1、1判别级数的敛散性 几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较数学与应用数学学年论文题目 几个正项级数敛散性的判别法的强学号姓名教师评语：成 绩指导教师摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级2数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理, 但书上往
2、往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析. 但是, 我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性. 因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢? 下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。1 正项级数相关概念 1.1 正项级数的定义如果级数x n 的各项都是非负实数，即 x n 0, n =1,2, , 则称此级数为正项n =1级数31.2 正项级数敛散性判别的充
3、要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加, 从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理： 正项级数 u n 收敛它的部分和数列s n 有上界.n =1证明 由于 u i 0(i =1, 2, ) , 所以s n 是递增数列. 而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理), 从而本定理得证. n 2 例级数 是正项级数。它的部分和数列的通项(n -1)(n +1) n =2n +1k 2k k +1n +2s n =k -1(k -1)(k +1) k n +1k =2k =2n +1n 2 所以正项级数 收敛。(n -1)(n +1) n =22 正项级数敛散
4、性判别法 21 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理柯西收敛准则:级数40, N N +, n N , p N , 有 u n +1+u n +2+ +u n +p un =1n收敛取特殊的 p =1, 可得推论:若级数u n 收敛, 则 lim u n =0.n =1n 定理：该推论的逆否命题:若 lim u n 0, 则级数u n 发散.n n =1n 2快速判断级数2 的敛散性.n =15n +1n 21=0, 从而根据定理 2 可知, 该级数发散. 解: 由于 lim 25n 5n +15如果 lim u n 0, 则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散; 如果n lim u
5、n =0, 则不能判断级数是否收敛 , 因为存在级数满足lim u n =0 的发散级数，n n 11如；也存在级数满足 lim u n =0 的收敛级数，如2. 显然该逆否命题只使n n =1n n =1n用于满足 lim u n 0 的发散级数.n 22 比较判别法定理 (比较判别法) ： 有两个正项级数u n 与v n , 且N N +, n N ,n =1n =1http:/6有 u n cv n ,c 是正常数.1）若级数v n 收敛, 则级数u n 也收敛;n =1n =12）若级数u n 发散, 则级数v n 也发散.n =1n =1比较判别法的极限形式：有两个正项级数u n 与
6、v n (v n 0) , 且 limn =1n =1u n=k n v n(0k +).1）若级数v n 收敛, 且 0k n =1n =12）若级数v n 发散, 且 0n =17n =1活用比较判别法(1) 当所求级数的通项中出现关于 n 的有理式时, 比较对象常常选取 p-级数或调和级数 . 例 1 判别级数1的敛散性.n (n +1) n =1111n (n +1) n n =1n较判别法, 原级数1也收敛.n (n +1) n =1(2) 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时, 利用不等式选取适当的比较对象.例 2 判别级数2n sinn =138n的敛散性.分析: 考虑当 x
7、 0 时, sin x 3n3n, 2n sin3n2n=() , 而 n332n 2() 是公比|q |=(3) 当所求级数的通项放大、缩小不方便时, 可采用比较判别法的推论. 例 3 判别级数解: 由于 lim n 4n -1的敛散性. 2n +1n =194n -1n 2+114n 2-n=lim =4, 又因为 n n n 2+11是发散的, 则原级数也发n =1n散.23 柯西判别法(根值判别法)定理 4(柯西判别法) ： 有正项级数u n (u n 0) , 存在常数 q .n =11）若N N , n N , 有 u n q +n =12）若存在无限个 n, 有 n 1, 则级数
