 （ ）。 第 1 幅 第 2 幅 第 3
3、 幅 第 n 幅- 2 -解析：是图形规律与数字规律结合的问题，与上述比较多了个数字条件规律，探究数字规律结果。方法：在开始的几幅图中发现图 形 及 图 形 所 对 应 的 算 式 之 间的 关 系 ，即 ：图 形 中 小 正 方 形 的 个 数 是 图 形 所 对 应 的 算 式 的 数 值 结果 ；然 后 可 直 接 由 图 形 的 规 律 发 现 结 果 或 在 数 字 形 式 （原 式 或 变 形式 或 运 算 结 果 ）发 现 结 果 。如 在 图 形 的 规 律 发 现 结 果 为 3、5、7、的 平 方 ；在 原 式 数 字 形 式 发 现 结 果 为 1 加 上 若 干 个 含
4、 8 的 倍 数 的项 的 和 ，于 是 变 形 为 1+8（1+2+3+ + n ）;在 运 算 结 果 数 字 规 律9、25、47、81 中 发 现 为 3、5、7、 、的 平 方 。归 纳 方 法 ：这 类 给 定 的 图 形 或 数 字 规 律 及 寻 找 的 数 字 规 律 容易 发 现 ，通 过 一 看 二 数 三 变 的 方 法 即 可 解 决 问 题 。练习 1、用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多 4 个则第 n 个图案中正三角形的个数为 。 第一个图案 第二个图案 第三个图案练
5、习 2、如图 9，在 锐角 内部，画 1 条射线，可得 3 个AOB锐角；画 2 条不同射线，可得 6 个锐角；画 3 条不同射线，可得 10个锐角；照此规律，画 n 条不同射线，可得锐角 个- 3 -(3)(2)(1)C3 B3A3A2C1 B1A1 CBAC2B2B2 C2AB CA1B1C1 A2C1 B1A1 CBA练习 3、在图（1）中，A 1、B1、C1 分别是ABC 的边BC、CA、AB 的中点，在图（2）中，A 2、B2、C2 分别是A 1B1C1 的边 B1C1、C1 A1、 A1B1 的中点，按此规律，则第 n 个图形中平行四边形的个数共有 个。练习 4、在ABC 中，D
6、为 BC 边的中点， E 为 AC 边上的任意一点，BE 交 AD 于点 O某学生在研究 这一问题时，发现了如下的事实：(1)当 12ACE时，有 123AD (如图 1)；(2)当 3时，有 4 (如图 2)；图 1 图 2 图 3 图 4(3)当 34ACE时，有 25ADO (如图 3)；在图 4 中，当 n1时，参照上述研究结论，请你猜想用- 4 -BAC DA1A2ADBADCFEBADA1A2A3B1 B2 B3n 表示 ADO的一般结论，并给出证明(其中 n 是正整数)。说明：证明时按照几何的探究思路和方法。练习 5、如图，ABC 的面积为 1，分别取 AC、BC 两边的中点 A
7、1、B1，则四边形 A1ABB1 的面积为 ，再分别取 A1C、B1C 的中34点 A2、B2，A2C、B2C 的中点 A3、B3，依次取下去利用这一图形，能直观地计算出 _ 34 342 343 34n规律隐含 算算数量待发现例 3、如图，在ABC 中，A ABC 与 ACD 的平分线交于点 A1，得A 1；A1BC 与A 1CD 的平分线相交于点 A2，得 A2； ；A2009BC 与A 2009CD 的平分线相交于点 A2010，得 A2010，则A 2010 解析：（一）A1 = A1CD - A1BD ，A1BC = ABC12A1CD = ACD = （A +ABC ） 12 12
8、- 5 -A1 = A12又 A2 = A2CD - A2BD ，A2CD = ACD = 14 14（A +ABC ） ，A2BC = ABC14A2 = A14同理，得A 3 = A ；A4 = A ；A5 = A18 116 132An = A12A2010 = A12归 纳 方 法 ：利用三角形的内角和或外角和的性质及角平分线性质，采取从特殊到一般解决问题的数学思想，逐次探究出A1 ；A2 ；A3 ； ；An 的结果， 发现 一定的数量规律，猜测结论。解析：（二）An = AnCD - AnBD ，AnBD = ABC12AnCD = ACD = （A +ABC ） 12 12An =
