1、矩阵与行列式基础知识 介 绍,我们常常会碰到一些求解方程的问题：,能否如一元一次方程一样求解?,矩阵概念的引入,把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为A,在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为B,矩阵的概念,一. 矩阵的定义：由 个数排成的m行n列数表，称为m行n列矩阵。 表示矩阵A的第i行第j列的元素。矩阵表示如下：A=矩阵A也记作,m=n时，称A为n阶矩阵（n阶方阵）.,矩阵概念的引入,引入矩阵形式：,怎样求解矩阵方程？,？,因此，有必要了解和学习矩阵和行列式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。,相等矩阵,记为A=B.,特殊矩阵零矩阵: 如,行矩
2、阵、列矩阵：,行矩阵、列矩阵也称为向量,矩阵的相关概念,对角矩阵：,aii 称为对角元.,单位矩阵：,方程组的矩阵和向量表示形式,m个方程n个未知量的线性方程组：,向量形式,矩阵形式,若右端向量,矩阵的运算,1. 矩阵的加法运算加法定义：有 矩阵 ， 那么 矩阵 为A和B的和。C= 记作：C=A+B,注意：(1) 同型矩阵才能相加、减；(2) 相加、减结果为同型矩阵;,负矩阵：,减法：,2. 减法运算,设有一个矩阵 ， 是一个数，那么矩阵 称为矩阵A 与数 的乘积（简称矩阵的数乘），记作 ,3. 矩阵的数乘,矩阵的线性运算律：加法、数乘.,1. 乘法的定义： 和 ，如果则矩阵C中每个元素都是A
3、的行，B的列对应元素之积的和。 即,我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 ,4. 矩阵的乘法,注：矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，,矩阵乘法的运算规律：,(AB)C = A(BC) k (AB) = (kA)B = A(kB) A(B+C) = AB + AC,(B + C)A = BA +CA,4. 矩阵的转置,1. 定义（转置）,例,2. 运算律, ( AT)T = A (A+B)T = AT+BT,(kA)T = kAT (AB)T = BTAT (A1A2Ak)T = ATk ATk-1AT1,例 已知， ，,求,解 因为,所以,另解,行列式,行列式是为了求解线性方程组而引入
4、的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本节主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。,一、二阶行列式与三阶行列式,注： 该定义称之为对角线法则。,一阶行列式：,二、全排列与逆序数,例 把3个不同的数字1、2、3排成一列，共有多少种排法？显然，左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；右边位置上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法因此共有321=6种放法.这6种不同的排法是123，231，312，132，213，321.,逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。 奇排
5、列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 计算排列逆序数的方法： 不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 pn为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有i个，就说pi 这个元素的逆序数是 i，即： ( p1 p2 pn)= 1 + 2 + n 就是这个排列的逆序数。,对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题，把n个不同的元素排列成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排 列）一般,n个自然数1,2,n的一个
6、排列可以记作,其中 是某种次序下的自然数 .n个不同元素的所有排列的种数，通常用 表示.由例结果可知,仿照例子的推导方式我们容易得到,对于n个不同的元素，先规定各元素间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定自小到大为标准次序；此时，对应的排列称作自然排列），于是在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作,！,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.,例1 排列83265147是偶排列还是奇排列？解 把自然排列12345678及排列83265147的元素分别排成平行的两行，连接上下
7、两行所有相同元素（要避免出现三条连线相交于一点的情况），得到排列的交叉图.那么，交叉图中交点的个数就是排列的逆序数.,n阶行列式的定义,所有位于不同行不同列的n个数乘积之“和”,行列式的性质,性质1.设 是n阶矩阵， 是A的转置矩阵，则即行列式经过转置后其值不变.,那么D等于下列两行列式的和，即 ，其中,性质2. 如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和， 例如行列式D的第i行的元素都是两数之和,性质3（行列式的初等变换） 设A为n阶矩阵，（1）交换A第i,j行（列）的位置得到A1，则 ;（2）把A的第j行（列）乘以数 得到 A2 ，则 ；,（3）把的第j行（第i列）的k倍加到第i行（第j列）上得到 A3，则,推论 设A是任意的n阶矩阵，则对n阶初等矩阵E都有,推论 如果行列式有两行（列）元素成比列，那么这个行列式为 零,克拉默(Cramer)法则,例 求解方程组,解,
