1、启 明 教 育 第 1 页 共 18 页三角形的初步知识提高题(一)一、选择题1、下列图形中，不具有稳定性的是 （ ）.2、以长为 13cm、10cm、5cm、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角 形的个数是 （ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3、 、 、 为三角形的三边长，化简 ，abc cbacba结果是 （ ）A、0 B、 C、 D、cba424、若 a、b、c 是ABC 的三边，化简 + + = ( ) c-ba-acA、a+b-c B. a-b+c C. a+b+c D. a-b-c5、如下左图，1=75 0，A=BCA,CBD=CDB,DCE=DEC, EDF
2、=EFD.则A 的度数为 （ ） A. 150 B. 200 C .250 D. 3006、如上右图， AC BC， CD AB，能表示点到直线（或线段）的距离的线段 （ ）A1 条 B2 条 C3 条 D5 条7、如下左图，一块三角形绿化园地，三个角都做有半径为 R 的圆形喷水池，则这三个喷水池占去的绿化园地（即阴影部分）的面积为 （ ）A、 B、 C、 D 不能确定2R21R28、如上中图，以三角形三个顶点为圆心画半径为 2 的圆，则阴影部分面积为（ ） A 、 B 、 2 C 、3 D、 4A、 B、 C、 D、绿地（第 5 题图）启 明 教 育 第 2 页 共 18 页9、如上右图，一
3、块四边形绿化园地，四角都做有半径为 R 的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为 （ ）A、 B、 C、 D、不能确定 2R242R10、如下左图，把 纸片沿 折叠，当 落在四边形 内时，AEABCDE则 与 之间有始终不变的关系是 （ 1）A B 1C D23 )2(311、如上中图，把 ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 的外部时，则 与 和 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是 （ ）A B 212)21(3C D312、如上右图所示，把一个三角形纸片 ABC 顶角向内折叠 3 次之后，3 个顶点不重合，那么图1+2+3+
4、4+5+6 的度数和是 （ ）A、 180 B、 270 C、 360 D、 无法确定 13、点 P 是ABC 内一点，连结 BP 并延长交 AC 于 D，连结 PC，则图中1、2、A 的大小关系是（ ）A、A21 B、A21C、21A D、12A 14、如下左图,是中国共产主义青年团团旗上的图案,点 五等分ABCDE、 、 、 、圆,则 的度数是 （ ）EA.1800 B. 1500 C. 1350 D. 120015、如上中图所示，在ABC 中，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，并且CD、BE 交于，点 P，若A=50 0 ，则 BPC 等于 （ ）A、90 B、130 C、270
5、 D、31516、如上右图，在 44 的正方形网格中，1、2、3 的大小关系是 （ E DAB C1 2第 4 题 ACP12第 7题ECBDA123启 明 教 育 第 3 页 共 18 页）A、123 B、1=23C、12=3 D、1=2=317、如右图，ABC 的两条外角平分线交于点 D,则下列等式成立的是 （ ）A、 A+D=90 B、 A-D=90C、 A+D=90 D、 A-D=90 121218、如图，BF 是ABD 的平分线，CE 是ACD 的平分线， BE 与 CE 交于 G，若BDC=140 O,BGC=110 O,则A 的度数为 （ ）A. 50O B. 55O C. 80
6、0 D. 70019、如右图，ABC 中，C=90，AC=BC，AD 是CAB 的平分线，DEAB 于 E。已知 AB=6cm，则DEB 的周长为 （ ）A、5cm B、6cm C、7cm D、8cm20、全等三角形又叫做合同三角形平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形假如 ABC 和 A/B/C/是全等三角形，且点 A 与点 A/对应，点 B 与点 B/对应，点 C 与点 C/对应当沿周界 ABCA 及 A/B/C/A/环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图） ；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图） 两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使
7、它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个翻转 1800下列各组合同三角形中属于镜面合同三角形的是 （ ）21、在ABC 中，有一点 P ，当 P 、A、B、C 没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）.当ABC 内的点的个数增加时，若其它条件不度，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？GFEDCBAABECDGEDCBAA DCBCBAC/B/A/CBAB/C/A/图 图启 明 教 育 第 4 页 共 18 页观察上述图形，结合上表，则上表中的“？”地方应是 （ ）A.2010 B.2011 C.2012 D.2013二、填空题1、将一副三角板按如下左