8、u n 发散.n =1证明 1）已知 N N +, n N , 有 n q 或 u n q n . 又已知几何级数qn =010n(0q n =1u n 1, 即 u n 不趋近于 0(n ) , 于是级数u n 发散.n =1根值判别法的极限形式： 有正项级数u n , 若 lim u n =l , 则n =1n 1）当 l n =12）当 l 1 时, 级数u n 发散.n =1活用柯西判别法 例 1 判别级数(n =1n n) 的敛散性. 2n +1解: 由于 lim u n =lim (n 11n n n n 1) =lim =n 2n +12n +12论, 可得级数(n =1n n)
9、 收敛. 2n +12n例 2 判别级数ln n 的敛散性。n =13n 222u =lim lim =lim =21, 所以根据柯西判别法的解: 由于 n 0n n 3ln n n ln n 33n2n推论知, 级数ln n 发散.n =1324 达朗贝尔判别法(比值判别法)定理 (达朗贝尔判别法) ： 有正项级数 u n (u n 0) , 存在常数 q .12n =1u n +1q +u n +11, 则级数u n 发散. 2）若N N , n N , 有 u n n =1+比值判别法的极限形式： 有正项级数 u n (u n 0) , 且limn =1u n +1=l .n u n1）
10、当 l n =12）当 l 1 时, 级数u n 发散.n =1活用达朗贝尔判别法 例 1 判别级数解: 由于 limn !13的敛散性. n n n =1n ! nu n +1(n +1)! =lim n u n n (n +1) n +1=lim (nn n n 11) =lim (1+) n =n n +1n e据达朗贝尔判别法的推论知, 级数5n例 2 判别级数5 的敛散性.n =1nn !收敛. n n n =1u n +15n +1=lim 解: 由于 limn u n n (n +1) 55n n=lim 5(514n n 5) =51, 根据达朗贝尔判别法 n +15n的推论知
11、, 级数5 发散.n =1n25 积分判别法定理 (积分判别法) ：设 f 为1, +上非负减函数, 那么正项级数f (n ) 与反常积分同时收敛或同时发散. 活用积分判别法 例 1 判别级数1的敛散性. 3n =1n13n =1n解:将原级数11=-x 32x 2+换成积分形式15+11x 3, 由于+11+11111=lim (-2) -(-) =0+=, 即 收敛, 根据积分1p +x 32222p判别法可知, 级数1也收敛. 3n n =11例 2 证明调和级数发散.n =1n+1+11+16解:将原级数换成积分形式 dx , 由于1dx =ln x 1=+-0=+, 即1x x n
12、=1n+111发散, 根据积分判别法可知, 调和级数发散. x n =1n26 拉贝判别法定理(拉贝判别法) ：有正项级数u n (u n 0) , 存在常数q .n =1u n +11) 若N N , n N , 有 n (1-) q 1, 则级数u n 收敛；u n n =1+u n +1172) 若N N , n N , 有 n (1-) 1, 则级数u n 发散.u n n =1+拉贝判别法极限形式： 有正项级数u n (u n 0) , 且极限存在, 若n =1lim n (n u n +1-1) =l . u n1) 当 l n =12) 当 l 1 时, 级数u n 发散.n =
13、1活用拉贝判别法 13 (2n -1) 例 1 讨论级数当 s =1, 2, 3 时的敛散性. 24 (2n ) n =1s解: 当 s =1 时, 由于 n (1-18u n +12n +1n 1) =n (1-) = 所以根据拉贝判别法知, 原级数是发散的.当 s =2 时, 由于 n (1-所以原级数是发散的.u n +12n +12n (4n +3) ) =n 1-() =u n +12n +13n (12n 2+18n +7) 3当 s=3 时，由于 n (1-) =n 1-() =(n ) , 3u n 2n +22(2n +2) 所以原级数收敛.27 其它判别法（一）阿贝尔判别法
14、若数列收敛。（二）狄利克雷判别法若数列，且数列单调递减，又级数的，且为单调有界数列，级数收敛，则级数19部分和数列有界，则级数收敛。（三）伯尔特昂（Bertrand ）判别法设则（1）当 B1 时，级数收敛；是正项级数，且，若，（2）当 B（四）库默尔判别法设是正项级数，是使级数，若存在正整数 N ，正数（1） 对所有 nN，成立不等式（2） 对所有 nN，成立不等式库默尔判别法的极限形式 ： 设是正项级数，（1）当（2）当时，级数时，级数注：使用库默尔判别法时，应注意选择恰当的出比式判20别法；当出伯尔特昂（Bertrand ）判别法。（五）高斯判别法设又是正项级数，若，则（1）当（2）当（
