1、第一讲不等式和绝对值不等式一 不等式1.不等式的基本性质,1.两个实数大小的比较.设a,bR,则(1)ab_.(2)a=b a-b=0.(3)_ a-b0,ab,2.不等式的基本性质：,bc,ab,acbc,ac,1.若a0时，若ab，则有 ;当ab0时，若ab,则有 ;当ab=0时，若ab是ac2bc2的什么条件？提示：必要而不充分条件.当ab时，不能推得ac2bc2，因为当c=0时，有ac2=bc2；若ac2bc2，则 所以 即ab.,3.如果a,bR,并且ab,那么下列不等式一定成立的是_.-a-b；a-1b-2；a-bb-a；a2ab.【解析】因为a,bR,并且ab,所以-a-b,故一
2、定成立.ab,-1-2,根据不等式的性质可得，a-1b-2,故一定正确.a-b0，则b-a0,所以a-bb-a,故一定正确.不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，而a的符号不确定，故不一定正确.答案：,1.实数大小的比较,2.不等式性质中的“”和“”表示的意思在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与“”，即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”，这要求必须熟记和区别不同性质的条件，如 而反之则包含几类情况，即若则可能有ab,ab0,也可能有a0b.即ab,ab0与是不等价关系.,3.实数的基本
3、性质在研究不等式的性质，解不等式和证明不等式时，经常要用到实数的一些基本性质，这些性质可概括为8条公理：公理1：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.公理2：正(负)数中，绝对值较大的数其数值较大(小).公理3：正(负)数的相反数是负(正)数.公理4：两数之差大于零，则被减数大于减数；两数之差等于零，则两数相等；两数之差小于零，则被减数小于减数.,公理5：两个正(负)数的和仍是正(负)数.公理6：同号(或异号)两数相乘或相除，其积或其商为正数(或负数).公理7：两正数之商大于1，则被除数大于除数；两正数之商等于1，则被除数等于除数；两正数之商小于1，则被除数小于除数.公理8：任何一个实数的平方
4、都不小于零.,类型 一 作差法比较大小 【典型例题】1.当p,q为正数且p+q=1时,比较(px+qy)2与px2+qy2的大小.2.a,bR+,且ab时,比较a3b2+a2b3与a5+b5的大小.【解题探究】1.(px+qy)2的展开式是什么?2.比较多项式的大小常用的方法是什么?,探究提示:1.(px+qy)2=p2x2+2pqxy+q2y2.2.常用作差比较法.【解析】1.(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+2pqxy+q2y2-px2-qy2=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p,所以(px+qy)2-(px2+qy
5、2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)20,所以(px+qy)2px2+qy2,当且仅当x=y时,不等式中等号成立.,2.a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)因为a,bR+,ab,所以(a-b)20,a+b0,所以a5+b5-(a3b2+a2b3)0,a5+b5a3b2+a2b3.,【拓展提升】作差比较的两种变形技巧作差比
6、较是判断两个数或式大小关系的最基本的方法，关键是作差后对差变形，以判定差的符号，常有两种变形技巧：(1)利用因式分解化为若干个可直接判断符号的式子的积的形式.(2)若式子为二次式，常用配方法、判别式法.,【变式训练】已知xy0,比较 与 的大小.【解析】因为xy0,所以x-y0,x+y0,x20,x2+11,所以所以 故,类型 二 利用不等式的性质判断命题的真假【典型例题】1.若 则下列不等式：a+b|b|；ab中，正确的不等式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.0个2.若ab0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由.(1) (2),【解题探究】1.由 能否比较a,b,0的大小关系？2.
7、比较大小的依据是什么？探究提示：1.由 可知ba0.2.不等式的基本性质.,【解析】1.选A 所以a+b0ab， |a|b|，即正确，错误2(1)成立.由ab0得aa-b0，所以则(2)成立.因为ab0,所以a+bbbac2bc2;当没有“c0”这个条件时，abac2bc2就不正确.再如 时，还必须添加条件ab0.,【变式训练】已知三个不等式：ab0,bc-ad0, (其中a,b,c,d均为实数).用其中两个作为条件，余下一个作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选D.因为所以；均成立.,类型 三 利用不等式的性质证明简单不等式 【典
8、型例题】1.已知ab0,cd0.所以 所以 所以 即两边同乘以-1，得,2.因为(a2b2)(abab1)所以a2b2abab1.,【拓展提升】利用不等式性质证明简单不等式利用不等式性质证明简单不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件.若不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.,【变式训练】1.已知ab0,cd0.求证：2.已知cab0,求证：【解题指南】先分析各不等式的特点，分析待证式与已知条件的关系，然后结合不等式的性质证明.,【证明】1.因为ab0,所以因为cd0,所以所以所以 所以即 又a,
9、c,b,d均大于0，所以 所以,2.因为ab,所以-aab0,所以0b0,所以,【易错误区】对不等式的性质理解不透而致错【典例】已知则2-的取值范围是_.【解析】 设2-=A(+)+B(-),则2-=(A+B)+(A-B),比较两边系数得 所以因为所以故答案：,【误区警示】,【防范措施】1.待定系数法的应用已知两个代数式的范围，求另一个代数式的取值范围时，应用待定系数法，体现整体思想的应用，再利用同向不等式的同向可加性求解，如本例中将2-表示为+和-的形式求解.2.注意同向不等式相加时的应用同一问题中，应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，否则易导致范围扩大，如本例可用待定系数法避免多次使用
10、.,【类题试解】已知a-b1,2,a+b2,4,则4a-2b的取值范围是_.【解析】因为a-b1,2,a+b2,4,所以4a-2b=(a+b)+3(a-b)5,10.答案：5，10,1.若 则( )A.abc B.bacC.cab D.bca【解析】选A.由于a1，0bc.,2.已知a,b,c均为实数，下面四个命题中正确的个数是( )abc2ab； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】选C.不正确.因为a-b0,所以(-a)2(-b)2,即a2b2.不正确.因为若bbc.正确.因为ac2bc2，所以c0,ab.正确.因为a-b0，所以,3. 已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab
11、”是“acbd”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选B.由而当ac2，bd1时，满足 但acb d不成立，所以“ab”是“acbd”的必要而不充分条件.,4.已知0yz B.xxz D.zxy【解析】选C.因为00,不妨令则 所以yxz.,5.有以下四个条件：b0a；0ab；a0b；ab0.其中能使 成立的有_(填序号).【解析】因为b0,所以 因为a0b,所以 所以 因为ab0,所以综上知，均能使答案：,6.已知-6a8,2b3,分别求 的取值范围.【解析】因为-6a8,所以-122a16.又2b3,所以-102a+b19.因为2b3,所以-3-b-2.又-6a8,所以-9a-b6.因为2b3,所以当0a8时，当-6a0时，综合得所以 的取值范围分别为(-10,19),(-9,6),(-3,4),
