1、 1 / 16第六章 数据的分析2. 中位数与众数一、学情与教材分析1.学情分析经过前两节课的学习，学生已理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，会求一组数据的算术平均数和加权平均数，能利用平均数解决实际问题学生在算术平均数和加权平均数的学习活动中，解决了一些相关的实际问题，体会到权的差异对平均数的影响，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验，初步形成了动手实践、自主探索、合作交流的学习方式2.教材分析中位数与众数是北师大版八年级上册第六章第二节内容平均数，中位数，众数是描述一组数据的集中趋势的 3 个数据代表，是帮助学生学会用数据说话的基本概念，在此之前，学生已经学习了第 1 节平均数
2、，本节内容是继平均数学习之后的后续内容，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是联系现实生活，培养学生应用数学意识和创新能力的良好素材二、教学目标1.掌握中位数、众数的概念，会求出一组数据的中位数与众数；能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判2.通过解决实际问题的过程，区分刻画“平均水平”的三个数据代表，让学生获得一定的评判能力，进一步发展其数学应用能力3.将知识的学习放在解决问题的情境中，通过数据分析与处理，体会数学与现实生活的联系，培养学生求真的科学态度三、教学重难点教学重点：掌握中位数与众数的概念，及两概念的简单运用教学难点：平均数
3、、中位数和众数三者的差别，并能在具体情境中选择恰当的数据代表，对数据做出自己的评判四、教法建议根据教材内容和初二学生的认知特点，采用“以问题为中心” 的讨论发现法：2 / 16即课堂上，教师或学生提出适当的数学问题，通过学生与学生（或教师）之间相互讨论，相互学习，在问题解决过程中发现概念，逐步建立认知结构五、教学设计（一）课前设计1预习任务任务 1：阅读课本 p142-143，什么是中位数？什么是众数？（观看中位数与众数新知讲解 00:00-02:00）任务 2：结合实例，怎么找出一组数据中的中位数，众数呢？（观看中位数与众数新知讲解 02:01-06:29）任务 3：课下调查 20 名男同学
4、所穿运动鞋的尺码，其中这些尺码的平均数、中位数、众数分别是多少？ 2预习自测一、选择题1已知数据：2，1，4，6，9，8，6，1，则这组数据的中位数是（ ）A4 B6 C5 D4 和 6答案：C解析：从小到大排列此数据为：1、1、2、4、6、6、8、9，第 4 位和第 5 位分别是 4 和 6，平均数是 5，则这组数据的中位数是 5 点拨：要求中位数，是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数的平均数2某校在“校园十佳歌手”比赛上，六位评委给 1 号选手的评分如下：90，96，91，96，95，94那么，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
5、A96，94.5 B96，95 C95，94.5 D95，95答案：A解析：在这一组数据中 96 是出现次数最多的，故众数是 96；而将这组数据从小到大的顺序排列（90，91，94，95，96，96） ，处于中间位置的那个数是94、95，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（94+95）2=94.5故这组数据的众数和中位数分别是 96，94.5 点拨：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两3 / 16个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个二、填空题3某中学排球队 12 名队员的年龄情况如下表：年龄（岁） 12 13 14
6、15人数（人） 1 2 5 4则这个队员年龄的众数是_答案：14解析：这组数据中，14 岁的人数最多，故众数为 14点拨：根据众数的概念求解4某地连续九天的最高气温统计如下表：最高气温（） 22 23 24 25天 数 1 2 2 4则这组数据的中位数与众数分别_答案：24； 25解析：在这一组数据中 25 是出现次数最多的，故众数是 25；处于这组数据中间位置的那个数是 24，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 24；故这组数据的中位数与众数分别是 24，25故答案为 24； 25点拨：根据众数和中位数的定义就可以求解 (或点击“随堂训练” ，选择 “中位数与众数预习自测”)（二）课
