1、专项训练（一）知识点归纳 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键一、全等三角形1判定和性质一
2、般三角形 直角三角形判定 边角边（SAS） 、角边角（ASA）角角边（AAS） 、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质 对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注： 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； 全等三角形面积相等2证题的思路：）找 任 意 一 边 （ ）找 两 角 的 夹 边 （已 知 两 角 ）找 夹 已 知 边 的 另 一 角 （ ）找 已 知 边 的 对 角 （ ）找 已 知 角 的 另 一 边 （边 为 角 的 邻 边 ）任 意 角 （若 边 为 角 的 对 边 ， 则 找已 知 一 边 一 角 ）找 第 三
3、 边 （ ）找 直 角 （ ）找 夹 角 （已 知 两 边 ASASSHLA全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。证明两线段相等 1
4、.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。5.角平分线上任一点到角的两边距离相等。6.等于同一线段的两条线段相等。二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。例题讲解1、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是 ( )2、如图 A、B 在方格纸的格点位置上若要再找一个格点 C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点
5、 C 在图中共有 （ ）A4 个 B6 个 C8 个 D10 个3、如图，MON 内有一点 P，P 点关于 OM 的轴对称点是 G，P 点关于 ON 的轴对称点是H，GH 分别交 OM、ON 于 A、B 点，若 GH 的长为 10cm，求PAB 的周长为（ ）A5cm B 10cm C 20cm D 15cm4、如图，AEAB 且 AE=AB，BCCD 且 BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是（ ）第 2 题图 第 3 题图A. 50 B 62 C 65 D685、在等腰ABC 中，AB=AC ，中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两个部分
6、，则这个等腰三角形的底边长为A7 B11 C7 或 10 D7 或 116、如图，点 P 是AOB 外的一点，点 M，N 分别是AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的地称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上，若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段 QR 的长为 （ ）A. 4.5 cm B.5.5 cm . 6.5 cm D. 7 cm7、如图，ABC 中C=90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，BC=16，且BDCD=97， 则 D 到 AB 的距离为( )A8 B9 C7 D68、ABC 中，AB=AC=12 厘
7、米，B=C，BC=8 厘米，点 D 为 AB 的中点如果点 P 在线段BC 上以 2 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度为 v 厘米/秒，则当BPD 与CQP 全等时，v 的值为（ ） A、2 B、3 C、2 或 3 D、1 或 59、在 44 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有 种10、如图所示，AB/CD，O 为A、C 的平分线的交点，OEAC 于 E，且 OE=1，则AB 与 CD 之间的距离等于_。11、如
8、图，在ABC 中，AC=8cm ，ED 垂直平分 AB，如果EBC 的周长是 14cm，那么BC 的长度为_ _ cm12、如图，AB=AC，BAC=100 ，若 MP，NQ 分别垂直平分 AB， AC，则PAQ 的度数为_DC BA第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图(9 题)A B O E C D EDCBA第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图13、如 图 ， 在 ABC 中 ， BC=8 cm， BP、 CP 分 别 是 ABC 和 ACB 的 平 分 线 ， 且PD AB， PE AC， 则 PDE 的 周 长 是 _cm14、如图，在ABC 中，AB=6cm ，AC=5
9、cm，ABC 与ACB 的平分线相交于点 O，过点O 作 DEBC，分别交 AB，AC 于点 D，E，则ADE 的周长 = cm 15、如图，ABC 中，AB=AC ，BAC=54，BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O，将C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，则OEC 为 _16、点 P 为AOB 的角平分线上的一点，点 D 在边 OA 上小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边 OB 上取一点 E，使得 PE=PD，这时他发现OEP 与ODP 之间有一定的数量关系，请你写出OEP 与ODP 所有可能的数量关系 17、如图，已知ABC 的
10、周长是 21，BO、CO 分别平分ABC 和ACB，OD BC 于D，且 OD3，ABC 的面积是_ _.18、如图所示，AOB 是一钢架，且AOB=10，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管 EF，FG，GH，添加的钢管长度都与 OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根19、如图，有一个直角三角形 ABC，C=90，AC=10，BC=5，一条线段 PQ=AB，P.Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，问 P 点运动到 位置时，才能使 ABC 和 PQA 全等.20、如图，已知ABC 中，AB=AC=20，ABC=ACB，BC=16cm，点 D 是 AB
