1、山 东科 技大 学高 等代 数课 程第 1页 共 8页高等代数填空题集锦1最小 的数环是 0，最小 的数域是 0,1。2一非 空数集 P,包含 0和 1,且对加 减乘除四 种运算封 闭，则其 为 （ 数域 ） 。3 设 f是实数 域上的映 射 ， )(: Rxkxxf ， 若 (4)12f =， 则 (5)f= -15。4设 (), () fxgx Fx ，若 () 0, ()fx gx m = =，则 () ()fxgx = m。5.若 () (),() ()gxfxhxfx，并且 1),( =fg ，则 ()() ()gxhxfx。6.设 () ()gxfx，则 ()fx与 ()gx的最大
2、 公因式为 ()gx 。7.多 项 式 ()fx、 ()gx互 素 的 充 要 条 件 是 存 在 多 项 式 ()ux、 ()vx使 得1)()()()( =+ xgxxfx 8.设 )(xd 为 )(xf ， )(xg 的 一 个 最 大 公 因 式 ,则 )(xd 与 )(,)( xgxf 的 关 系 )(xd =)(,)( xgxf 。9.设 ()px是多项 式 ()fx的一个 ( 1)kk重因式 ， 那么 ()px是 ()fx的导数 的一个 1k 重因式。10.多项式 ()fx没有重 因式的充 要条件是 )()( xfxf 与 互素。11.按自然 数从小到 大为标准 次序，排 列 2
3、431的反序 数为 4 。12.设 n级排列 niii 21 的反数 的反序数 为 k，则 1 21( )nnii ii = 。【解】1 21( )nnii ii + 2)1()( 21 nniii n += ，所以 1 21( )nnii ii = knn +2)1( 。13.当 k=5， = 4时， 5阶行列 式 D的项122 31453kaaaaa 取 “ 负 ” 号。【 解 】122 31453kaaaaa ， )3,1,2( lk 为 奇 数 ； 所 以 ，与只能取 54,lk 当 5,4=lk 时 ，)3,1,2( lk =4，所以 4,5=lk 。14. 1500005 0004
4、0 00300 02000 0000 =x xx ， =x _。山 东科 技大 学高 等代 数课 程第 2页 共 8页【解】 由行列式 的性质得 512000005 00040 00300 02000 0000 xx xx = ，所以 易得 x。15. 000 0010 0200 1000 nnDn = = !)1(- nn 。【解】 此题容易 ，关键在 于确定正 负号。 16 102013A = , 100145B = ，则 AB=。【解】 AB= = 1612109541001310 201 。17.设行列 式 12203369a中，余 子式 21 3A=，则 a _2.5_。18.设行列
5、 式 12203369a中，余 子式 2 3M=，则 a _2_。19.行列式 941 321 111 的余子 式 23221 MMM + 的值为 16。【解】 23221 MMM + 16411191119411 =+ 。20.设矩阵 A可逆， 且 1A=，则 A的伴随 矩阵 A的逆矩 阵为 A。【解】 由 AAA *1= ，所以AAAAAA 1)()(, 111*1* = 所以 ,即为 A。山 东科 技大 学高 等代 数课 程第 3页 共 8页21设 A、 B为 n阶方阵 ，则 2 2 2( ) 2AB A ABB+ = + +的充要 条件是 BAAB= 。22一个 n级矩阵 A的行（ 或
6、列）向 量组线性 无关，则 A的秩为 n。23.设矩阵 1 1123 1253 6A = ，且 () 2RA=,则 ( ) ( )= , 。【解】 1 1123 1253 6A = ，对其 进行初等 行变换得 += 4-5-80 4-4-30 211-1635 21-3 211-1 ，又因 为 () 2RA=，所以 () )1(,5 = 。24.设 A为 n阶矩阵 ，且 1=A,则 =)(AR _n_。【解】 因为 ，01=A 所以 A满秩。25.2153A = ,则 =1A 125- 1-3 。【解】 = 25-10 2-60225-10 01121035 0112 ，所以 =1A 125-