8、图的方式叠放，那么 。2、如上中图，在ABC 中，点 D、E、F、分别为 BC、 AD、CE 的中点，且 SABC16 ，则 SDEF .3、如上右图，ABC 中，点 D、E、F 分别在三边上，E 是 AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点 G，BD=2DC， S =3，S =4，则ABC 的面积是 .GCACA4、如下图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为 R 的扇形草坪。（1）图 中草坪的面积为_。 1（2）图 中草坪的面积为_。 2（3）图 中草坪的面积为_。 3（4）如果多边形边数为 n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_。ABC 内点的个数 1 2 3
9、1005构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 ？P3P2P1CBAP2P1CBAP1CBA图2745 0300【图 】 1 【图 】 2 【图 】 3启 明 教 育 第 5 页 共 18 页D2D1AB C5、如下左图所示，分别以 边形的顶点为圆心，以 1cm 为半径画圆，则图中阴影部分的面n积之和为 。 （结果保留 ）2cm6、如上右图，将纸片ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在ABC 的形内，已知1+2=102，则A 的大小等于_度7、如下左图，将纸片ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在点 A处，已知1+2=100，则A的大小等于_度8、如上中图，A=65，B=75，将纸片的一角折叠，使
10、点 C落在ABC 外，若2=20则1 的度数为 度9、如上右图，把 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 的内部，若 =40，ABCDEABCE则 = 1210、如下左图,A+B+C+D+E+F 的和为 度14题1A2345n第 5 题12ABCED图 8启 明 教 育 第 6 页 共 18 页11、如上右图，在 ABC 中，A=52 O，ABC 与ACB 的角平分线交于点D1，ABD 1 与ACD 1 的角平分线交于点 D2，依次类推，ABD 4 与ACD 4 的角平分线交于点 D5，则BD 5C 的度数是 _.BD nC 的度数是_.12若点 是面积为 4 的 边上一动点，则满足 面积等于 1
11、的点 有 PABABPP个.13、如图，ABC 中，A=64，分别作 的角平分线 BA1 和 角平分线 C A1 M，两线相交于点 A1 ；同样，作 的角平分线 BA2 和 角平分线 C A2 ，两线1相交于点 A2 ，依次类推，则 度。6A14、 已知ABC 中，ABC 的 n 等分线与ACB 的 n 等分线相交于 G1，G 2，G 3，Gn1 ，试猜想：BG n1 C 与 A 的关系( 其中 n2 且 n 为整数)首先得到： (1)当 n2 时，如上中图，BG 1C_ ；(2)当 n3 时，如上右图，BG 2C_；(3)猜想BG n 1C_15、在 中， ， 是 边上的高，若RtAB09D
12、AB，则 13,2,5C16、观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，F EBADCA3A2A1xMB CA启 明 教 育 第 7 页 共 18 页则第 5 个大三角形中白色三角形有 个 17、观察下图，若第 1 个图形中的阴影部分的面积为 1，第 2个图形中的阴影部分面积为，第 3 个图形中的阴影部分面积为 ，第 4 个图形中阴影部分的面积为 ，则49162764第 n 个图形的阴影部分的面积为 18、如右图可数出的三角形个数为 个19、在如图 161 至图 163 中，ABC 的面积为 a （1）如图 161, 延长ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连结 DA若ACD 的
13、面积为S1，则 S1=_（用含 a 的代数式表示） ；（2）如图 16 2， 延 长 ABC 的 边 BC 到 点 D， 延 长 边 CA 到 点 E， 使 CD=BC，AE=CA，连结 DE若DEC 的面积为 S2，则 S2= （用含 a 的代数式表示） ；（3）在图 162 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF=AB，连结 FD，FE，得到DEF（如图163） 若阴影部分的面积为 S3，则 S3=_（用含 a 的代数式表示） 发现：像上面那样，将ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到 DEF（如图163） ，此时，我们称ABC 向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的 DEF 的
