1、第 1 页 共 8 页前言1、自我介绍2、矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的3、矩阵分析理论的组成：四部分：基础知识（包括书上的前三章内容）难点：约当标准形与移项式矩阵矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）矩阵特征值的估算（第五章）非负矩阵（第六章）第一部：矩阵分析理论的基础知识1 线性空间与度量空间一、线性空间：1数域：Df1：若复数的一个非空集合 P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积商（除数不为 0）仍在这个集合中，则称数集 P 为一个数域eg1：Q（有理数） ，R（实数） ，C（复数） ，Z（整数） ，N（自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？2线性空间设 P 是一个数域，V 是
2、一个非空集合，若满足：可加性指在 V 上定义了一个二元运算（加法）即： 经该运算V,总存在唯一的元素 与之对应，称 为 与 的和，记并满足： )()( 零 元 素有 Vts. 记的 负 元 素为有对数积：（数乘运算）在 P 与 V 之间定义了另一种运算。即经该运算后所得结果，仍为 V 中一个唯一确定的元素。存在唯一VPk,确定的元素 与之对应，称 为 k 与 的乘积。记为k并满足： 1第 2 页 共 8 页 Plk, )(kll , kk)(则称 V 为数域 P 上的线性空间（向量空间）记为 习惯上 V 中的元素).(PV向量， 零向量， 负元素负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的
3、，负元素也是唯一的，且有：0k)1( )(eg2： P实数域 R阶 矩 阵是 nmAV按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域 R 上的线性空间，记为：nmR同样，若 V 为 n 维向量，则可构成 R 上的 n 维向量空间 线性空间。neg3： PR 按照连接函数的运算，显然可建立 R 上的一个线性空,baC间，记为 。).(,根据线代中向量空间的维数与基的定义。我们可以定义线性空间的基与维数3线性空间的基与维数Df3. 设 V 是 P 上的线性空间 若Vxxn,21 线性无关；nx,21 V 中任一元素 可由 线性表示nx,21则称 V 为 n 维线性空间的一组基，dimV= n，若 为
4、 V 的一组基，则对 必有x,21 V nnkxxkk 1121 ),(则 称为 在基 下的坐标，且坐标是唯一的。),(1n n,21eg4. 在线性空间 中， 是 的一组基。nxP1x nP第 3 页 共 8 页eg5. 中 是 的一组基，dim = nnRne,21 RR4. 子空间设 V 是 P 上的线性空间， ，若 对 构成 P 上的线性空V11.间则称 与 V 的线性子空间，简称子空间。1eg: 最小子空间 零子空间。 dim =0nnxP 5. 生成子空间 设 ， 构成线性空间 V 的Vri),21( ),(r21xL子空间，称为由 的生成子空间，其中r1,x ,),(2r21 r
5、iPkkxLir 思考：若 线性无关，则r, xL)(dmr21若 线性相关，则r21,x 的 秩nx,i 21r6.和空间设 ， 是线性空间 V 的子空间，称V为 与 的和空间，记为,2121yx12 21V结论：若 ， 是线性空间 V 的子空间，则 亦是 V 的子空间。若12 21分解唯一，则称 为 与 的和，记为 ),(2yxyz 21)(21V结论： 为直和2121V 若 是 的子空间，则存在唯一的子空间 使2V217.维数公式(维数 Th) (书上 Th4)设 V 是 P 上的 n 维线性空间。 ， 是 V 的子空间。则有12)dim(idi)dim(2121V推论：若 则 即212
6、1dii2121ii)i(线性空间没有涉及到向量的长度，向量之间夹角等度量性质。为此引入内积概念，使这样的空间可以处理这些度量性质的问题。第 4 页 共 8 页二.度量空间（内积空间，欧几里得空间）1. Df：设 V 是 R 上的线性空间 恒有唯一的实数与之对应，记为V,且满足：),( , )()()(Rkk , 等号成立。时 ，0)(称 为 与 的内积， V 称为度量空间（内积空间，欧几里得空间）,eg 线性空间 ).(,RC,Cgfbadxgff).(易验证：满足，。故 是度量空间).(,R性质 ),(),(k性质 ),(性质 ),(,性质 设 则有 （见 ）V),(,),(2136ThP