7、 1-3 。26.已知 A 0101 1,001k = 其中 0k ，则 =1A 100 110 101 kk 。【解】 = 100100 110010 10100100100 010110 00110 kk ，所以 =1A 100 110 101 kk 。27.若 A为 n级实对 称阵，并 且 OAT=，则 A=0。28.设 A为 5阶方阵 ， 且 3det =A， 则 =1detA 31， =)det(A 9， A的伴随 矩阵 A的行列 式 =)det(A 81。29.设 A为 4阶矩阵 ，且 2=A ,则 *2A=_82_。山 东科 技大 学高 等代 数课 程第 4页 共 8页【解】 由
8、 AAA *1= 得， 1=nAA ，所以 *2A= nnA230.A为 3阶矩阵 ， 0.5A= ，则AA 5)2( 1 =（ -4） 。【解】 因为 AAA *1= ，所以 AA 5)2( 1 12- =A=-4.31.设 = 12 643152 X ,则 X= 8023-2 。【解】 由题意得 将 12 643152 与 写成一 行得： = 8010 32-2011231 6-452 ，所以 X= 8023-2 。32.CBA , 是同阶 矩阵， ,0A 若 ACAB= ,必有 CB=，则 A应是 (单位矩 阵 )。【解】 因为 ACAB= ，所以 ,0)( =CBA 又因为 ,0A 所
9、以 AE=.33.一个齐次线性方程组中共有1n个线性方程、 2n个未知量，其系数矩阵的秩为 3n，若它有非零 解，则它 的基础解 系所含解 的个数为3n。34.含有 n个未知 量 n个方程 的齐次线 性方程组 有非零解 的充分且 必要条件 是 系数矩 阵的行列式 等于零 。35.线性方 程组有解 的充分必 要条件是 系数矩 阵的秩等 于增广矩 阵的秩 。36.方程组 = 313 232 121 axx axx axx 有解的 充要条件 是 0321 =+ aaa 。【解】 系数矩阵 为 101- 1-10 01-1 ，增广 矩阵为 += 213 21321 000 1-10 01-1101-
10、1-10 01-12000 1-10 01-1101- 1-10 01-1 aaaaaaaa，秩为 。37.A是 nn矩阵 ， 对任何1nb矩阵 ， 方程 bAX=都有解 的充要条 件是 _A的秩与 A的增广矩阵 的秩相等 _。38已知 向量组 )4,3,2,1(1= ， )5,4,3,2(2= ， )6,5,4,3(3= ，山 东科 技大 学高 等代 数课 程第 5页 共 8页)7,6,5,4(3= ，则向 量 =+ 4321 )2,2,2,2( 。39.若1 2 0s += ，则向 量组 1 2, , , s 必线性 相关 。40.已知向 量组 )4,3,2,1(1= ， )5,4,3,2
11、(2= ， )6,5,4,3(3= ，)7,6,5,4(3= ，则该 向量组的 秩是 2。【解 】 向量组 的秩等于 = 0000 0000 3-2-1-0 43219-6-3-0 6-4-2-0 3-2-1-0 43217654 6543 5432 4321 ， 所以秩 为2.41.若 可由r , 21 唯一表 示 ,则 r , 21 线性 无关 。42.单个向 量 线性无 关的充要 条件是 0 。43.设 m , 21 为 n维向量 组 ,且 nR m=),( 21 ，则 nm。44. 1+n 个 n维向量 构成的向 量组一定 是线性 相关 的 。 （无关 ，相关）45.已知向 量组 ),
12、3,1(),3,2,2(),1,0,1( 321 t= 线性无 关，则 =t （ 25） 。【解】 25,02500 120 10131 322 101 = ttt 所以 。46.设 sttt ,21 两两不 同 ,则 rittt riiii ,2,1,),1( 12 = 线性 无关 。【解】i的行列 式可组成 范德蒙行 列式。47.A = 200 01 011 kk 是正定 阵，则 k满足条 件 2k 。【解】 A = 200 01 011 kk 的各阶 顺序主子 式为.21,0200 010 011,0111 kkkkk 或解得 48.当 t满 足 条 件 ， 使 二 次 型 323121