14、面积是原来ABC 面积的_倍 20、如下图甲，在ABC 中，ADBC 于 D，AE 平分BAC（1）若B30，C70，则DAE_（2）若CB30，则DAE_（3）若CB （CB） ，求DAE 的度数（用含 的代数式表示） （4）如下图乙，当CB 时我发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，第 个 第 2个 第 3个第 20 题图CABD EDEABCF 图 163图 162AB C DE图 161AB C D启 明 教 育 第 8 页 共 18 页我们 不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负例如：DAE18，则EAD18作出上述规定后，上述结论还成立吗？_若DAE7，则BC_
15、三、解答题1、 （8 分）一个零件的形状如图，按规定A= 90，B 和C，应分别是 32和 21，检验工人量得BDC = 148，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。2、 （7 分）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由（1）如图， ABC 中， P 为边 BC 上一点，试观察比较 BP + PC 与 AB + AC 的大小，并说明理由CBAP图（2）将（1）中点 P 移至 ABC 内，得图，试观察比较 BPC 的周长与 ABC 的周长的大小，并说明理由CBA图（3）将（2）中点 P 变为两个点 P1、 P2得图，试观察比较四边形 BP1P2C 的
16、周长与BACDE甲AB乙CD EABCD启 明 教 育 第 9 页 共 18 页ABC 的周长的大小，并说明理由CBAP12 CBAP12图 图（4）将（3）中的点 P1、 P2移至 ABC 外，并使点 P1、 P2与点 A 在边 BC 的异侧，且 P1BC ABC， P2CB ACB，得图，试观察比较四边形 BP1P2C 的周长与 ABC的周长的大小，并说明理由3、 （本小题满分 10 分）同学们，在学习了轴对称变换后我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题.我们通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题.（1）如图，把ABC
17、纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在ABC 内部时，我们不仅可以发现AE=AE,AD= ，而且我们还可以通过发现AED=AED,ADE= , A=A,从而求得1+2=2A.（2）如图，当点 A 落在ABC 外部时，我们发现2=DFA+ ,DFA=1+ ,那么（ 1）中的1+2=2A 在这里还成立吗？如成立，请说明理由.如不成立，请写出成立的式子并说明理由.（3）已知 中， ， ， ，将它的一个锐角翻折，使RtBC 90 6AC8B该锐角顶点落在其对边的中点 处，折痕交另一直角边于 ，交斜边于 ，请你模仿图DEF，图，画出相应的示意图并求出 的周长4、如图（1）ABC 是一个三角形的纸片，点 D、
18、E 分别是ABC 边上的两点，研究（1）：如果沿直线 DE 折叠，则BDA与A 的关系是_ _。研究（2）：如果折成图 2 的形状，猜想BDA、CEA和A 的关系，并说明理由。研究（3）：如果折成图 3 的形状，猜想BDA、CEA和A 的关系，并说明理由。EFA 启 明 教 育 第 10 页 共 18 页5、如下几个图形是五角星和它的变形。图 中是一个五角星，求A+B+C+D+E。图中的点 A 向下移到 BE 上时（如图）五个角的和（即CAD+B+C+D+ E）有无变化？说明你的结论的正确性。把图中的点 C 向上移动到 BD 上时（如图） ，五个角的和（即CAD+B+ACE+D+ E）有无变化
19、？说明你的结论的正确性。6、如图(7)，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线交于点 O。(1)若ABC=40，ACB=50，则BOC=_(2)若ABC+ACB=lO0，则BOC=_ 。(3)若A=70，则BOC=_。(4)若BOC=140，则A=_。(5)你能发现BOC 与A 之间有什么数量关系吗?请说明理由。7、好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列 4 个问题，请你帮她解决如图，在 中， = 50，点 是两角 B、 C 平分线的交点ABCI问题(1)：填空： I问题(2)：若点 是两条外角平分线的交点；填空： DD问题(3)：若点 是内角 、外角 的平分线的交点，试探索： 与EAG
20、BEC的数量关系，并说明理由BACBAA DE图 2AABEDC图 1AABEDC图 3ABC DE(1)ABC DE(2)ABCDE(3)AE启 明 教 育 第 11 页 共 18 页问题(4)：在问题（3）的条件下，当 等于多少度时 ，ACB CEAB8、 （本题 7 分）在ABC 中，（1）如图，点 P 在 AC 上（不同于 A，C 两点） ，BPC 与A 的大小关系是 . （2）如图，点 P 在ABC 内部，BPC 与A 的大小关系是 . （3）如图，点 P 是ABC 的平分线与ACE 的平分线交点时，BPC 与A 的数量关系是 . （4）证明第（3）问的结论9、如图，在ABC 中，A