9、 A12A2010 = A12归 纳 方 法 ：利用三角形的内角和或外角和的性质及角平分线性质，采取从一般到特殊解决问题的数学思想，先探究出一般情况下的的结果：AnBD = ABC12n2010n2010nnnn- 6 -AnCD = ACD = （A +ABC ） 12 12再利用外角和的性质探究出一般情况下的的结果：An = AnCD - AnBD最后进行代入计算，即得规律性的结果。练习 1如图，n+1 个上底、两腰长皆为 1，下底长为 2 的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形 P1M1N1N2 面积为 S1，四边形 P2M2N2N3 的面积为 S2，四边形 PnMnNnNn+1 的面
10、积记为 Sn，通过逐一计算 S1，S2，可得 Sn = .A N1 N2 N3 N4 N5P4P1 P2 P3M1 M2 M3 M4练习 2、如图，已知 RtABC 中， AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作 CA1AB，垂足为 A1，再过 A1 作 A1C1BC，垂足为 C1，过C1 作 C1A2AB，垂足 为 A2，再过 A2 作 A2C2BC，垂足为C2，这样 一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，AnCn，则 AnCn 。AB CA1A2A3A4A5C1C2C3C4C5nn- 7 -练习3、如图，如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形 A
11、CEF，再以 对角线 AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去，已知正方形 ABCD 的面积 1s为 1，按上述方法所作的正方形的面积依次为 2s， 3 n（n 为正整数），那么第8 个正方形的面积 . 练习 4、如图， 30AOB ， 过 A上到点 O的距离为1，3，5，7，的点作 的垂线，分别与 B相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为 123S， ， ， 则 209S 坐标规律 数形贯穿 庞杂难发现例 4、如图，P1 是反比例函数)(kxy在第一象限图像上的一点，点 A1 的坐标为(2 ，0)，若P 1O A1 、P2 A1 A2 、Pn An-1 An 均为等边三角形，则 A
12、n 点 的坐标是 AB CDBE DAC（第 19 题图）O AB1 3 5 7 9 11 13 15 S1S2 S3 S4ns 15y12 344321 xAPAPAPPAO- 8 -解答思路：1、在等边三角形P 1O A1 中，易得点 P1（1 ，3） 从而求的其反比例函数 xy32、在等边三角形P n An-1 An 中，记 An 的坐标为（a n ,0）过点 Pn 做 PnHx 轴于点 H，则 PnH = 3An-1 An = 3（an - an-1 ）12 12OH = OAn-1 + An-1 An = an-1+ （an - an-1 ）= （an + an-1 ）12 12 1
13、23、写出点 Pn 的坐标为 （an + an-1 ） ， 3（an - an-1 ） 12 12代入其反比例函数 xy3得 an - an-1 = 44、作赋值计算a0 = 0 ；a1 = 22 22 22 2- 9 -A4A3A2A1DCBAoyxa1 = 4 ；a2 = 8 ；a3 = 12 ；a4 = 16 ；A5 = 20 ；a6 = 24；a1 = 2= 21 ；a2 = 22 ；a3 = 23 ；a4 = 2 4；A5 = 25 ；a6 = 26； ；an = 2n An 点的坐标是(2n , 0 ) 归 纳 方 法 ：这个问题如果采取从特殊到一般办法来解决，至少要求得 A2、A
14、3、A4、这三个点的坐标，方可发现一些规律，这样虽然思维量小些，但运算量大；于是采取从一般到特殊的办法来解决，虽然思维量大一些，但运算量小，能准确得出最终规律。但是要根据问题的情形而定。练习 1、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如（ 1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0） 根据 这个规 律探索可得，第 个点的坐标为 。 2 2- 10 -练习 2、如图，在直角坐标系中，四边形 ABCD 是正方形，A（1，-1）、B（-1，-1）、C（-1，1）、D（1， 1）.曲线 AA1A 2A3叫做“正方形的 渐开线” ，其中 AA 、A