11、的中点点 P在线段 BC 上以 6 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动,且点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相 等经过 1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请第 13 题图 第 15 题图第 14 题图ADOCB第 16 题图 第 18 题图第 17 题图PQC ABxAQCDB P说明理由；21、已知 ABC 中BAC=150，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、 F. 求EAF 的度数.22、 经过 BCA顶点 的一条直线， CAB EF， 分别是直线 CD上两点，且DEF（1）若直线 经过 的内部，且 ， 在射
12、线 上，如图 1，若 90， ，则 ；如图 2，若 18BCA，请添加一个关于 与 BCA关系的条件 ，使中的结论仍然成立，并说明理由（2）如图 3，若直线 D经过 的外部， ，请提出 EF， ， 三条线段数量关系的合理猜想： ABCEF DDABCE FADFCEB（图 1） （图 2） （图 3）23、如图，在ABC 中，AB=AC ，BAC=90，BC=6cm，直线 CMBC，动点 D 从点 C开始沿射线 CB 方向以每秒 2cm 的速度运动，动点 E 也同时从点 C 开始在直线 CM 上以每秒 1cm 的速度运动，连接 AD、AE，设运动时间为 t 秒（1）当 t 为多少时，ABD 的
13、面积为 6cm2？（2）当 t 为多少时，ABD ACE，并说明理由（可在备用图中画出具体图形） 24、如图，在ABC 中，AB=AC ，BDAC 于 D，CE AB 于 E，BD、CE 相交于 F求证：AF 平分BAC 25、如图：在ABC 中，BE 、CF 分别是 AC、AB 两边上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在CF 的延长线上截取 CG=AB，连接 AD、AG（1）求证：AD=AG；（2）AD 与 AG 的位置关系如何，请说明理由26、OAB 和OCD 中，AOB=COD=90，且 OA=OB,OC=OD,（1）在图 1 中，你发现线段 AC、BD 的数量关系是_；直线 AC、B
14、D 相交成角的度数是_.（2）将图 1 中的OAB 绕点 O 顺时针旋转 90角，在图 2 中画出旋转后的OAB.（3）将图 1 中的OAB 绕点 O 顺时针旋转一个锐角，连接 AC、BD 得到图 3，这时（1）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由.(4) 若OAB 绕点 O 继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由.27、)如 图 ， 设 BAC=（ 0 90） .现 把 小 棒 依 次 摆 放 在 两 射 线 之 间 ， 并 使 小 棒 两 端分 别 落 在 射 线 AB， AC 上 .从 点 开 始 ， 用 等 长 的 小 棒 依 次 向 右 摆 放 ， 其 中 为
15、 第 一 根小 棒 ，且 .(1)小 棒 能 无 限 摆 下 去 吗 ？ 答 ： .(填 “能 ”或 “不 能 ”)(2)若 已 经 摆 放 了 3 根 小 棒 ， 则 1 =_， 2=_， 3=_； （ 用 含 的 式 子 表 示 ）(3)若 只 能 摆 放 4 根 小 棒 ， 求 的 范 围 .28、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，点 E 在边 AB 上，且 AE=4 厘米，如果点P 在线段 BC 上以 2 厘米秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动设运动时间为 t 秒（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经
16、过 2 秒后，BPE 与CQP 是否全等?请说明理由（2）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，则当 t 为何值时，能够使BPE 与CQP 全等；此时点 Q 的运动速度为多少 ? 29、如图 1，点 P、Q 分别是等边ABC 边 AB、BC 上的动点（端点除外） ，点 P 从顶点 A、点 Q 从顶点 B同时出发，且它们的运动速度相同，连接 AQ、CP 交于点 M（1）求证：ABQCAP；AB CDQEP（2）当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，
17、直线 AQ、CP 交点为 M，则QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数全等三角形的构造方法一、截长补短，构造全等.例 1、如图，在ABC 中，B=2C，BAC 的平分线交 BC 于 D，求证：AB+BD=AC方法一、 “截长”方法二、 “补短”小结：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法” 在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法” 这
18、两种方法是证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法练习：已知：如图，ABCD，BE 、CE 分别为ABC、BCD 的平分线，点 E 在 AD 上求证：BC=AB+CD二、倍长中线，构造全等.例 2、如图，AD 为ABC 中线求证：AB+AC 2AD练习 2：如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，过点 D 作射线交 AB 于 E，交 CA 的延长线于 F若要 BE=CF 的结论成立，请写出AEF 必须满足的条件，并加以证明三、作平行线构造全等例 3、 如图，ABC 中，ABAC.E 是 AB 上异于 A、B 的任意一点，延长 AC 到 D，使 CDBE，连接 DE 交 BC 于 F.求证：EFFD.四、作垂线构造全等三角形例 4、 如图，在ABC 中，BAC90，ABAC.M 是 AC 边的中点.ADBM 交 BC 于 D，交 BM 于 E.求证：AMBDMC.D五、旋转构造全等例 5、 如图，正方形 ABCD 中，12，Q 在 DC 上，P 在 BC 上.求证：PAPBDQ.六、利用角平分线构造全等例 6、已知，如图，等腰 RtABC 中，A90，B 的平分线交 AC 于 D，过 C 作 BD的垂线交 BD 的延长线于 E.求证：BD2CE .
