1、南京师范大学高等数学 (下册) 期末考试试卷 1(6 学时)学号 姓名 班级 成绩 一、填空题（ 8=32）：41、 为单位向量，且满足 则 .,abc0abcabcaA2、曲线 绕 轴旋转所得的曲面方程为 20yxz3、设函数 ，则 = 22,y2zxy4、球面 在点 处的切平面方程为 229xz(1,)5、设二次积分 ，则交换积分次序后得 I= 10(,)xIdfy6、闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 在 上有一DL,PxyQD阶连续偏导数，则有（格林公式）： .7、微分方程 的特解可设为 22xye8、微分方程 的通解为 31dx二、选择题（ 15）：51、设积分区域 由坐标面和平面
2、 围成，则三重积分D236xyzDdv（）（A）6； （B）12；（C）18； （D）362、微分方程 的阶数是 34“()0yyx（ ） （A）1； （B）2； （C）3； （D）43、 设有平面 和直线 ,则 与 L 的夹角:10xyz16:2xyzL为（）（A） ； （B） ；64（C） ； （D） 3 24、二元函数 在点 处满足关系 （ (,)fxy0(,)xy） （A）可微（指全微分存在） 可导（指偏导数存在） 连续；（B）可微 可导 连续；（C）可微 可导，且可微 连续，但可导不一定连续；（D）可导 连续，但可导不一定可微5、设无穷级数 绝对收敛，则 （ 31np） （A） ；
3、（B） ； （C） ； （D） 1p3p2p2p三、计算题（ =30）：651、设函数 可微， ，求 ， ； (,)ufxyz2zxyuxy2、已知方程 确定函数 ,求 ； 2243xyz()zxyzy吨3、求幂级数 的收敛域； 21nx4、将函数 展开为 的幂级数；1()lnxf5、求微分方程 的通解； 2(1)0xdyxd四、 （ ）求函数 的极值 8 2(,)4()fxyxy五、 （ ）计算 ，其中 D 是由直线 所围7 2()Dyxd ,yx2y及成的闭区域 六、 （ ）求旋转抛物面 和锥面 围成的立体的8 26zxy2zxy体积期末考试试卷 2(6 学时)一、填空题（ 7=2 ）：4
4、81、已知直线过点 , ,则直线方程为 (32)P(6)Q2、函数 的定义域是 2ln(9)(,)4xyfxy3、设函数 ,则全微分 23xyzedz4、在 内，幂级数 的和函数为 (1,)2461x5、幂级数 的收敛半径 1()2nnxR6、设 C 是在第一象限内的圆： ， （ ） ，则cosxtinyt02txyds7、微分方程 的通解为 “8160y二、选择题（ ）：31、下列方程表示的曲面为旋转曲面的是 （ ）（A） ； （B） ；2149xy223xyz（C） ； （D） 2z 2242、设 ， ，则在点 处函数 （ 0(,)xfy0(,)yfx0(,)xy(,)fxy） （A）连续
5、； （B）一定取得极值；（C）可能取得极值； （D）全微分为零3、下列无穷级数中，绝对收敛的是 （ ）.（A） ； （B） ； （C） ； （D）213sin1()n 1()n21n4、 设积分区域 ，则二重积分 2:3Dxy(3)Ddxy（ ） （A） ； （B） ；93（C） ； （D） 3 95、微分方程 的一个特解为 2“35xye（ ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 29xe23xe2xe25xe6、D 是点 为顶点的三角形区域， 在 D 上连续，0,1, ,fy则二重积分 Dfxyd（ ）.（A） （B）10,;dxfy 10,;xdfy（C） （D） .三、计算题（
6、 =24）：641、已知 ，求函数 在点 处的偏导数 ； (1)xyzz(1,)Pzxy吨2、设 ， 具有二阶导数，求 ；2()zfxyf 2zxy3、判断级数 的敛散性；如果收敛，指出是绝对收敛还是条21()n件收敛； 4、将函数 展开为 的幂级数；2()ln1)fxx四、 （ ）求微分方程 的通解 7 230xydx五、 （ ）某厂要用铁板作成一个体积为 的有盖长方体水箱，问8 32m当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？ 六、计算下列积分：1、 （ ）计算 ，其中 D 是由抛物线 和直线 所7(2)Dyxd 2yx2yx围成的闭区域 2、 （ ）设积分区域 由上半球面 及平面 所围成，
7、8 21zxy0z求三重积分 zdxy期末考试试卷 3(6 学时)一、填空题（ 8= ）：4321、设 ， ，则与 、 同时垂直的单位向量为(2,1)a(,5)bab_2、 面上的抛物线 绕 轴旋转所得旋转曲面方程为 yoz2zyz3、若 在区域 上恒等于 1，则 (,)fxy2:14Dxy(,)Dfxyd4、设 ，则其驻点为 2(,)4()fxyxy5、级数 收敛，则 的取值为 13nqq6、设 而 则全导数 .si,zuvt,cos.tevtdzt7、微分方程 的通解为 n0yx8、设函数 ，则 = (1)z(1,)|dz二、选择题（ 15）：351、过点（2，-8，3）且垂直于平面 的直