7、堂设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究发现；第三环节：知识运用；第四环节：随堂检测；第五环节：课堂小结第一环节：情境引入 内容：在当今信息时代，信息的重要性不言而喻，人们经常要求一些信息“用数据说话 ”，所以对数据作出恰当的 评判是很重要的下面请看一例：某次数学考试，小英得了 78 分全班共 32 人，其他同学的成绩为 1 个100 分，4 个 90 分，22 个 80 分，2 个 62 分，1 个 30 分，1 个 25 分4 / 16小英计算出全班的平均分为 77.4 分，所以小英告诉妈妈说，自己这次数学成绩在班上处于“ 中上水平 ”小英对妈妈说的情况属实吗？你
8、对此有何看法？引导学生展开讨论，作出评判：平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，利用平均数把倒数第五的成绩说成处于班级的“ 中上水平 ”显然是不属实的原因是全班的平均分受到了两个极端数据 30 分和 25 分的影响，利用平均数反应问题就出现了偏差怎样说明这个问题呢？我们需要学习新的数据代表中位数与众数目的：一是复习平均数的概念与计算，同时说明有些数据利用平均数是反应不出问题的，为引入新的数据代表奠定基础二是根据学生的心理特征和认识规律，力求创设一种引人入胜的教学情景，引起学生对“ 平均水平” 的认知冲突，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引学生积极投入新知识的学习注意事项：本环节占用的时间不宜
9、长，只要达到引入新课、调动学生学习积极性的目的既可第二环节：探究发现内容：问题：某公司员工的月工资如下： 员 工 经理 副 经 理 职 员A职 员 B 职 员 C 职 员D职 员 E 职 员 F 职 员 G月 工 资 /元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200经理说：我公司员工收入很高，月平均工资为 2700 元职员 C 说：我的工资是 1900 元，在公司算中等收入职员 D 说：我们好几个人工资都是 1800 元一位应聘者心里在琢磨：这个公司员工收入到底怎样呢？你怎样看待该公司员工的收入？学生四人小组讨论，交流自己的看法，教师对表现积极的学
10、生予以鼓励在学生讨论交流的基础上，教师进行点拨：上述问题中，经理、职员 C、职员 D 从不同的角度描述了该公司的收入情况：5 / 16（1）月平均工资 2700 元，指所有员工工资的平均数是 2700 元，但只有正、副经理的工资比平均工资高，是他两人的工资把平均工资“拉” 高了（2）职员 C 的工资是 1900 元，恰好居于所有员工工资的“正中间” （恰有4 人的工资比他高，有 4 人的工资比他低） ，我们称 1900 元是这组数据的中位数（3）9 个员工中有 3 个人的工资为 1800 元，出现的次数最多，我们称1800 元是这组数据的众数议一议：你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平
11、更合适？让学生讨论，充分发表不同的观点，然后归纳起来：用中位数 1900 元或众数 1800 元表示该公司员工收入的平均水平更合适些，因为平均数 2700 元受到了极端值的影响结合上述问题的探究，引入中位数、众数的概念： 一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数教师指出：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平 ”让学生用中位数、众数的概念回头望，解释引例中小英的数学成绩的问题目的：通过有争议的问题情境，再次引起学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和学习热
12、情；通过讨论交流，培养了学生的自主探索、合作交流的意识与能力，改变学生的学习方式：通过解决问题，让学生多角度地认识平均，使他们的认知冲突得到升华注意事项：在问题的讨论中，学生从不同的角度理解问题会有不同的观点，只要学生说得有道理，教师就应给予肯定和鼓励，不可强求结论的一致性第三环节：知识运用内容：1. 对于一组数据：3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，下列说法正确的是（ ）6 / 16A. 这组数据的众数是 3；B. 这组数据的众数与中位数的数值不等；C. 这组数据的中位数与平均数的数值相等；D. 这组数据的平均数与众数的数值相等答案：A2. 20112012 赛季北京金隅队队员身高
13、的中位数、众数分别是多少？（课本 48 页） 3. 你课前所调查的 20 名男同学所穿运动鞋尺码的平均数、中位数、众数分别是多少？你认为学校商店应多进哪种尺码的男式运动鞋？目的： 第 1、2 题是基础题，考查平均数、中位数和众数的概念及求法，特别是通过第 2 题要使学生认识到一组数据中众数不一定只有一个第 3 题既是上节课的作业题，又是本节课的“做一做” ，不仅渗透了抽样调查的思想，而且让学生在具体情景中，选择恰当的数据代表对问题作出评判，培养学生的实践能力注意事项：教师根据学生解答问题的情况，及时反馈矫正、积极评价特别是第 3 题由于所选的样本不是很大，个别学生有不同看法是允许的第四环节：随
14、堂检测一、选择题1数据 21、12、18、16、20、21 的众数和中位数分别是（ ）A21 和 19 B21 和 17 C20 和 19 D20 和 18答案：A解析：在这一组数据中 21 是出现次数最多的，故众数是 21；数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）2=19，故中位数为19点拨：根据众数和中位数的定义求解即可2在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）如下表：成绩 45 46 47 48 49 50人数 1 2 4 2 5 17 / 16这此测试成绩的中位数和众数分别为（ ）A47，49 B47.5，49 C48，4
15、9 D48，50答案：C解析：49 出现的次数最多，出现了 5 次，所以众数为 49，第 8 个数是48，所以中位数为 48，故选 C点拨：根据众数与中位数的定义，众数是出现次数最多的一个，中位数是第 8 个数解答即可二、填空题3已知一组数据：2，1，1，0，3，则这组数据的中位数是_答案：1解析：从小到大排列此数据为：1，0，1，2，3，第 3 位是 1，则这组数据的中位数是 1 点拨：要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数）即可4某校九年级（1）班 40 名同学中，14 岁的有 1 人，15 岁的有 21 人，16岁的有 16 人，17 岁的有 2
16、 人，则这个班同学年龄的中位数是_岁答案：15解析：该班有 40 名同学，这个班同学年龄的中位数是第 20 和 21 个数的平均数，15 岁的有 21 人，这个班同学年龄的中位数是 15 岁点拨：根据中位数的定义找出第 20 和 21 个数的平均数，即可得出答案三、解答题5物理兴趣小组 20 位同学在实验操作中的得分情况如下表：得分（分） 10 9 8 7人数（人） 5 8 4 3（1）写出这 20 位同学实验操作得分的中位数8 / 16（2）求这 20 位同学实验操作得分的平均分答案：见解析解析：（1）20 个数据的中位数是第 10 个和第 11 个同学的得分的平均数，即（9+9）2=9所以
17、中位数为 9（2）平均分= =8.75 分所以这 20 位同学实验操作得分的平均分为 8.75 分点拨：20 个数据的中位数是第 10 个和第 11 个同学的得分的平均数平均分=总分数总人数 （或点击“随堂训练” ，选择“中位数与众数随堂检测” ）第五环节：课堂小结议一议：平均数、中位数和众数有哪些特征？学生讨论交流，师生共同总结特征：1. 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响 2. 用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，它不能充分利用所有数据的信息，但它不受极端
18、值的影响，当一组数据中有个别数据变动较大时，可用它来描述这组数据的“ 集中趋势 ”3. 用众数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，其大小只与这组数据中的部分数据有关，但它不受极端值的影响当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一种统计量要根据不同的实际需要，确定是用平均数、中位数还是众数来反映数据的平均水平目的： 通过合作交流、归纳总结，使学生体会到平均数、中位数、众数三者的差别，并能在情景中，选择恰当的数据代表对数据作出评判，培养学生的判断能力和学习能力注意事项：在学生总结平均数、中位数和众数的特征时，最好是让他们结合具体实例来说明，这样对学生理解数据的代表的特征、恰当地
19、运用它们作出评判颇有好处9 / 16布置作业：1. 课本习题 6.2 的第 1，2，3 题2. 收集一组与本班同学相关的生活数据（例如每分钟心跳的次数，眼镜近视的度数、身高、体重等） ，并选择恰当的数据代表来说明本组数据的特征 （三）课后作业基础型一、选择题1一组数据 3，x，4，5，8 的平均数为 5，则这组数据的众数、中位数分别是（ ）A4，5 B5，5 C5，6 D5，8答案：B解析：3，x，4，5，8 的平均数为 5，（3+x+4+5+8）5=5，解得：x=5，把这组数据从小到大排列为 3，4，5，5，8，这组数据的中位数为 5，5 出现的次数最多，这组数据的众数是 5；故选 B点拨：
20、先根据平均数的定义求出 x 的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数最多的数即可2某班学生积极参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表：金额/元 5 10 20 50 100人数 4 16 15 9 6则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（ ）A10，20.6 B20，20.6 C10，30.6 D20，30.6答案：D解析：共有 50 个数，中位数是第 25、26 个数的平均数，中位数是（20+20）2=20；平均数= （54+1016+2015+509+1006 ）=30.6；故选 D10 / 16点拨：根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从
21、小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据平均数公式求出平均数即可二、填空题3在 2015 年的体育考试中某校 6 名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是_答案：26解析：把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（26+26）2=26，则中位数是 26点拨：根据中位数的定义，即可解答 4两组数据：3，a，2b，5 与 a，6，b 的平均数都是 6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为_答案：6解析：两组数据：3，a，2b，5 与 a，6，b 的平均数都是 6， ，解得 ，若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8，一共
22、7 个数，第四个数是 6，所以这组数据的中位数是6点拨：首先根据平均数的定义列出关于 a、b 的二元一次方程组，再解方程组求得 a、b 的值，然后求中位数即可三、解答题5有七个数由小到大依次排列，其平均数是 38，如果这组数的前四位数的平均数是 33，后四个数的平均数是 42求它们的中位数答案：见解析解析：设中间的一个数即中位数为 x，11 / 16由题意得，x=334+424387=34，则中位数为 34点拨：根据 7 个数的平均数是 38，就可以求出这 7 个数的和前 4 个数的和与后四个数的和，减去 7 个数的和就是第四个数，即 7 个数的中位数 能力型一、选择题1有 11 个互不相同的
23、数，下面哪种方法可以不改变它们的中位数（ ）A将每个数加倍 B将最小的数增加任意值C将最大的数减小任意值 D将最大的数增加任意值答案：D解析：A、将每个数加倍，则中位数加倍；B、将最小的数增加任意值，可能成为最大值，中位数将改变；C、将最大的数减小任意值，可能成为最小值，中位数将改变；D、将最大的数增加任意值，还是最大值，中位数不变 点拨：11 个不同的数按大小排列，第 6 个数为中位数，看哪个选项没改变第 6个数2一组互不相等的数据，它的中位数为 80，小于中位数的数的平均数为 70，大于中位数的数的平均数为 96，设这组数据的平均数为 ，则 =（ ）A82 B83 C80 82 D82 8
24、3答案：D解析：大于中位数与小于中位数的数个数相同，可以设都是 m 个当这组数有偶数个时，则中位数不是这组数中的数，则这组数有 2m 个，则平均数是： =83；当这组数据的个数是奇数个时，则这组数有 2m+1 个，则平均数是： =83 ，而 m1，因而 0 183 831=82 且 83 8312 / 16故 82 83点拨：当这组数据的个数应分为奇数个与偶数个两种情况进行讨论，并且大于中位数与小于中位数的数个数相同，可以设都是 m 个，根据平均数的计算公式即可求解二、填空题3由小到大排列的一组数据 x1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于1，则对于 1，x 1，x 2，x 3
25、，x 4，x 5的中位数可表示为_答案：解析：将 1，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5这组数据从小到大重新排列后最中间的两个数为 x5与 1，则中位数是 点拨：首先将数据 1，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5按大小排列的，然后根据中位数的定义求解三、解答题4请根据下列图表信息解答问题：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016年增长率 31% 27% 32% 35% 52%（1）表中空缺的数据为_；（精确到 1%）（2）求统计表中增长率的平均数及中位数；（3）预测 2017 年的观影人次，并说明理由答案：见解析解析：（1）由题意可得，2016 年的年增长率是：