13、232221 22232 xtxxxxxxxxf += 是 正 定山 东科 技大 学高 等代 数课 程第 6页 共 8页的。 【 解 】 此 二 次 型 的 系 数 矩 阵 为 31- 21 1-11t t ， 顺 序 主 子 式0)1(2210 110 1-1131- 21 1-11 2+=+ += tt tt t ，可求 得 t值。49.设 n阶实对 称矩阵 A的特征 值中有 r个为正 值 ， 有 rn为负值 ， 则 A的正惯 性指数和负惯性 指数是 n。50.矩阵 = 3100 4300 0080 0007A 的特征 值是 _。【解 】 =AE )136)(8)(7(3100 4300
14、0080 0007 2 += 0=， 求出 值即可 。 51.设 A为 3阶方阵 ，其特征 值为 3， 1， 2，则 =A-6。52.A满足 022 =+ IAA ，则 A有特征 值 _-1_。【解】 0)(2 22 =+=+ IAIAA ,两边取 行列式得0)()()( 222 =+=+ IAIAIA ，所以 特征值为 -1.53.设 n阶矩阵 A的元素 全为 1，则 A的 n个特征 值是 。【解】 0111 111 111 = = AE ,解出 即可。54.设矩阵 A是 n阶零矩 阵，则 A的 n个特征 值是 0。55.如果 A的特征 值为 ，则 TA的特征 值为 。56.设 1, 2 3
15、( , )xxx= 是 3R的任意 向量 ， 映射 1 1() (cos,sin,0)x x= 是否是 3R到自身 的线性映射 不是 。57.设 1, 2 3( , )xxx= 是 3R的任意 向量，映 射 2 2 21 2 3() ( , , )xxx= 是否是 3R到自身 的线性山 东科 技大 学高 等代 数课 程第 7页 共 8页映射 不是 。58.若线性 变换 关于基 21, 的矩阵 为 dcba ， 那么线 性变换 关于基 12,3 的矩阵为 。【解】 21, dcba = 12,3 A,所以易 得 A。59.对于 n阶矩 阵 A与 B，如 果存在一 个可逆矩 阵 U,使得 1=UB
16、UA ，则 称 A与 B是相似的。60.实数域 R上的 n阶矩阵 Q满足 1=QQT ，则称 Q为正交 矩阵。61.实对称 矩阵的属 于不同特 征根的特 征向量是 彼此 线性无 关的 。62.设 V是数域 C上的 3维向量 空间 ， 是 V的一个 线性变换 ， 321 ， 是 V的一个基 ， 关于该 基的矩阵 是 321 321 111 ， 321 += ， 则 )(关于 321 ，的坐标 是 _。【解】 略。 63.设 ,21 n 是向量 空间 V的一个 基 ， 由该基 到 12 ， n 的过渡 矩阵为_。【解】 由过渡矩 阵的性质 有 12 ， n = , 21 n A，所以A= 000
17、001 100 。64.设 , 21 n ， 是向 量空间 V的一 个基，由 该基到 11 ， nn 的过 渡矩阵为 _。【解】 由过渡矩 阵的性质 得 11 ， nn = , 21 n ， A，所以A= 001 000 100 。65.设 V与 W都是 F上的两 个有限维 向量空间 ，则 WV WV与 有相同 的维数 。山 东科 技大 学高 等代 数课 程第 8页 共 8页66.数域 F上任一 n维向量 空间都却 与 nF 同构 。 （不同 构，同构 ）【解】 同构的充 要条件之 一是含有 相同的维 数。 67.任一个 有限维的 向量空间 的基是 _不同 _的，但 任两个基 所含向量 个数是 _相同 _。68.设 为变换 ， V为欧氏 空间，若 V, 都有 ,)(),( = ，则为 正交 变换。【解】 根据正交 变换的定 义可知。 69.在 ( ) ( ) = 21213 ,2,1,0,3,2,1, 则中R 。【解】 由线性向 量的性质 知： 21 ， 821 = 。70.设 ( ) ( )nn bbbaaa , 2121 = ，则在 ,中nR = 。【解】ini iba= 1, 。