8、线方程是（ 230xyz） （A） ； （B） ；()2(8)3()0xyz8312z（C） ； （D） 2831xyz283xyz2、若函数 由方程 所确定，则 （ (,)xxyze） （A） ； （B） ； （C） ； （D）(1)yx(1)yx1yz()zxy3、二元函数 在 处的偏导数 和 存在(,)fxy0(,)0(,)xfy0(,)yfx是函数在该点全微分存在的 （ ） （A）充分条件； （B）必要条件； （C ）充要条件； （D）既非充分也非必要条件4、 积分 更换积分次序后为 （ ydx),(fd10） （A） ； （B） ；10),(yxf xdyf),(10（C） ； （D
9、） 2xdx25、设 （ ） ，而无穷级数 收敛，则下12nnSa 0,1ian 1na列说法不正确的是 （ ） （A） ； （B） 存在； lim0na limnS（C） ； （D） 为单调数列 S 三、计算题（ 3= ）：6181、曲面 上哪一点的切平面平行于平面 ，24zxy 210xyz并写出切平面方程； 2、讨论级数 的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是12()n绝对收敛.3、将函数 展开为 的幂级数； 21()fx(1)x四、 （ ）求微分方程 的通解 7 2“2xye五、 （ ）在所有对角线为 的长方体中，求最大体积的长方体 7 23六、 （ ）计算 ，其中 D 是由直线 ， 及
10、曲线 所72Dxdy 2xyx1y围成的闭区域 七、 （ ）计算 ，其中 D 是由圆 及直线7arctnDydx 221,4xy所围成的第一象限部分。0,yx八、 （ ）计算曲线积分 ,其中积分路线 C7 2322(6)(63)Cxydxyd是由 点到 点的直线段。(1,2)A(3,4)B期末考试试卷 4(6 学时)一、填空题（ 6= ）：421、过点 并且平行于 面的平面方程为 (3,1)zox2、平面 和 的夹角为 .80xyzy3、设 ，其中 为可微函数，则 22()uff ux4、交换积分次序： 240(,)xdfyd5、设 为常数，若级数 收敛，则 a1nualimnu6、微分方程
11、的通解为 “560yy二、选择题（ 15）：31、设 和 是向量，则 ab()2)ab（ ） （A） ； （B） ； 3ab（C） ； （D） ba 223ab2、在 内，幂级数 的和函数为 （ (1,)2461x） （A） ； （B） ； （C） ； （D）21x21x21x3、 二元函数 的极小值点是 （ 3239zy）.（A） ； （B） ； （C） ； （D）(1,0)(1,2)(3,0)324、下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为 （ ） （A） ； （B） ； ()()0xyyxeded)(lnxyd（C） ； （D） 3425、设 是沿椭圆： 的逆时针路径，则线cos,in(
12、02)xatybt积分 CydxA（ ） （A）0； （B） ；2（C） ； （D） ab ab三、计算题（ =36）：61、求过点（2，0，-1）且与直线 垂直的平面方程； 321xyz2、设 ，求 ， ；(cosin)xzeyzx2y3、设 ，求 ； ln0xzyzyx4、讨论级数 的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是12n绝对收敛； 5、求幂级数 的收敛半径和收敛区间； 21(3)nnx6、求微分方程 的通解tanyx四、设某工厂生产某产品的数量 与所用的两种原料 A，B 的数S()吨量 （吨）之间的关系式 。现用 150 万元购置原料，,xy 2,0.5xyxy已知 A，B 原料每吨单
13、价为 1 万元和 2 万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多？（ ）7五、计算 ，其中 D 是由直线 与抛物线 所围成的闭2Dxyd yx2yx区域 （ ）7六、计算二重积分 ， 为圆 所包围的第一象限2xyDIed21xy中的区域 （ ） 6七、计算三重积分 ，其中 为三个坐标面几平面12dxyz所围成的闭区域 （ ）xyz5期末考试试卷 5(6 学时)一、填空题（ 6=2 ）：41、已知 和 则与 平行的单位向量为 .1(2,)M2(1,30)12M2、函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向zxy(,)(,3)导数为 3、级数 的和为 1()n4、幂级数 的收敛半径 = .1nx
