1、多元线性回归,内容,基础概念 一元线性回归 一元回归方程、线性回归条件 步骤 强影响点判断 多元线性回归 1、回归方程、线性回归条件 2、线性回归步骤 3、评价方程的优度 4、强影响点判断 5、多重共线性的判断,基础概念,回归,什么是回归？ 变量间存在相关关系时，也就具备了建立预测关系的基础。在相关变量见建立预测方程式的统计学方法叫做回归分析。在问卷调查中用得多包括线性和非线性、一元和多元回归分析,一元和多元线性回归,一元线性回归：在两个变量具有线性关系的基础上，建立预测方程式。用一个变量预测另一个变量。 如儿童的身高和体重存在线性相关，当得知身高时，预测被试的体重范围。 多元线性回归：多个变
2、量都与一个变量存在相关关系，建立用预测方程式。用多个变量预测某一个变量。 例如：儿童的体重和年龄，都与身高存在线性关系，当已知体重和年龄时，对身高进行预测。,一元和多元线性回归的差别在于自变量的个数,一元线性回归,一元线性回归方程（使用原始数据计算的回归方程）,Y是因变量，X是自变量，alpha和beta是待求的参数。 = （y/ x）*r，称为非标准化回归系数 = y- x,标准化回归方程（使用标准化的数据计算的回归方程）,ZY=BZx B = （Zy/ Zx）*r=1*r=r，称为标准化回归系数,两种方程表现形式,回归分析的一般过程,1、提出假设的回归模型，确定自变量和因变量。自变量是现实
3、中容易测量的，而因变量是难测量的，如幸福感、自我效能感等 2、估计回归是线性还是非线性，用散点图判断。如果是线性则用线性回归。(必须做) 3、建立回归方程 4、回归方程的有效性检验，测定系数和回归系数,一元线性回归的条件,1、线性趋势（用散点图检测） 2、独立性：因变量y的取值相互独立，残差独立。 用durbin-watson计算，值在0-4。如果残差间相互独立，则取值在2附近。D小于2说明相邻误差存在负相关。大于2，说明存在正相关 3、正态性：自变量的任何一个线性组合，因变量y都服从正态分布，残差正态（直方图和PP图）。 4、方差齐性：自变量的任何一个线性组合，因变量y的方差均相同（把ZPR
4、ED放入Y轴，把ZRESID放入X轴做图）,注意的问题,强影响点判断（极端值的判断） Cooks distance：当值1，表明是特别大的极端值。 leverage值（杠杆值）：当值3倍均数，均数为（自变量个数+1）/N 画散点图：最后把cook距离值和leverage杠杆值分别作为X和Y轴画散点图，方便判断。 强影响点处理 判断原因，考虑是否删除,一元线性回归例子,建立体重和肺活量的回归方程（用练习1的数据）,一元线性回归步骤,先探索数据，判断是否整态、极端值 画散点图（画出散点图后，双击图，右键选add fit line at total tool） Analyze-regression-
5、把肺活量放入因变量dependent-体重放入自变量independent Statistics-默认的-residuals-durin waston save distance 勾上Cooks和leverage值 Plots-histogram 和 normal probability plot勾上-把ZPRED放入Y，把ZRESID放入X轴OK, = （y/ x）*r =（0.41989/7.426）*0.881=0.04981= y- x =3.1027-0.04981*53.43=0.441,原始回归方程Y=0.0498X+0.441标准化回归方程Zy=0.881Zx,测定系数,判断因
6、变量Y是独立的,回归方程的显著性检验,回归方程的系数、标准化回归系数、回归系数的显著性检验,决定系数,决定系数R2 值域在0,1,越接近于1，表明方程的自变量对y的解释能力越强。 当变量的关系是线性关系时，R2越大，说明回归方程拟合数据越好，共变越多。,校正的决定系数： 随着自变量的增加，R2自然就会随之增加。所以R2是一个受自变量个数与样本规模影响的系数，一般的常规是1:10为好。当这个比例小于1:5时，R2倾向于高估实际的拟合优度。为了避免这种情形，常用校正的R2代替。,回归方程显著：说明X与Y 有显著的线性关系。用该方程表示X与Y之间的关系是可靠的。如果不显著，则不能用回归方程表示X与Y
