1、 12323 一般数项级数的敛散性及其判别 3.1 交错级数 1 交错级数 定义 3.1(交错级数 ) 各项正负交错的数项级数 =+11)1(nnnu “ +=nnuuuuu14321)1( ， 或 =1)1(nnnu “ + nnuuuuu )1(4321称为 交错级数 ，其中 ),2,1(0 “= nun 。 若交错级数=+11)1(nnnu 满足 (1) ),2,1(1“=+nuunn； (2) 0lim =nnu ， 则称此级数=+11)1(nnnu 为 Leibniz 型级数。 2 交错级数的 Leibniz 定理 定理 3.1(Leibniz 判别法 ) Leibniz 型级数必收
2、敛， 且余和的符号与余和首项相同，并有 1|+nnur 。 证 1 )()()()(22122124321)1(2 +=nnnnnuuuuuuuuS “ nnnSuuuuuu22124321)()()( =+“ ， nS2单调上升；又 1212223212)()( uuuuuuuSnnnn=“ ，即数列 2nS 有界。由单调有界原理，数列 2nS 收敛。 设 )( , 2 nSSn。 )( , 12212+=+nSuSSnnn。 SSnn=lim ，即级数=+11)1(nnnu 收敛。 1233由证明数列 2nS 有界性可见，=+111) 1 (0nnnuu 。余和+=+11)1(nkkku
3、亦为Leibniz 型级数， 余和nr 与1+nu 项同号，且估计式为 111)1(+=+= nnkkknuur 。 证2 如前已证 12 mS 是递减的， mS2是递增的。又 002212=1)0( ) 1 (nnnxnx的敛散性。 解 10 x 时， 通项 0/，=1) 1 (nnnnx发散。 3.2 绝对收敛级数及其性质 1 绝对收敛和条件收敛 定义 3.2 若正项级数=1nnu 收敛， 则称级数=1nnu 绝对收敛； 若级数=1nnu 收敛，而正项级数=1nnu 却发散，则称=1nnu 条件收敛。 例如，正项级数()()121112121=ppnnnnn级数， 收敛，而 Leibniz
4、 级数()=111nnn条件收敛。说明 收敛 /绝对收敛。 2 绝对收敛与收敛的关系 1234定理 3.2 (绝对收敛与收敛的关系 ) + NpNnNN ,0 ，有 ，所以1|nnu=发散，则 0 ， N ，当 nN 时，12351|nnuu + ，可以取适当的 ，使得1 ，即1|1|nnuu+，或1|nnuu+ ，从而 nN 时， | |nu 单调增加，因此 lim | | 0nnu ，必有 lim 0nnu ；根据级数收敛的必要条件1nnu=发散。 例 3.2 判定级数 =12sinnnn的敛散性。 解 先考察=12sinnnn的敛散性，由于nnn212sin，而等比级数nn211=是收敛
5、的，所以=12sinnnn是收敛的，因此级数=12sinnnn是收敛的，且为绝对收敛。 例 3.3 证明级数=12112)1(nnnn为条件收敛。 解 首先，由 Leibniz 交错级数判敛法知级数=12112)1(nnnn是收敛的；级数=12112)1(nnnn=1212nnn为正项级数，而22)1(12nnnnn +=nnn 12= ，因为调和级数=11nn是发散的，所以级数=12112)1(nnnn是发散的，因此，=12112)1(nnnn为条件收敛。 3.3 绝对收敛级数的性质 1 变正项级数 对级数=1nnu ，令 =+=. 0 , 0 , 0 , 2|nnnnnnuuuuuv 成立
6、 。 反设不真，即=1nnv和=1nnw 中至少有一个收敛，不妨设=1nnv +=+,11即 ， 使() 111kkc 。于是，级数 (3.2)发散，这是因为( )=111nnn是条件收敛。 12392 级数乘积的 Cauchy 定理 定理 3.6(Cauchy) 若级数= 11 nnnnba 与 都绝对收敛，其和分别是 A与 B，则它们的乘积级数=1,kikiba 也绝对收敛，其和为 AB。 证明 首先证明=1,kikiba 绝对收敛，已知正项级数= 11 nnnnba 与 收敛。设它们的 n项部分和分别是nA 与nB ，且数列 nA 与 NB 都有上界，设它们 的上界分别是A 与B 。 设
7、正项级数=1,kikiba 的 m 项部分和是mS ，即 nmppkikikipkimbabababaS +=“22111， 其中ppki , 都是正整数。令 += Nmkkkiiiqmm.,;,max2121“ ，有 ( )( )qqmbbbaaaS + “2121或 BABASqqm （常数） 。 即正数数列 mS 有上界，级数=1,kikiba 收敛，从而乘积级数=1,kikiba 绝对收敛。 其次证明=1,kikiba = AB 。设级数= 11,nnnnba 与=1,kikiba 的 n 项部分和分别是nnBA , 与nS 。又已知 BBAAnnnn=limlim 与 。根据定理3.
