1、矩阵的QR分解,学生：学号：,一、Householder矩阵和Givens矩阵,定义4.3 设 是单位向量，即 ，称为Householder矩阵或初等反射矩阵，由Householder矩 阵 确定的 上的线性变换 称为Householder变换或初等反射变换。,一、Householder矩阵和Givens矩阵,Householder 矩阵具有下列性质： 定理4.5 设 是Householder矩阵，则 （1） （Hermite）； （2） （酉矩阵）； （3） （对合矩阵）； （4） （自逆矩阵）；（5） 是n+r阶Householder矩阵（6） .,一、Householder矩阵和Give
2、ns矩阵,定理4.6 设 是单位向量，则对任意 ，存在 Householder 矩阵H，使得 ，其中 且为实数. 推论1 对任意的 存在Householder矩阵 ，使得 ，其中 ，且 为实数. 推论2 对任意的 存在Householder矩阵 （ 且 ），使得 ，其中 以上两个推论的结果称为用Householder矩阵变换化向量 与 共线（或同方向）.,一、Householder矩阵和Givens矩阵,定义4.4 设 ，且满足 ，称 阶方阵为Givens矩阵变换或初等旋转矩阵.由Givens矩阵,一、Householder矩阵和Givens矩阵,为Givens矩阵变换或初等旋转矩阵.由Givens矩阵 确定的 上的线性变换 称为Givens变换或初等旋转变换.容易验证，当 时，存在实数 ，使得 ， .特别地，当 为实数且 时，存在实数 ，使得 ， ，此时 可以解释为 上由 和 构成的平面旋转矩阵.,一、Householder矩阵和Givens矩阵,定理4.7 对任意 ，存在Givens矩阵，使得 的等q个分量为非负实数，其余分量不变.推论 设 .则存在Givens矩阵 使得 称之为用givens变化向量 与 同方向.,二、矩阵的QR分解,
