1、数学选修 2-2 导数及其应用知识点必记1函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为 xfy xffxf)()( 1112注 1：其中 是自变量的改变量，可正，可负，可零。x注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？答：函数 )(xfy在 处的瞬时变化率是 xffxy)(limli 000 ，则称0函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 )f在 处的导数，记作)(0xf或 0|x，即 )(0f= fxy(limli0.3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 导数的背景是什么？答：（1
2、）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数 导函数 不定积分yc0ynx*N1nx 1nxdxya0,1lxyalnxxaxexexxedlogay0,1x1lnyanxx1lnxsiycosycosidcoxinisx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若 ， 均可导（可积），则有：fxg和差的导数运算 ()()fxgfxg积的导数运算 ()fx特别地： Cfx商的导数运算 2()()()()0fgfxgg特别地： 21()x复合函数的导数 xuxy微积分基本定理 （其中 ）bafd Fxf和差的积分运算1212()()()bbaaxffxd
3、f特别地： ()bakk为 常 数积分的区间可加性 ()()bcba cfxdfxfxcb其 中6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：求函数 f(x)的导数 ()f令 0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间.令 0,则 ln(1x) ;x117. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=4x3+ax2+bx5 在 x=1 与 x= 处有极值。32(1)写出函数的解析式；(2)求出函数的单调区间；(3)求 f(x)在-1,2上的最值。18. (本题满分 14 分) 做一个圆柱形锅炉，容积为 V，两个底面的材料每单位面积的价格为 20 元，侧面的材料每单位面积价格为 15 元，问锅炉的底面
4、直径与高的比为多少时，造价最低？ 19. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=ax4bx 3cx 2dxe 是偶函数，它的图象过点 A(0,-1)，且在 x=1 处的切线方程是 2x+y2=0,求函数 f(x)的表达式。20. (本题满分 14 分) 如图，由 y=0，x=8，y=x 2围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上求一点 M，使得过 M 所作的 y=x2的切线 PQ 与 OA，AB 围成的三角形 PQA 面积最大。QPMBo A高二数学理导数测试题 1 参 考 解 答一 BBDDD CDDA二 1、y=3x-5 2、m7 3、4 -11 4、 5、 8,3(,0)6、 7、 8、,
5、)3(,1)(,),32,0三1解：（）由 的图象经过 P（0，2），知 d=2，所以xf由在 处的切线方程是,2)(23cbxf .3)(2cbx )1(,fM知076yx .6)(,1)(,716fff即故所求的解析式是 .3,0.21,3cbcbcb解 得即3)(3xxf（2） 解得 .012,036.622 xx即令当 当1,21xx ;0)(,xf时或故 内是增函数，.0)(,xf时 ,()(23在xxf在 内是减函数，在 内是增函数.),( ,12（）解： ，依题意， ，即23(baf 0)1()ff解得 .0,0, .)(3)(,)(23 xxfxf令 ，得 . 1若 ，则 ，,
6、1,x 0)f故 在 上是增函数， 在 上是增函数.)(f)(),1若 ，则 ，故 在 上是减函数.,0(xfxf所以， 是极大值； 是极小值.2)1(f 2)1(f（）解：曲线方程为 ，点 不在曲线上.xy36,0A设切点为 ，则点 M 的坐标满足 .,0x 030xy因 ，故切线的方程为)(3)200xf )(20xy注意到点 A（0，16）在切线上，有 )(1102003x化简得 ，解得 .830x所以，切点为 ，切线方程为 .)2,( 69yx3解：（1） 极小值为 2 2()63(),fxaa()f()2af（2）若 ，则 ， 的图像与 轴只有一个交点；02()31)fx()fxx若
7、 ， 极大值为 ， 的极小值为 ，a(0aff2()0fa的图像与 轴有三个交点；()fxx若 ， 的图像与 轴只有一个交点；02()fx若 ，则 ， 的图像与 轴只有一个交点；a 261)0x()fx若 ，由（1）知 的极大值为 ， 的图(f 22134()0a()fx像与 轴只有一个交点；x综上知，若 的图像与 轴只有一个交点；若 ， 的图像与0,()afxx()f轴有三个交点。4解(I) 因为 是函数 的一个极值点,2()36(1)fmn1()fx所以 ,即 ，所以0()036nm（II）由（I）知， =2)361fxx2(1)x当 时，有 ，当 变化时， 与 的变化如下0m1m)ff表
8、： x2,121,1 ,()fx00 00 0调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减故有上表知，当 时， 在 单调递减，0m()fx2,1m在 单调递增，在 上单调递减.2(1,)1,（III）由已知得 ，即(3fx2()20xx又 所以 即 0m2)0m(1),1,xm设 ，其函数开口向上，由题意知式恒成立，1()(gxx所以 解之得200()1又43m所以 0即 的取值范围为 4,35解：（） ，2()6fxaxb因为函数 在 及 取得极值，则有 ， 1(1)0f(2)f即 630241ab， 解得 ， （）由（）可知， ，32()918fxxc2()6861fx当 时， ；01，