15、 A 2、A A 3的圆心依次是点B、C、D、A 循环，则 点 A 201的坐标是 。 练习 3、如图 15，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3PnAn 1An都是等腰直角三角形，点 P1、P2、P3Pn 都在函数 (x 0)xy4的图象上，斜边 OA1、A1A2、A2A3An 1An 都在 x 轴上。则点 An的坐标是 。练习 4、如图 7 所示，P 1（x1，y1）、P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函数 y= （x0）的图象上，OP 1A1，P2A1A2，P3A2A39PnAn1 An都是等腰直角三角形，斜边 OA1，A1A2An-1An，都在 x 轴上，则 y1+y2+yn=
16、 。练习 5、如图 11，若第一个正方形 OABC 的顶点 B，第二个正方形 ADEF 的顶点 E，.第 n 个正方形的 顶点 P 都在函数（ ）的图象上，1yx0则点 P 的坐 标是（ ， ）. 15y12 3 44321 xAPAPAPPAO 15y12 3 44321 xAPAPAPPAO- 11 -练习 6、如图 15，点 A 、A 、A 、A 、A 为 x 轴的正1231n半轴上的点，O A = A A = A A =A A =1，分别以1 nA 、A 、A 、A 、A 为直角顶点作 RtOA B 、Rt123n 1A A B 、RtA A B 、RtA A B ，它们的面积分别记2
17、3 1nn为 S 、S 、S 、S ，且 S =1；双曲线 恰好经过点 B 、B 、B12n1 12、B 。（1）求双曲线和直线 A B 对应的函数解析式；3n 2（2）填空：S =_，S =_；0 n（3）若直线 B O 交双曲线于另一点 P，有三位同学在研究直1线 A B 、直线 A B 、直线 A B 这系列直线时，有如下12231n发现：小明 说： “我发现直线 A B 经过 P 点”12小亮 说： “我发现直线 A B 和直线 A B 都经过 P 点”23小王 说： “我发现直线 A B 和直线 A B 、直线 A12B 都 经过 P 点”1n请问：上述三位同学的发现，谁的发现更准确
18、？并给予说明。练习 7、正方形Oyx(A)A1C11 2BA2A3B3B2B1- 12 -A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置点A1，A2，A3，和点 C1，C2，C3，分别在直 线 (k0) 和 xyxb轴上，已知点 B1(1，1)，B2(3，2)， 则 Bn 的坐标是 练习 8、如图所示，已知：点 ， ， 在 内(0)A， (3)B， (01)C， AB依次作等边三角形，使一边在 轴上，另一个顶点在 边上，作x出的等边三角形分别是第 1 个 ，第 2 个 ，第 3 个1 12，则第 个等边三角形的边长等于 23BA n练习 9、如图，在直角坐标系中，一直
19、线 经过点 与 xl(,)M轴，y 轴分别交于 A、B 两点，且 MAMB，则ABO 的内切圆的半径 ；若 与 、 、y 轴分别相切，1oA1r 2oA1l与 、 、y 轴分 别相切， ，按此规律， 则 的半径 32l 208208r练习 10、二次函数 的 图 象如 图 12 所示，点 位于坐 标 原点，23yx0A点 ， ， ， 在 y 轴 的正半 轴 上，点 ， ， ， 在二1A23208A1B23208B次函数 位于第一象限的 图 象上，若 , ， ，yx 011223AyxO C1B2A2C3B1A3 B3A1C20xyABMO1O2O3- 13 -， 都 为 等 边 三角形， 则 的 边长 . 207820AB207820AB练习 11、对于每个非零自然数 n，抛物线211nyxxn与 x轴交于 n、 两点，以 nAB表示这两点间的距离，则 2AB 209AB的值是（ ）A 2098 B 089 C 1D 2091