7、 之间的关系。,残差的正态性,对比直方图和正态曲线的相似性，是否是中间高，两头低。P-P图的点是不是接近对角线。,残差齐性,多元回归,偏回归系数：当其他变量不变时，xi每改变一个单位，所预测的y的平均变化量。受到自变量的单位影响。因此可以用标准化回归系数。 标准化偏回归系数：可以用来比较哪个自变量是影响y的主要因素，哪个是次要因素（即哪个自变量对y的影响更多）。,多元回归方程,回归系数计算,标准化偏回归系数(假如有两个自变量) B1=(r1y-r2y*r12)/(1-r212) B2=(r2y-r1y*r12)/(1-r212) 非标准化偏回归系数 b1=B1*（sy/sx1）,多元回归的样本
8、量要求,多元回归模型的样本量要求根据经验，希望样本量在自变量数的20倍以上。,比如：有5个自变量，则样本量应该在100以上，少于此数可能会出现检验效能不足的问题,多元线性回归的条件,同一元线性回归的条件,回归分析的5个步骤,回归分析的步骤,1、做出散点图，观察变量间的趋势（是否线性）。这些图是用来观察是否是线性趋势。如果不是线性，可能考虑其他对变量进行预处理，或用曲线回归,注意：是否是曲线关系，或者强影响点造成的线性，或者极端值）,2、考察数据的分布，进行必要的预处理。 3、进行直线回归，选入变量进入计算。 回归方程是否显著 偏回归系数显著 根据决定系数，校正决定系数判断拟合得好不好。决定最优
9、方程,回归分析的步骤,4、残差分析，分析两方面： 残差是否独立：用durbin-watson进行分析（取值02。 残差是否正态：采用残差图显示（勾选Histogram和Normal probability plot就行）。 残差的方差齐性：以标准化预测值（ZPRED）为横轴，标准化残差(ZRESID)为纵轴做散点图。若散点随机分布，且绝大部分在2倍标准差以内，则最好，表明没有相关。如最左图最好。中间图随着x值，残差越来越大。最右图，残差非正态。,回归分析的步骤,残差是否正态：画图来评价 1、残差直方图：标准化残差为x轴，标准化残差频数为Y轴。与正态曲线比较，是否拟合。 2、残差p-p图：累积残
10、差观测分布为x轴，期望分布为Y轴。如果符合的话数据会和理论的直线（对角线）重合。,回归分析的步骤,5、根据散点图，对强影响点进行判断和对多重共线性进行判断（自变量之间不能有强相关。）最后两幅图是有强影响点。需要判断是否数据出错，出错则删掉。,回归分析的步骤,步骤同一元回归,补充步骤 在statistic勾上R square change，part and partial correlation（半偏相关和偏相关），conlinerarity diagnostics（共线性判断）,分层回归方法,Enter：强制进入 Forward：前向选择法 Backward：反向删除法 Stepwise：逐步
11、回归，最常用 把需要控制的变量用这种方法强制enter法放入方程 自由进入变量用forward、backward和stepwise方法放入方程,Enter法,逐步回归法（可以得出更优的方程）,决定系数的变化量,回归方程的显著性检验,保留的变量，因为回归系数和偏回归系数显著,删除的变量，因为标准化回归系数不显著,多重共线性判断,回归方程的显著性检验 偏回归系数的显著性检验 决定系数R2，校正决定系数R2 复相关系数R,回归方程的解释能力,回归方程的解释能力,回归方程的显著性检验 当显著时，便可以认为回归方程中至少有一个回归系数是显著的，但是并不一定多有的回归系数都是显著的。 偏回归系数的显著性检
12、验 判断指定的某个自变量的回归系数是否显著。显著的话，代表与残差相比，该x变量对y的贡献是显著的。 根据回归系数显著、偏回归系数显著、校正的决定系数判断最优方程。,复相关系数R 值域在0,1,是因变量y与所有自变量之间的多元线性相关程度的度量。 R值越接近于1，表明y与所有x之间的线性关系越密切。,对强影响点的诊断和处理,同一元线性回归,多重共线性（conlinerarity diagnostics）,判断方法 相关系数矩阵：当相关系数0.8，代表共线性越大。 容忍度（tolerance）：最大值为1。当值越小，代表共线性越大。 特征值（eigenvalue）：表示该因子所解释变量的方差。如果很多变量的特征值1，表示共线性。 处理办法 增加样本量 主成分分析,谢谢！,
