1、高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcs22Caxaxdax axaxdaIndInnn rcsinl22)(1cossi2 22222020一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg- -si
2、n cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -tg -ctg180+ -sin -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角公式： 和差化积公式： 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59
3、047182.)1(limsin0exx第 3 页 共 9 页 倍角公式：半角公式： cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： 余弦定理： RCBbAa2iiin Cab22反三角函数性质： rctgxarctgxxxarcosrcsi 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(
4、F)()( )多元函数微分法及应用23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgttzyzx yxxyxyxFzyxF dFdddyvdvyudxvxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2),(1),(1,)(,)( ,)(0),(yuGFJyvvyGFJyuxxxx GFvuvJvuy vu 隐 函
5、数 方 程 组 ：方向导数与梯度： 上 的 投 影 。在是单 位 向 量 。 方 向 上 的， 为， 其 中：它 与 方 向 导 数 的 关 系 是 的 梯 度 ：在 一 点函 数 的 转 角 。轴 到 方 向为其 中 的 方 向 导 数 为 ：沿 任 一 方 向在 一 点函 数 lyxflf ljieyxflf jyfxyxpyxfzl yffllfz),(grad snco),(grad,),(),( sinco),(),( 多元函数的极值及其求法：第 5 页 共 9 页 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ， 令 ：设 ,0),( ),(,),(,),
6、(0),(),(202 0000BACyxA CyxfByxfAffyxf xy曲线积分： )()()(),(),( ,)(, 22 tyxdtttfdsyxf tytxLfL 特 殊 情 况 ： 则 ： 的 参 数 方 程 为 ：上 连 续 ，在设 长 的 曲 线 积 分 ） ：第 一 类 曲 线 积 分 （ 对 弧。， 通 常 设 的 全 微 分 ， 其 中 ：才 是 二 元 函 数时 ，在 ：二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 注 意 方 向 相 反 ！减 去 对 此 奇 点 的 积 分 ， ， 应。 注 意 奇 点 ， 如， 且内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数在，、 是 一
7、个 单 连 通 区 域 ；、 无 关 的 条 件 ：平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 的 面 积 ：时 ， 得 到， 即 ：当 格 林 公 式 ：格 林 公 式 ： 的 方 向 角 。上 积 分 起 止 点 处 切 向 量 分 别 为和， 其 中系 ：两 类 曲 线 积 分 之 间 的 关 ， 则 ：的 参 数 方 程 为设标 的 曲 线 积 分 ） ：第 二 类 曲 线 积 分 （ 对 坐0),(),(),( ),( )0,(),(),(21 212, )()( )cos(),),(),(),()(0),),0 yxdyxQyPyxu uQyPxQGyxPG ydxdxyADyPxQy
8、 QPQdyxdL dPttttPdyxQyPtx DLDLLLL 常数项级数：是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ： nqqnn13212)(112 散 。存 在 ， 则 收 敛 ； 否 则 发、 定 义 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ：、 比 值 审 敛 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 别 法 ） ：根 植 审 敛 法 （ 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法nnnnsusUulim;31li21lim211 。的 绝 对 值其 余 项， 那 么 级
9、数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ：的 审 敛 法或交 错 级 数 1113243 ,0li )0,( nnn n urrusuu绝对收敛与条件收敛： 时 收 敛 时 发 散 级 数 ： 收 敛 ； 级 数 ： 收 敛 ；发 散 ， 而调 和 级 数 ： 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛 ， 则 称发 散 ， 而如 果 收 敛 级 数 ；肯 定 收 敛 ， 且 称 为 绝 对收 敛 ， 则如 果 为 任 意 实 数 ；， 其 中1)1(1)()2()1(232pnpnnun 幂级数：第 7 页 共 9 页 01)3(lim)3(111 11210
10、32 RaaRRxxaxaxx nnnn 时 ，时 ，时 ，的 系 数 ， 则是， 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 ： 设 称 为 收 敛 半 径 。， 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛， 使在数 轴 上 都 收 敛 ， 则 必 存 收 敛 ， 也 不 是 在 全， 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 ， 发 散时 ， 收 敛 于 函数展开成幂级数： nnn nnxfxffxfx RffR xfxfxxf !)0(!2)0()(0)(0 lim,()!1 )(!)(!2)()10( 00)(2000时 即 为 麦 克 劳 林 公 式 ： 充 要 条 件 是 ：可
11、以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 ：函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ：一些函数展开成幂级数： )()!12()!53sin )1(1)(1)( 2 xnxxx nmmm 欧拉公式： 2sincosincoixiixiix exe 或三角级数： 。上 的 积 分 在任 意 两 个 不 同 项 的 乘 积正 交 性 ： 。，其 中 ， 0 ,cos,in2cos,incs,i1 )in()i()( 100 xxxtAbaAxbattf nnn周期为 的周期函数的傅立叶级数：l2llnlnnnndxlfblfa llxblxxf )3,21(si)(1,0co2)si(2)(10 其 中
12、 ， 周 期微分方程的相关概念：即 得 齐 次 方 程 通 解 。 ，代 替分 离 变 量 ， 积 分 后 将， 则设 的 函 数 ， 解 法 ：， 即 写 成程 可 以 写 成齐 次 方 程 ： 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。 得 ： 的 形 式 ， 解 法 ：为： 一 阶 微 分 方 程 可 以 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 或 一 阶 微 分 方 程 ： uxyudxudxuxdyxu xyyfyCxFGdxfg dxfgyQdyPyf )()(,)()()( )()(0,),( 一阶线性微分方程： )1,0()(2 )0)(, )(1 )()(nyxQPdx
13、y eCdxeQCxxyPdx dxPPd，、 贝 努 力 方 程 ：时 ， 为 非 齐 次 方 程 ，当 为 齐 次 方 程 ，时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程 ：全微分方程： 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 ， 其 中 ： 分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如 果 Cyxu yxQuyxPyxdP),( ),(),(0),(,)(二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)()()(2 xfyxQdPx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 第 9 页 共 9 页 式 的 通 解 ：出的 不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式，1r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21两个相等实根 r1)(21一对共轭复根 )(2241pqpirir， ， )sinco2xeyx二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexffylm
