1、姓名 学号 (高等代数习题册) 1第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R上的线性空间? (a) 集合() deg() f xRx f n| =关于多项式的加法和数乘. (b) 集合() TnA MRA A|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0 nn nx xR=|关于数列的加法和数乘. 2. 设V是数域F 上的线性空间, 证明() kkk =, 这里 Vk F, ,. 姓名 学号 (高等代数习题册) 23. 下述集合是否是()nM R的子空间 (a) ( ) TnVAMRA A= |= (b) () () VfAfxRx=|, 这里()nAMR是一个固定方阵. 4
2、. 叙述并证明线性空间V的子空间1W与2W的并12WW仍为V的子空间的充分必要条件. 5. 设1S与2S是线性空间V的两个非空子集, 证明: (a) 当12SS时, 12() ()Span S Span S . (b) 12 1 2() () ()Span S S Span S Span S=+ . (c) 12 1 2() () ()Span S S Span S Span S. 姓名 学号 (高等代数习题册) 36. 如果123f ff,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间R x中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S是数域F上线性空间V的一
3、个线性无关子集, 是V中一个向量, S , 则S 线性相关充分必要条件 ()Span S . 8. (a) 证明|()ij jiEEij+是()nM F中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间() () f Afx Fx| 的一个基和维数, 这里010001000A=9. 在4R中, 求向量在基1234(), ,下的坐标, 其中 123412101111120301311014 =,=,=,=,= 姓名 学号 (高等代数习题册) 410. 求一个非零向量, 使得它在基1234(),下的坐标和它在基1234(), ,下的坐标相同, 这里1234,与第9题相同, 1
4、2342010112122112111 =,=,=,= 11. 在4R中, 求由向量 123 421 1112 1 1 30 3111 0 1 =,=,= ,= 所张成的子空间的一个基与维数 12. 设123 411111146113511 2 2 =,=,=,= ,123411 3 1111 111 1 1513 1 =,=,=,= 11234W Span=, 2 1234W Span=, 请分别求12WW+和12WW的一个基 姓名 学号 (高等代数习题册) 513. 设12( ) 0 1 , ( ) 1 ij n n ij ij n n ij jiVa a ijnVa aaijn=|=,=
5、|=,是矩阵空间()nM R的两个子空间, 证明12VV 14. 设3323212 3222 3 3 222gxxgxxxgxxx=+,=+,=+,是Fx的子空间V一个基, 33 212321 2 2f xxfxxfxx=+,=+,= +. 请问123f ff, ,中哪些是属于V,哪些是不属于V, 如果属于请给出它在基123()ggg,下的坐标. 15. 4R中, 求由基1234(),到基1234(),的过渡矩阵, 并求向量在指定基1234(),下的坐标. 其中1 (1 1 1 1)=, 2 (1 1 1 1)= , , , 3 (1 1 1 1)= , , , 4 (1 1 1 1)= ,
6、; 1 (1 1 0 1)=, 2 (2 1 3 1)= , , 3 (1 1 0 0)=, 4 (0 1 1 1)= , , . (1 0 0 1)=,. 姓名 学号 (高等代数习题册) 616. 设123()AAA,和123()B BB,是矩阵空间2()M R的子空间V的两个基, 其中 12 31 2 310 01 11 4 5 03 21,11 10 00 11 31 12AA AB B B =,=,= = ,=,= 求 (a) 基123()AAA,到123()B BB,的过渡矩阵. (b) 3631C=在基123()AAA,的坐标 (c) C在基123()B BB,的坐标 17. 设W
7、是全体实函数关于函数的加法和函数的数乘所成的实数域上的线性空间, 1W是全体偶函数 所成的子集, 2W是全体奇函数所成的子集.证明:1W与2W是W的子空间且12WWW= . 18. 设1W与2W分别是齐次线性方程组120nxx x+=null与 12 nx xx= =null的解空间.证明12nR WW=, 这里R是实数域. 姓名 学号 (高等代数习题册) 719. 如果12VVV=, 而111 12VV V=, 证明:11 12 2VV V V= . 第七章习题册 1. 判别下列变换是否线性变换? (a) 是线性空间V中一个固定向量定义() TV:= + , (b) 在3R中, 定义2212
8、3 1 2 33()( )Txx x x x xx, := ,+, . (c) 在3R中, 定义123 1 22 3 1()(2 2)Txx x x x x x x, := ,+, . (d) 在Fx中, 定义() ( 1)Tfx fx=+ 2. 设VW,分别是数域F上的n维与m维线性空间, 12 n, ,null是V的一个基, 而12 n,null 是 W 中 n 个向量.证明存在唯一的线性映射TV W:使得( ) 12iiTin= ,=, ,null . 姓名 学号 (高等代数习题册) 83. 设VW,是数域F上的两个线性空间, ()LVW,是V到W的所有线性映射所组成的集合.证明 ()L
9、VW,关于线性映射的加法与数量乘法, 成为数域F上的一个线性空间. 4. 在Fx中, 定义 12()() () ()df xTfx Tfx xfxdx:= , := , 证明: 12 21TT TT E = 5. 设T是V的线性变换, 向量 V , 存在一个正整数k,使得1()0kT但()0kT = . 证明: 21 ()()()kTT T, ,null 线性无关. 6. 证明: 设12TT, 是V的可逆线性变换, 则12TT 也是可逆线性变换, 并且11112 2 1()TT T T= . 7. 设T是V的线性变换, 证明T是单射线性变换的充分必要条件是T把线性无关的向量组变为线性无关的向量
10、组. 姓名 学号 (高等代数习题册) 98. 设VW,是数域F上的 两个线性空间, 而TV W:是线性映射. 证明kerT与()TV分别是V与W的子空间. 又若dimV有限, 证明: dimker dim ( ) dimTTV V+=. 9. 在线性空间2()M F定义线性变换()TX AX XA=, 其中1234A=, 求T在基11 12 21 22()EEEE,下的矩阵. 10. 设1234V Span f f f f=,为函数空间的4维子空间, 其中1cosf bx= , 2sinf bx= , 3cosf xbx= , 4sinf xbx= , 求微分变换D在基1234()f fff,
11、下的矩阵. 11. T是n维线性空间V上的一个线性变换, 如果存在 V使得1()0nT , 但()0nT = .证明在V中存在一个基, 使得 T在该基下的矩阵为 00 0010 0001 0000 10A= .nullnullnullnullnullnullnullnullnull姓名 学号 (高等代数习题册) 1012. 设V是n维线性空间, 求dim ( )LVV, , 并找出()LVV,的一个基. 13. 证明与n维线性空间V的所有线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 14. 设123131 1 2 1211 =,=,= 是3R的一个基, 定义线性变换为12350 5( )0( )1(
12、)1369TTT =, =,=, 求T在基123(), ,下的矩阵并求()T , 其中2 15=15. 设APPB=, 其中1581026900370004P=,0234002300020000B= ,求10A 16. 若A可逆, 证明AB与BA相似. 姓名 学号 (高等代数习题册) 1117. 若A与B相似, C与D相似, 证明00AC与 00BD相似 18. 设A与B相似, C与D相似, 请举反例说明AC与BD不一定相似, A C+与B D+不一定相似. 19. 设12310 3 0 1 1210 =,=,=, 123100010001eee =,=,=, 在定义为15( )03T=,20
13、( )16T= ,35( )19T=, 已知3R中线性变换T在基( )123, ,下的矩阵为100110002,求T在基123()eee,下的矩阵. 20. 设12 nee e,null是线性空间V的一个基, 11nnj iji j ijiiiae be=,=, () ()ij ijA aBb= ,= , 已知12 n, ,null线性无关. T是V上的线性变换使得( ) 12iiTin= ,=, ,null . (a) 证明T在基12( )n,null下的矩阵为1AB. (b) T在基12()nee e,null下的矩阵为1BA. 姓名 学号 (高等代数习题册) 1221. 证明: 1212
14、( , , ) ( , , )nniiidiag diagnullnull, 其中12()nii i, ,null是(1 2 )n, ,null的一个排列. 22. 设V为数域F上的线性 空间, T是V的线性变换, 若0是T 的特征值, 则对任意()fF , 0( )f是 ()f T的特征值, 且T的属于0的特征向量也是()f T的属于0( )f的特征向量. 23. 设12,是线性变换T的两个不同的特征值, 12,分别是属于12,的特征向量, 证明12+不是T的特征向量 24. 设T是V的线性变换. 证明:T是可逆线性变换充要条件零不是T的特征值, 并且若是T的特征值, 则1是1T的特征值 2
15、5. 设AB,是n阶方阵. 证明若1B PAP= , 则() ()Tr B Tr A= 姓名 学号 (高等代数习题册) 1326. 设V是复数域上的线性空间, 123(),是V的有序基, T是V上线性变换 它在有序基123(), ,下的矩阵为 310410482A= , 求T的特征值与特征向量. 27. 求11 1 111 1 1111 11111A=的特征值与特征向量. 28. 证明不可能存在n阶方阵A和B使得AB BA E = 姓名 学号 (高等代数习题册) 1429. 求下面矩阵12 121112111212 111 21 124 242A= 的特征值 30. 设A是一个n阶下三角矩阵.