15、六）厄耳玛可夫判别法c k ，则级数收敛；，则级数发散。是使级数发散的正数列，设（有限或无限） 收敛； 发散。，当时，可以推导时，可以推导时，可以推导出拉贝判别法；当，为常数，为有界量，时，级数收敛；21时，级数发散。nn n n n n n发散的正数列，设设 f (x ) 为单调递减的正值函数，若，则（1）当时，级数（2）当时，级数3. 判别法的比较（一）当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项判断。如：以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行（二）当级数表达式型如cos 等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P 级数、调和级数进
16、行比较 limu n +1u、lim u n 不易算出或 lim n +1=1、等此类无法判断级数收敛 n +n +u n +u n n22n性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例：11（1） (a 1)级数收敛 na n =11+a （2） n =11ln n ln n=比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。发散。收敛；1，u n 为任意函数、级数一般项如含有 sin 或 u n1e ln n ln ln n231e 2ln n=1级数收敛 2n（三）当级数含有阶层、n 次幂，型如乘除时，选用比式判别法。当通项含限形式进行判断，例：与或
17、或分子、分母含多个因子连的函数可以选用比式判别法的极x n（1） 2n 1+x 1+x 1+x n =1lim u n +1n u n x x 1所以级数收敛（2）lim 4474710+ 2262610u n +13n +43=lim =4710(3n +4)收敛 26104n +2 级数一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比式判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，24因为根式判别法得到的收敛条件比比式判别法更优。（五）当级数表达式型如数，或级数为，为含有的表达式或可以找到原函等三角函数的上非负单调递减函数，含有因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。例：
18、（六）当级数同时含有阶层与 n 次幂，型如 a ! 与 a n 时，或使用比值、根式判别法时极限等于 1 或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。例：e n n ! n n =1n u n +11 lim n 1-=-n = u n 2不能用比值判别法n -1 lim 无法判断敛散性 n =n 不能用根式判别法 -1lim n =n =e n ! 无法判断敛散性 n因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。（七）当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于 025的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有等；或可化为特殊形式。例： ，如；也可以
19、型如等三角函数、 ，为任意函 si（八）当通项型如，其中为含的函数，可以选择伯尔特昂判别法。如：数，则可以选用狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的总结与展望综上所述, 判别正项级数的敛散性有多种方法, 比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法、积分判别法, 阿贝尔判别法，以及上面讨论的狄利克雷判别法和伯尔特昂判别法. 但是它们各自适用于不同的形式的正项级数,根据判别法的特性和级数通项的特点来选择判别方法更有利于级数敛散性问题的解决. 如果原级数容易找到一个常用的比较因子, 判断出它们之间的大小关系,则用比较判别法; 如果原级数含有 n 次幂的形式, 则可考26虑用
20、柯西判别法; 如果原级数含有 n ! 等形式 , 则可试用达朗贝尔判别法; 如果用上面三种方法都不容易判断敛散性, 可试用拉贝判别法; 如果级数是乘积形式, 那么可以选用上面介绍的其他方法.参考文献：1陈欣. 关于数项级数求和的几种特殊方法 J . 武汉工业学院学报，2002，4.2陈金梅. 幂级数求和法例谈 J . 石家庄职业技术学院报，2005，9.3夏学启. 贝努利数的简明表达法 J . 芜湖职业技术学院学报，2006，2.4吴良森等编著. 数学分析习题精解 M . 北京：科学出版社，2002，2.5 刘玉琏, 傅沛仁等. 数学分析讲义(第四版)M.高等教育出版社,2003.6 周应编著 . 数学分析习题及解答 M . 武汉：武汉大学出版社，2001，87 胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法 M . 北京：科学出版社，2008，5.8 费定晖，周学圣编著. 吉米多维奇数学分析习题集题解 M . 济南：山东27科学技术出版社，2005，1.
