1、大一上学期高数期末考试一、单项选择题 1. )(0),sin(co)( xxf .（A） 02 （B） (01f（C） )f （D） (fx不可导.2. 13)1)( .（A） x与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） ()与 是等价无穷小； （C） ()x是比 ()高阶的无穷小； （D） 是比 ()高阶的无穷小 . 3. 若 ()02xFtftd，其中 ()f在区间上 (1,)二阶可导且()f，则（ ）.（A）函数 ()必在 处取得极大值；（B）函数 x必在 处取得极小值；（C）函数 在 0处没有极值，但点 (0,)F为曲线 ()yFx的拐点；（D）函数 ()F在 处没有极值，点 ,也
2、不是曲线 的拐点。4. )() ,)(2)( 10xfdtfxfxf （A）2（B）2x（C） （D） .5、设 ，则 （ ）2sinyxedyx(A) (B) (C) 0 (D) 2coy2cosye2cosyxe6、设函数 ，则（ ） 。1()xfe(A) 都是 的第一类间断点；0,()f(B) 都是 的第二类间断点；xx(C) 是 的第一类间断点, 是 的第二类间断点；()f 1x()f(D) 是 的第二类间断点, 是 的第一类间断点。0x二、填空题4. xxsin20)31(lim.5. ,)(co f xfdcos)( .6.2121arcsin dxx.7.已知 ，则 。0lim2
3、(3)xf0(2)limxf三、解答题7. 设函数 ()y由方程 sin()1xye确定，求 ()yx以及 (0)y.8.d17x 9.1 32 )(0)( dxfxefx10. 设函数 )(xf连续，10()()gftd，且 0limxA， 为常数. 求 g并讨论 在 处的连续性.11. 求微分方程 2lnyx满足1()9y的解.四、 解答题12. 已知上半平面内一曲线 )0()y，过点 (,)1，且曲线上任一点Mxy(,)0处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、 y轴、直线 x0所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.13. 过坐标原点作曲线 xln的切线，该切线与曲线 ln及
4、x 轴围成平面图形 D.（1）求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V.五、证明题14. 设函数 )(xf在 0,1上连续且单调递减，证明对任意的 ,01q，00()qdqfdx.15. 设函数 )(xf在 ,上连续，且0)(0xdf，cos0d.证明：在 ,内至少存在两个不同的点 21,，使 .0)()(21ff（提示：设 xdfF0)()(）解答一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C 5、D 6、D二、 填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）4. 6e . 5. c
5、x2)os(1 .6. . 7. . 13三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）7.解：方程两边求导(1)cos()0xyeyxe0,， ()18.解： 76udu 1(2)7du ln|2l|1|)7c71|xxC9.解：012330()fdedx0()x023cos1sin) 3214e10.解：由 (0)f，知 (0)g。100()()()xtufdgxfd(0)x02()()x020()()A()limli2xxxfudfg0200()li()lixxfu ， ()gx在 0处连续。11.解：2ndy2(l)dxedxC21l39(),0yC，1ln39y四、
6、解答题12.解：由已知且 02dx， 将此方程关于 求导得 y特征方程： r解出特征根： .2,1r其通解为 xxeCy21代入初始条件 ()0，得 3,21C故所求曲线方程为：xxey313.解：（1）根据题意，先设切点为 )ln,(0，切线方程：)(ln00xxy由于切线过原点，解出 e0，从而切线方程为： xey1则平面图形面积 1012)(dyAy（2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则23e曲线 yln与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 V2 1022)(dyeD 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 )3125(621eV五、证明题14. 证明：100()()qfdxfdx 100()()()qqqfxfdxf10(1)qqff12 12,1 ()()12()()0q fffq 故有： 100()()qfxdfxd证毕。15.证：构造辅助函数：xdtfFx0,)()(0。其满足在 ,0上连续，在 ),0(上可导。 ，且 )(F由题设，有 000 )(sincocoss)( |dxFxf，有 0sin)(xdF，由积分中值定理，存在 ),(，使 i)(即综上可知 ),0(,)()( F.在区间 ,0上分别应用罗尔定理，知存在 ,01和 ,2，使 1及 2F，即 0)(21f.