16、 证明若A的对角线元素11 22 nnaa a= =null , 且A不是对角阵, 则A不可对角化. 31. 设A是3阶方阵, 112,是A的三个特征值, 101111011, ,是分别属于特征值112,的三个特征向量, 求A. 32. 设142034043A= ;求可逆矩阵P使得1PAP为对角阵, 并求kA . 姓名 学号 (高等代数习题册) 1533. 设A是一个n阶下三角矩阵. 证明若A的对角线元素ii jjaa , (ij ), 则A可对角化 34. 已知T在一个基下的矩阵为 310410482A= ,试问T是否可以对角化 35. 对于n阶方阵A, 定义() () nCA D M F
17、AD DA:= | = (a) 证明()CA是()nM F的子空间 (b) 设1B PAP=, 定义映射1()f DPDP:= , 证明f是()CA到()CB的同构映射 (c) 设A是n阶对角矩阵, 它的特征多项式为 12 ()( )( )( )scccDsdd d= ,null其中12 sdd d, ,null两两不同, 证明22 212dim ( )sCA c c c=+.null 姓名 学号 (高等代数习题册) 1636. 设()nAMF , 证明()nM F的子空间() () VfAfxFx= |的为数等于()Am的次数. 37. 设A为准对角矩阵12()sdiag A A A, ,n
18、ull 其中iA为in阶方阵, 它的最小多项式为()12imi s,=, ,.null 证明: 12()()()()Asmmm m=,null (即A的最小多项式是12 sAA A, ,null的最小多项式的最小公倍式). 38. 设101011112A=,求A的最小多项式. 39.求矩阵0101101001011010A=的最小多项式, 并判断它们是否可对角化. 40. 证明: A是幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为零 姓名 学号 (高等代数习题册) 1741. 设T是矩阵空间()nM F上的线性变换定义为()TTA A:= . 证明: T是否可对角化 42. 若W是V的一维子空间, T
19、是V的线性变换, 则W是T -子空间充分必要条件W中任一非零向量都是属于同一特征值的特征向量. 43. 设V是复数域上n维线性空间, 1T ,2T是V 的线性变换, 且12 21TT TT= . 证明:1T , 2T至少有一个公共特征向量 44. 设T是线性空间V的线性变换, W是T -子空间, 证明()()WTTmm| 45. 设T是线性空间V的可逆线性变换, W是T -子空间, 证明W也是1T-子空间. 46. 设A是实方阵, 则存在实可逆方阵P使得1PAP为上三角阵的充分必要条件是A的特征值全为实数. 姓名 学号 (高等代数习题册) 1847. 设T是3维线性空间V的线性变换, 它在基1
20、23(), ,下的矩阵为 210021002A= ,(a) 证明如果W是T的非零不变子空间, 则1 W , (b) 证明不存在两个T -子空间12WW, , 使得12VWW= 48. 设12TT,是n维线性空间V的两个线性变换, 并且11221TTTTT= , V是属于的1T特征向量, 证明2 012 iW Span T i=|=,null是2T -子空间, 也是1T -子空间. 49. 设T是n维线性空间V的两个线性变换, () () f xgx Fx, , () ( () ()dx fx gx= , () () ()hx f x gx=, (a) 证明如果() ()f xgx|, 则ker
21、 ( ) ker ( )f TgT (b) ker ( ) ker ( ) ker ( )f TgTdT= (c) ker ( ) ker ( ) ker ( )hT f T gT=+ 姓名 学号 (高等代数习题册) 19第八章习题册 1. 试求下列各 -矩阵的秩, 并判别哪些矩阵是可逆的, 如可逆, 求出其逆矩阵. (a) 22 2 111 1 1 1 +(b) 210 10 1 1 (c) 5 125 5 1+.2. 用初等变换求 -矩阵 2100 2100 2的标准形, 和不变因子: 姓名 学号 (高等代数习题册) 203.求下列 -矩阵 31004 10 061 2114 5 1 1+
22、的标准形和行列式因子 4. 设()A与()B 均为mn的矩阵, 证明()()AB的充分必要条件是存在m 阶可逆 -矩阵()P和n阶可逆 -矩阵()Q使得()()()()PAQ B= . 5. 求下列 -矩阵的行列式因子及其标准形: (a) 1000 1000 1000,(b) 21 12 2112 1 , +姓名 学号 (高等代数习题册) 21(c) 01221 00 0 1 0001 0 00 000 0 1nn+nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnull6. 设201111100A=,求7A 7. 设()F , 证明()A为可逆矩阵当且仅当(
23、)与 ()A互素. 8. 证明下列方阵000000aaa, 000100aaa, 100100aaa不能相似. 9. 证明n方阵A与其转置 矩阵TA相似. 姓名 学号 (高等代数习题册) 2210. 求矩阵011101110A=的有理标准形. 11. 设 -矩阵()A的等价标准形为 OOO,其中242 (1 1 2 1)diag= , +,求()A的初等因子. 12. 设 -矩阵56()A的秩为4, 初等因子为: 32 1 1 1( 1), , , , , +, + , 求()A的标准形. 13. 设A的初等因子为: 22 1 1( 1),+,+, 求不变因子 14. 求下列 -矩阵()A的初
24、等因子: (a) 200000( 1) 0()0( 1) 0 0( 1) 0 0 0A=;姓名 学号 (高等代数习题册) 23(b) 11 0()4 3010 2A+=;15. 求下面矩阵A的若当标准形J和过渡矩阵P , 使得1JPAP= . 并求9A (a) 110111011A=(b) 548851210 1A=姓名 学号 (高等代数习题册) 24(c) 53 285 443 3A= 16. 设A是n阶方阵, 12 ()()()()An= null , () f xFx , 证明 () 1 2 ()( ( )( ( ) ( ( )fA nff f= null 第九章习题册 1. 对于()n
25、AB M R, , 定义() ( )TAB TrAB, := , 请验证( , )是()nM R的内积. 2. 设( , 1)(, , 2)是V的两个内积, 对于 V, , 定义12()()(), := , + , , 请验证( , )是V的内积. 姓名 学号 (高等代数习题册) 253. 向量 V, , 则=当且仅当 ()(),=,对任意 V成立. 4. 在欧氏空间中 2211() 44,=|+| 5. 设( , )为酉空间V的内积, 对于 V, 定义2() f zz:= , 求z使得函数()f z最小. 6. 设4VR= , 在标准内积之下, 求 (2132)=,与 (1 2 2 1)=
26、,的夹角. 7. 设( , )是2C上标准内积, 试证2C上不会有非零线性变换T , 使得( () 0T, =对所有2 C都成立. 8. 在4R中求一单位向量 与(1111)(1111)(2113)TTT, , , , , , , ,正交. 姓名 学号 (高等代数习题册) 269. 设12 n,null为V的一个基, 数12 nbb b F,null , 则V 中存在唯一向量 , 使得 ()12iibi n,=,=,null . 10. 在2R x中定义内积为10( ) ()()f gfxgxdx,=, 求2R x的一个标准正交基 (由21 x x,出发正交化). 11. 设12,是欧氏空间V
27、一个基, 1112G=是内积在基12(),的度量矩阵, 求V的一个标准基. 12.设A B,为酉阵, 证明AB也是酉阵. 姓名 学号 (高等代数习题册) 2713. 设112120111A=, 求正交阵Q和上三角阵R , 使得A QR= . 14. 设V是n维欧氏空间, 0是V中固定向量. 证明()0WxVx:= | , =是V的子空间并且dim 1Wn=. 15. 设12VV,是欧氏空间的两 个子空间, 证明: 12 1 2 1 2 1 2() ()VV V V VV V V + =, =+ 16. 证明非齐次线性方程组TTAAX A= b始终有解. 姓名 学号 (高等代数习题册) 2817
28、. 设A是欧氏空间V的一个变换, 如果A保持内积不变, 即对任意的 V, , 都有( )()AA, =, 证明A一定 是线性的, 因而它是正交变换. 18. 如果A是正交变换, 证明: A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间. 19. 设12 m,null和12 m,null是n维欧氏 空间中两个向量组, 证明存在一个正交变换A使得 12iiAi m=,=,null 的充分必要条件是()()12ij ijij m, =,=,null . 20. 证明:上三角的正交矩阵必为对角矩阵, 并且对角线上的元素为1或1 . 21. 如果是正交矩阵A的特征值, 证明1也是A的特征值. 姓名 学号 (高等
29、代数习题册) 2922. 设T内积空间V的线性变换, 如果对任意的 V, 都有( )()TT, = , , 则称T为斜埃尔米特变换, 一个矩阵A, 如果满足TAA= , 则称A为斜埃尔米特阵, 证明:T为反对称充分必要条件T在一个标准正交基下的矩阵为斜埃尔米特阵. 23. 设T内积空间V的斜埃尔米特变换, 证明T的特征值是零或纯虚数. 24. 设T内积空间V的斜埃尔米特变换, 如果W是V的T -子空间, 证明W是T -变子空间. 25. 设A为n阶实矩阵, 证明: 存在正交矩阵T , 使得1TAT为上三角矩阵充分必要条件为A的特征多项式的根全是实的. 26. 如果A是实对称阵, 则存在正交阵Q使得11()nQAQ diag= , ,null 其中 1n,null是A的特征值. 姓名 学号 (高等代数习题册) 3027. 求正交矩阵Q, 使得1QAQ成为对角矩阵: (a) 22021 2020A= (b) 744418481A=28. 求一个实对称矩阵A, 使得121111,是A的特征向量, A的特征值是211 ,