9、0f当 时， ；， ()当 时， (3)， fx所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， (1)58fc(0)8fc(3)98fc则当 时， 的最大值为 0x， ()f39因为对于任意的 ，有 恒成立，3x， 2fx所以 ，298c解得 或 ，1c9因此 的取值范围为 (1)()， ，6解：（） ，由已知 ，2)3fxabxc(0)1ff即 解得032cab， ，0， ， ， ， ()fxx13242afa32()fxx（）令 ，即 ，f 0x， 或 (21)0 1又 在区间 上恒成立，fx m， 2m7.（） 为奇函数，()f ()fx即 33abcabc 0 的最小值为2()f 12 1又直线
10、 的斜率为670xy6因此， ()3fab ， ， 2a1c（） fxx，列表如下：()6(2)x,(,2)(2,)f00()xA极大 A极小 A所以函数 的单调增区间是 和()f (,)(,) ， ，10f28318f 在 上的最大值是 ，最小值是()fx,3)f 28f高二数学理导数测试题 2一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）（13）、 （14）、 （15）、 （16）、 10t 2ln110三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分，解
11、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分 10 分）解：由题意知： ，则txxtxf 232)1()() （3 分）txf3)(2 在区间 上是增函数，)1,( 0)(xf即 在区间 上是恒成立， （5 分）xt2,设 ，则 ，于是有g3)(31)()2xg51(maxt当 时， 在区间 上是增函数 （8 分）5)f),(又当 时， ，t 314)(523 2xx在 上，有 ，即 时， 在区间 上是增函数)1,(0)(ftf,(当 时，显然 在区间 上不是增函数5tx)1,( （10 分）（18）（本小题满分 12 分）解：（1） ，依题意，32)( bxaxf，即 解得 （
12、3 分）01ff .0,0,1ba ，xxf3)( )(3)(2xxf令 ，得 0 1,若 ，则),()1,(x0)(xfB C A B B C A B B A C B故 在 上是增函数；)(xf ),1(,和若 ，则，0xf故 在 上是减函数；)(xf,所以 是极大值， 是极小值。 （6 分）212)1(f（2）曲线方程为 ，点 不在曲线上。xy36,0A设切点为 ，则),(0M3x由 知，切线方程为1)20xf （9 分）)(30y又点 在切线上，有)6,(A )0(13)(6203 xx化简得 ，解得 830x20x所以切点为 ，切线方程为 （12 分）),2(M69yx（19）（本小题
13、满分 14 分）解： )2(1)(24141)( 23 xxxf令 ，得： （2 分）0 ,3x当 变化时， 的变化情况如下表：x)(,fx)1,(2,1),2()xf0 0(单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增极大值为 ，极小值为13)f 8)2(f又 ，故最小值为 0。 （6 分）0(f最大值与 有关：a（1）当 时， 在 上单调递增，故最大值为：)1,()(xf,a （8 分）f 2468334（2）由 ，即： ，得：13)(xf 013246834 xx， 或 0)22又 ， 或 （10 分）0x131x当 时，函数 的最大值为： （12 分）a2, )(xf 13)(f（3）
14、当 时，函数 的最大值为：(),310)(f （14 分）aaf 2468)4（20）（本小题满分 12 分）解：设圆锥的底面半径为 ，高为 ，体积为 ，则rhV由 ，所以22Rrh)0(,31)(3122 RhhRV ，令 得 （6 分）2h0Vh易知： 是函数 的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。R3当 时，容积最大。 （8 分）h把 代入 ，得 R322RrRr36由 得 36即圆心角 时，容器的容积最大。 （11 分）2答：扇形圆心角 时，容器的容积最大。 （12 分）36(21) （本小题满分 12 分）解：解方程组 得：直线 分抛物线 的交点的横坐标为2xykkxy2xy和
15、 （4 分）0x1抛物线 与 轴所围成图形为面积为2 （6 分）61|)3()( 0210 xdxS由题设得 dkk10102)(2 （10 分）6)(3102xxk又 ，所以 ，从而得： （12 分）6S1)(32413k(22) （本小题满分 14 分）解：（1） 时，函数 ，且2bxaxh2ln)(axh11)( 函数 存在单调递减区间， 有解。 （2 分）0)(xh又 ， 有 的解。0x12xa 当 时， 为开口向上的抛物线， 总y 012xa有 的解; （4 分）x 当 时， 为开口向下的抛物线，而 有 0a12xay 012xa的解，则x，且方程 至少有一正根，此时，40201a综
16、上所述， 的取值范围为 。 （7 分）),(),1（2）设点 ，且 ，则),(),(21yxQP210x点 的横坐标为 ，NM,1在点 处的切线斜率为 ；1C2121|1xxk在点 处的切线斜率为 。 （9 分）2Nbabax)(|)(21221假设 在点 处的切线与 在点 处的切线平行，则 ，即1CM2CN21k21xbxa)(2则 )()()( 121221 x121212 lnxybabxa 所以 （11 分）12lnx12)(设 ，则 ， 12xttl,)(t令 ，则1,ln)(tth22)()1(4 ttt当 时， ，所以 在 上单调递增。0hh),1故 ，从而 这与矛盾，假设不成立
17、，)(t tt(ln 在点 处的切线与 在点 处的切线不平行。 （14 分）1CM2CN高二数学理导数测试题 3一、 CCBCC,CBBBA二、11.a2 or a-1 12.-1/213.y=sin2x-2cosx 14. 4三、15.增区间为(0，+ )，(- ，-1) ，减区间为(-1，0)，(0，1)极大值为 f(1)=4, 极小值为 f(1)=416.略17.(1) a=3,b=18,f(x)=4x 3-3x2-18x+5(2)增区间为(- ，-1)，( ，+ )，减区间为(-1， )32(3) f(x)max= f(-1)=16 f(x)min= f( )= 61418.直径与高的比为 a:b19. f(x)=-2x4+3x-120 M( , )163259