14、R5、微分方程 的特解形式可设为 369(1)xye6、设积分区域 ，则 _ 22:xzdV二、选择题（ ）：341、方程 在空间直角坐标系中表示的图形是 （ 20yz） （A）原点； （B）圆；（C）圆柱面； （D）直线2、 设 可 微 ， 则 （ ()ufxyzux） （A） ； （B） ；dfyzx (,)xfyz（C） ； （D） (,)f d3、下列级数中，收敛的级数是 （ ） （A） ； （B） ； 12n1sin（C） ； （D） 187n 1()!n4、函数 驻点个数为 22(6)4)zxy（ ） （A）6； （B）5； （C）4； （D）3三、计算题（ =36）：61、求通过
15、 轴和点（4，-3，-1）的平面方程；x2、已知 ，求 ；xyzzd3、设 ，求 ， ； ln()yzxzxy4、求微分方程 的通解；43xdyxe5、求微分方程 满足初始条件 的特解； 2“1xy001,3xxy6、将函数 在 处展开成幂级数 ()ln4)fx1x四、从斜边之长为 的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角l形 （ ） 7五、计算累次积分 （ ）0sinyxd7六、求旋转抛物面 与平面 所围成的立体的体积 V （24zxy0z） 7七、利用格林公式计算曲线积分： ，其中(24)(536)LxydyxdA为三顶点分别为 ， ， 的三角形的正向边界.（ ）L(0,)3, 7期末考
16、试试卷 6(6 学时)一、填空题（ ）：481. 设点 A ,B ， = ，则 = .210（ ， ， ） 3（ ， ， ） BC15， ， ABC2. 球面方程 的球心坐标为 ，球半220xyzxz径为 .3. 曲面 在点 的切平面方程为 .2zxy1(,)24. 设 ，则 grad = .(,fz） f(1,2)5. 设 ，则全微分 .xyze(2,1)d6. 设 L 是抛物线 上点 与点 B ）之间的一段弧，则2yx(0,)(1，= .Lyds7. 幂级数 的收敛半径 .1nxR8 的特解可设为 .56xye二、选择题（ ）：351.下列三元数组中，可作为向量的方向余弦的是 （ ）.；
17、； ； A21,3B1,2C1,23D. 2.设 ，则 xyzz（ ）.； ； ； A2()xyB21()xyC1xyD.2()x3.幂级数 的收敛域为 11nnxA（ ）.； ； ； 2,B2,)C(2,D.(,)4.二元函数 在点 处的两个偏导数 与 存(,)zfxy0(,)xy0(,)xfy0(,)yfx在是函数在该点处可微的 （ ）.充分而非必要条件； 必要而非充分条A B件；充分必要条件； 既非充分又必要C D条件.5. 连续，更换积分次序 = (,)fxy20(,)ydfx（ ）.； ；A402(,)xdfy B20(,)xdfy； .C40(,)xxdfy D20(,)xdfy三
18、、 （ ）求点 在平面 上的投影.6(1.2,0)21xyz四、 （ ）设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求,ufxyf 2,.uxy五、 （ ）求函数 的极值.6 32(,)7fxyxy六、 （ ）求微分方程 满足初始条件 的特解.6 lnxyyex七、 （ ）判断级数 的敛散性，若收敛，求其和.61()n八、求下列积分：1.（ ）计算二重积分 ，其中 D 由圆 及7 arctnDyIdx 21xy与 所围成的第一象限区域.24xy,0xy2. 计算曲线积分 ，其中 是以 、8332()()LIxydxydAL(0,)O、 为顶点的三角形边界，沿逆时针方向.1,0A,B九、应用题 ：求由曲面
19、和 围成的立体的体积.2zxy243zxy期末考试试卷 7(6 学时)一、选择题（ ： 35)1. 直线 与平面 所成的角为 12xyz23xyz（ ）.0.A;2B;3C;4D2. 点 是函数 的驻点， 有连续的二阶偏导数，0,xy,fxy,fxy“xf则 在 取得极小值的充分条件“00,yyBCfx,fxy0,是（ ）.， ； ， ；A2CB0AB2AC0， ； ， .D3. 曲面 在点（1，-1，1）处的切平面方程为 2zxy（ ）.；A25;xyzB23xyzC11D11.4. 一阶微分方程 是 sindyx（ ）.可分离变量的微分方程； 齐次方程；AB齐次线性微分方程； 非齐次线性微
20、分方程.CD5. 级数 （ 为不等于零的常数） 12nk（ ）.绝对收敛； 发散； 条件收敛； 敛散性与 有关.ABCDk二、填空题 ：(48)1.设平行四边形两邻边为 ，则该平行四边形的23,aijkbj面积为 .2.曲面 与平面 的交线在 面上的投影曲线方程为 .2zxy1zxOy3. 设 ，则在 处，2(,)326f xz(1,)xyzff= . 4 改变二次积分的积分次序 = .221(,)xdfyd5. 设 L 是由 围成的区域的正的边界，则2,= 34243LxydxydA.6. 微分方程 的通解为 .xyed7 已知微分方程 的特征方程的两个根 ，则该“0pq12,3r微分方程为.8 在 内，幂级数 的和函数为 .(1,)24681xx 三、 已知平面 经过两点 且垂直于给定的平面(7)(,)0,1)PQ，求平面 的方程.0xyz四、 已知 且 具有二阶连续偏导数，求(8)(,)zfxy(,)fuv 2,zxy