21、BC 的平分线与ACD 的平分线交于 P 点（1）若ABC=40，ACB=80，则P=_度；（2）若A=60，求P 的度数；（3）那么A 和P 有什么样的数量关系? 请简述理由 （本题 7 分）10、如图所示，在ABC 中，A=, ABC 的内角平分线和外角平分线交于点 P，且P=，试探求下列图中 与 的关系，并选择一个加以说明.（8 分）11、已知，如图 11 在ABC，ABC、ACB 的角平分线交于点 O，则BOC=90+ A=21180+ A，如图 12，ABC 中，ABC、ACB 的两条三等分角线分别对应交于21BCDGAB CPCCA APPBB启 明 教 育 第 12 页 共 18
22、 页O1、O 2，则BO 1C= 180+ A，BO 2C= 180+ A 。根据以上阅读理解，你31312能猜想（n 等分时，内部有 n-1 个点） （用 n 的代数式表示）=_.1BC17、探索：（1）如图（1） ，在ABC 中，OB、OC 分别是ABC、ACB 的平分线若A为 x， 则BOC= 。（2）如图（2） ，BO、CO 为ABC 两外角DBC、BCE 的平分线，若A 为 x，则BOC= 。（3）如图（3）O、M 分别是ABC 的内外角平分线的交点，如果BOCBMC=32,则A= 。18、(1) 如图 1，A=70 ，BP、CP 分别平分ABC 和ACB，则P 的度数是_(2) 如
23、图 2，A=70 ，BP 、CP 分别平分EBC 和FCD，则 P 的度数是_。(3) 如图 3，A=70 ，BP 、CP 分别平分ABC 和ACD ，求P 的度数,并说明理由。19、如图，已知ABC 中，A40，角平分线 BE、CF 相交于 O，则BOC 的度数应为多少？（3）OMAB CAB C1P2AB CPEFAB C3DPAB CEFO启 明 教 育 第 13 页 共 18 页FEO DCBAFEO DCBA20、如下图， ，点 C、D 分别在射线 OA、OB 上，CE 是 的平分线，90AOB ACDCE 的反向延长线与 的平分线交于点 F（1）当 （图 6） ，试求 5CD（2）
24、当 C、D 在射线 OA、OB 上任意移动时（不与点 O 重合） （图 7） ， 的大小是否变F化？若变化，请说明理由；若不变化，求出 图 6 图 721、我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若 ABC 的三条内角平分线相交于点 I，过 I 作 DEAI 分别交 AB、AC 于点 D、E。（1）试说明BIC BAC.2190（2）试写出BIC 与BDI 之间有何数量关系，并说明其中的道理。22、已知如图 1，线段 AB、CD 相交于点 O,连接 AD、CB，我们把形如图 1 的图形称之为“8 字形”.如图 2，在图 1 的条件下，DAB 和BCD 的平分线 AP 和CP
25、相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M、N.试解答下列问题：(1)在图 1 中，请直接写出A、B、C、D 之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图 2 中“8 字形”的个数： 个；（3）在图 2 中，若D=40 0,B=36 0，试求P 的度数；AB CDI E启 明 教 育 第 14 页 共 18 页23、将一副三角板按下面的图是所示放置.（1）如图 1，两条斜边所形成的钝角 的度数是_.（2）如图 2，当 中的直角边 绕点 转动时( ， 保持不动，DEFC0)450ACB探究：在 转动过程， 的大小是否发生变化？并说明理由 .（3）如图 3，当 转动到如图所示的位置时，作 、 的平
26、分线 、FBEP交于点 .EP探究： 的度数是否发生变化？并说明理由.24、已知，如图在ABC 中，BC，AD 是 BC边上的高，AE 平分 BAC（1）若B=40， C=30，则DAE= ；（2）若B=80， C=40，则DAE= ；（3）由（1） 、 （2）我能猜想出DAE 与B、C 之间的关系为 理由如下：25、请发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC 与A、 B、 C 之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图 2，把一块三角尺 XYZ 放置在 ABC 上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ 恰好经过点 B、C ，若A=50 ，
27、直接写出 ABX+ACX 的结果；如图 3，DC 平分 ADB， EC 平分AEB，若DAE=50， DBE=130，求DCE 的度数；如图 4， ABD，ACD 的 10 等分线相交于点 G1、G 2、G 9，若BDC=140，45 30DC(E)BFA 4530GHAEDBFC P4530NMFECBAD启 明 教 育 第 15 页 共 18 页PNMAD CBBG1C=77，求 A 的度数图 1 图 2 图 3 图 426、AD 是ABC 中BAC 的角平分线，MN 垂直于 AD 分别交 AB、AC 于 M、N 两点，MN 交 BC的延长线于 P，求证：AMN （ACBB）2127、如图