7、2. 长度设 为内积空间 V 的任一元素，称 为 的长度。记为 ，即),(3. 夹角 称为 与 的夹角。 相应地有：),(cosar 0,与 线 代 相 同单 位 向 量 0),(1性质 2. 内积空间（见 推论）V38P第 5 页 共 8 页若 与 正交，则 推广到有限个元素的情形22三线性空间的同构1. Df：设 ， 是线性空间 P 上的两个线性空间，若 与 之间有一个一一1V2 1V2对应 ，使得对 及 有：1,Vyxk )()(yx )()(k则称 与 同构，称为从 到 的同构映射，记为：1V212 21V2.性质： )()(;)(x miiiikx11 若 在 无关，则 在 中无关2
8、, V)(),(1mx 2V反之亦成立，即在同构对应下，线性无关组对应线性无关组。 同构的有限维线性空间，其维数相同。此外，还具有自反性，对称性，传递性（线代中）反之，具有某些性质的线性空间能否同构呢？或者说，两个线性空间在什么条件下才能同构呢？下面定理解决了这个问题。Th: 数域 P 上任意两个 n 维线性空间 与 是同构的（proof 见 ）1V2 18P推论：数域 P 上两个有限维线性空间 与 同构 21dimiV类似的，我们可以研究内积空间的同构（自己看 3）45Df：内积空间 与 ，若 （一一对应）使 有：1V221VRkyx,作 为 线 性 空 间 的 同 构)()xkyy内 积
9、保 持 不 变,这节课，就讲到此，下去看书 ch1.1-4. ch2. 1-3练习：习题一 1.2 习题二 1.即作为线性空间 与 同构。在该同构关系下，向量内积保持不变。1V2第 6 页 共 8 页同构的两个欧氏空间具有相同的维数。Th：所有的 n 维欧氏空间都同构3.线性变换线性变换与线性空间具有密切的联系，是矩阵论研究的主要对象之一。一、线性变换1. 映射在集合 V 与 之间存在一个对应法则 使得对于 V 中的任一元素 a,都有 中唯一的元素 与之对应，称此对应法则 为到的一个映射，记a )(2. 变换线性空间 V 到自身的映射， 称 为 V 的一个变换。3. 线性变换称线性空间 V 的
10、一个变换 为线性变换；若对 都APkyx,有： (x+y)= (x)+ (y) (kx)=k (x)AAeg1.V 是线性空间，定义 ，为常数。则 是 VVk为 常 数0) A上的线性变换。证明：首先，可以看出 是 V 的一个变换其次， )()()( 00 yAxykxykyxA)(0对于该线性变换有： 拉 伸 变 换Ak1压 缩 变 换0恒 等 变 换keg2.设 A，B 是 的两个给定的矩阵，对 ，定义：nR nRxBAx)(则 是线性空间 的一个线性变换。eg3. ,).,(1ba )()( bxadtfxfAa则是 R上的线性变换4.零变换与单位变换Df1：设 V 是线性空间, 有 。
11、则称 为零变换”O”。V)(ADf2：设 V 是线性空间, 有 。则称 为单位变换 ”I”。A二、线性变换的性质：第 7 页 共 8 页1. ； ；)(A)()(xA线 性 空 间V即： 0)()(1)()( xxx2. 设 。则niiky1niiAky1即：线性变换 保持向量的线性组合与线性关系式。A3. 线性变换把线性相关的向量组变换线性相关的向量组注：线性变换并不能把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。 ni niii xkxk11)(三、线性变换的运算及运算规律1. 线性变换的运算：设 ， 是线性空间 V 的任意两个变换。1A2和变换：对 ，称 为 与 的和变换。记为： 仍Vx)()
12、(21xAx12A为 V 的线性变换。积变换：对 ，称 为 与 的积变换。记为：)()(2112A21A )()()()( 22121 yAxyxyx )(211yx)()()()( 2212121 kxAkxkxA数乘运算： 称 为 k 与 的数量乘积，记为PV11A1k )(1负 变 换时 ， 易证， 也是 V 的线性变换。A2. 运算规律： A321,结合律：（对加、乘法） )(1)(3232A31第 8 页 共 8 页交换律： 121AA分配律： 3123)( 3131321)( AAA1+0=A1 A1+(-A1)=0数乘满足： )()(kA2121)(kAk注：L(v) 由 V 的全体线性变换组成的非空集合，仍 P 为上的线性空间 .