26、（13.7212.60）13 / 1612.60100%9%；（2）统计表中增长率的平均数为：（31%+27%+32%+35%+52%+9%）6=31%；将它们按从小到大的顺序排列为：9%，27%，31%，32%，35%，52%，所以中位数是（31%+32%）2=31.5%；（3）2017 年的观影人次为：13.72（1+31%）17.97（人次） ，预估的理由是：由折线统计图和表格可知，最近 6 年增长率的平均数为 31%，故预估 2016 年的增长率为 31%点拨：（1）根据折线统计图可以得到 2016 年的年增长率；（2）根据平均数与中位数的定义求解；（3）根据条象形统计图和扇形统计图可
27、以解答本题探究型一、解答题1某工厂甲、乙两个部门各有员工 400 人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取 20 名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩 x人数部门40x4950x5960x6970x7980x899
28、0x100甲 0 0 1 11 7 1乙 _ _ _ _ _ _（说明：成绩 80 分及以上为生产技能优秀，7079 分为生产技能良好，14 / 166069 分为生产技能合格，60 分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：部门 平均数 中位数 众数甲 78.3 77.5 75乙 78 80.5 81得出结论：a估计乙部门生产技能优秀的员工人数为_；b可以推断出 _部门员工的生产技能水平较高，理由为_；_（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）答案：见解析解析：填表如下：成绩 x人数部门40x4950x5960x6970x7980x8990x100甲 0
29、0 1 11 7 1乙 1 0 0 7 10 2a. 400=240（人） 故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 240；b答案不唯一，理由合理即可可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；15 / 16乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高点拨：根据收集数据填写表格即可求解；用乙部门优秀员工人数除以 2
30、0 乘以400 即可得出答案，根据情况进行讨论分析，理由合理即可2顺义区某中学举行春季运动会，初二年级决定从本年级 300 名女生中挑选64 人组成花束方队，要求身高基本一致，这个工作交给年级学生会体育部小红、小冬和小芳来完成为了达到年级的选拔要求，小红、小冬和小芳各自对本学校初二年级的女生身高进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表 1、表2 和表 3表 1 小红抽样调查初二年级 4 名女同学身高统计表（单位：cm）序号 1 2 3 4身高 155 160 165 172表 2 小冬抽样调查初二年级 15 名女同学身高统计表（单位：cm）序号1 2 3 4 5 6 7 8
31、 9 10 11 12 13 14 15身高148149150152152160160165166167168169170171175表 3 小芳抽样调查初二年级 15 名女同学身高统计表（单位：cm）序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15身高145160150152160154160166167168160169173174175根据自己的调查数据，小红说应选取身高为 163cm（数据的平均数）的同学参加方队，小冬说应选取身高为 165cm（数据的中位数）的同学参加方队，小芳说应选取身高为 160cm（数据的众数）的同学参加方队根据以上材料回答问题：小红、
32、小冬和小芳三人中，哪一位同学的抽样调查及得出的结论更符合年级的要求，并简要说明符合要求的理由，同时其他两位同学的抽样调查或得出结论的不足之处16 / 16答案：见解析解析：小芳的结论更符合年级的要求小芳的 15 个数据中的众数为 160cm，说明全年级身高为 160cm 的女生最多，估计约有 80 人，因此将挑选标准定在 160cm，便于组成身高整齐的花束方队小红的结论是由数据平均数得出的，但调查的样本容量较少；小冬的结论是由数据中位数得出的，但不能表明 165cm 身高的学生够 64 人点拨：根据众数、中位数和平均数的意义解答可得 （或点击“随堂训练” ，选择“中位数与众数基础型” 、 “中位数与众数能力型” 、 “中位数与众数探究型” ）