28、：在ABC 中，ABAC，AD 是BAC 的角平分线，B2C，求证：ACAB+BD。28、 （1）已知ABC 为正三角形，点 M 是 BC 上一点，点 N 是 AC 上一点，AM、BN 相交于点 Q，BAM=NBC,猜想BQM 等于多少度，并证明你的猜想；（2）将（1）中的“正ABC”分别改为正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、正六边形 ABCDEF、正 n 边形 ABCDX， “点 N 是 AC 上一点”改为点 N 是 CD 上一点，其余条件不变，分别推断出BQM 等于多少度，将结论填入下表：Q NM CBA启 明 教 育 第 16 页 共 18 页二 :抓 好 常 规 教 育 ; 正多
29、边形 正方形 正五边形 正六边形 正 n 边形BQM 的度数 29、本题满分 12 分）一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上。求证 ABED；30、(本小题满分 6 分)如图 1，在ABC 中，当C90，ACBC 时，此时，我们称这种特殊的三角形为等腰直角三角形如图 2，ABC 和CDE 都是等腰直角三角形（即 AC=BC，DC=EC，ACBDCE90） ，请连结 AD，BE，请你猜一猜 AD 与 BE 是否相等并说明理由31、如图，已知 AB=AD，BC=DC ，AC，BD 相交于点 E，（1）求证：ACBD
30、 （6 分）（2）如果 AC=8,BD=6,求四边形 ABCD 的面积。 （2 分）32、 （12 分）探究与发现：如图 1 所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”， Q NM CBDANMQEDCBAQ NMF EDCBAQX EDNCMBAEDBA CA BC图 1 A BCDE图 2启 明 教 育 第 17 页 共 18 页如图 1， ABC 的边 在直线 l上， ACB，且 C， ；ABCEFP的边 也在直线 上，边 EF与边 重合，且 EFP， （1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 与 所满足的数量关系和位置关系；（2）将 沿直线 l向左平
31、移到图 2 的位置时， 交 AC于点 Q，连结 A，BQ猜想并写出 B与 AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将 EF 沿直线 l向左平移到图 3 的位置时， EP的延长线交 的延长线于点 ，连结 AP， 你认为（2 ）中所猜想的 BQ与 A的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由提示：1. 图形沿某个方向移动一定的距离， 这样的图形运动称为平移 平移不改变图形的形状和大小.2. 直角三角形中，如果有一个锐角是 45，那么两条直角边相等.33、 、如图， 平分 ， ， ， ADBCAE40B7C 求 的度数；E 如图，若把“ ”变成“点 F 在 D
32、A 的延长线上， ”，其它条FEBC件不变，求 的度数；F 如图，若把“ ”变成“ 平分 ”，其它条件不变， 的大EDA小是否变化，并请说明理由34、如图，已知ABC 中，AB=AC=6cm，B=C ，BC=4cm，点 D 为 AB 的中点 (1)如果点 P 在线段 BC 上以 1 cms 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段A（E）B C（F） P l l lA AB BQPEFF CQ图 1 图 2图 3EP CAB CD E ABCD EAB CD EF启 明 教 育 第 18 页 共 18 页CA 上由点 C 向点 A 运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，
33、经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与 CQP 全等?(2)若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，则经过_ 后，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的_边上相遇? （在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）35、我们学习了点、线，由点决定线段，如图所示，用 n 表示点的个数，S 表示线段的条数，用 K 表示多边形对角线的条数。（1）在下列表格的空白处填上适当的数或式。 （8 分）（2）当 n15 时，S ，k 。 （4 分）（3）从 n 边形的一个顶点作对角线，把这个 n 边形分成三角形的个数是 36、如图，四边形 ABCD 中， 分别为 CD、AD 、AB、BC 的中点，11ABCD、 、 、问：四边形 EFGH 的面积与四个阴影三角形的面积和相等吗？说明理由. 点个数 n 2 3 4 5 6 7 n线段条数 S 1 3 6 10 15 对角线条数k0 0 2 5 9 n2S1n3S3n4S6k2n5S10k5H GFE A1B1C1D1B CDA