8、4，只讨论乘积级数按正方形顺序排列即可。显然，nnnBASNn =+2,有 。从而， ABBASnnnnn=limlim2。 已知部分和数列 nS 收敛，且有一个子列 2nS 收敛于 AB ，则数列 nS 收敛于AB，即 ABSnn=lim 。于是，乘积级数=1,kikiba =AB。 1240注 绝对收敛的级数的许多性质是条件收敛的级数所不具备的， 如任意调整原级数中项的位置后的新级数仍然收敛，且和不变；两个绝对收敛的级数的柯西乘积所组成的新级数仍然绝对收敛，且其和为原来的两个级数的和的乘积。 例 3.4 几何级数 1 | ,1112 , , 0 时， 对 Np ，有 | |21时对 p 有
9、 () Kaabapnnpnnkkk3 |2| 11+=。 由 Cauchy 收敛准则， nnba 收敛。 2 Dirichlet 判别法 定理 3.8( Dirichlet) 设 级数 nb 的部分和有界， 数列 na 单调趋于零。 则级数 nnba 收敛。 证 设=ninnbB1，则 MBn| ， 对 pn , ，有 MBBbbbnpnpnnn2 |21=+“ 。 不妨设na 单调下降0， 对 | , , , 0naNnN 。此时就有 MaaMbaPnnpnnkkk6|)|2|(|2 11=xppnnxnp0,0,sin1是参数，且 。 解 1） 正项级数 =+=13112)1(nnnnn
10、=+13112nnnn发散。事实上有 112lim313112lim =+=+nnnnnnnn。 已知级数=131nn发散，根据定理1.4 的推论，正项级数=+13112n nnn发散。 已知交错级数=1 3)1(nnn收敛， 而数列+=+11112nnn严格减少有下界，根据 Abel判别法，级数 ()311121nnnnn+=绝对收敛。 2） 1p ，有ppnnnx 1sin ，已知级数=11nnp收敛， 于是级数=1sinnpnnx绝对收敛。 10: pp ，由例3.5 知，=1sinnpnnx收敛。又因为 ppppnnxnnnxnnx22cos21)(sinsin2= ， 已知级数=12
11、1npn发散，=122cosnpnnx收敛，则级数 )22cos.21(1pnpnnxn=发散，从而级数=1sinnpnnx发散。于是，当 10 p 时，级数=1sinnpnnx条件收敛。 1245练习11.3 1. 若级数 |1=nnu 收敛，则级数=1nnu 是 _收敛的。 2. 级数 =11)1(n n是 _收敛的。 3. 判别下列级数的敛散性。 1) =111)1(nnn； 2) ()=11101nnnn； 3) ()()()=1!2!121nnnn； 4) =+11)1(nnnn； 5) )!12(1)1(11=+nnn； 6) nnnn10)1(11=+ 。 4. 讨论1sin2nnn=是否绝对收敛。 5. 判断下列级数哪些是绝对收敛，那些是条件收敛。 1) “2222917151311 + ； 2) “+43224123122121； 3) =+11)1ln()1(nnn； 4) =+12)1()sin(nnna； 5) =+12)1(2)1(nnnn； 6) =124sinnnn； 7) =1)1(nnn； 8) =12)1(sinnnn； 9) =132cosnnn； 10) =1)1(npnn。
