1、第二章习题解答习 题 2-11. 用定义求函数 在 处的导数。2yx1解：（1） ；22()()1()ffxx（2） ；2yx（3） .00limli()xx2. 已知一物体的运动方程为 ，求该物体在 时的瞬时速度。38st()m2()ts解：（1） ；3 23(2)(2)16()stttxt（2） 。016()limt txv3. 求在抛物线 上点 处的切线方程与法线方程。2yx解：因为 ，()12,xy故所求的切线方程为 3()即 20xy所求的法线方程为 1()即 。52xy4. 设 存在，试利用导数的定义求下列极限：0()fx（1） ； （2） ；0)(limxffx00()()lim
2、hfxfh（3） 。0()2x解：（1） ；00000()(li li ()x xfffxffx （2）原式 ；00) 2hh（3）原式 。000()()(3limlim()2x xfffxffx 5.用导数的定义求 在点 处的导数。()ln1)xf0x解： ；00 0()(limimlim1x x xf ffx ；0 0)(l1f 所以 。0lili)li()xxxfff6.试讨论函数 在 处的连续性与可导性。21sin()f0x解：因为 2001lim()lisn()xxf f所以函数 在 处是连续的。又因为200 01()sin10()lili limsnxx xyf x 所以函数 在
3、处是可导的。7.试讨论 在 处的连续性与可导性。21()xf0120,12x解：（1）在 处，因为x00lim()li()(0)xxfff所以函数 在 处是连续的。()f又因为 ；00()(10lixffxx ；02()f所以函数 在 处不可导。（2）在 处，因为1x11lim()3li()3(1)xxfff所以函数 在 处是连续的。()f又因为 ；02()2lixxx；20(1)3()limxfx()ff所以函数 在 处是可导的。x1（3）在 处，因为222lim()6,li()xxff所以函数 在 处是不连续的。()fx又因为 ； ；20)62li4xfx0(2)()lim1xf ()ff
4、所以函数 在 处是不可导的。x2习题 2-21.求下列函数的导数：（1） ； （2） ； （3）3xysinxye；()2()x（4） ； （5） ； （6） 。lny2(5)3xy1tancoxy解：（1） ；（2） ；312lnxsinsxxe（3） ；()()3(1)2yx（4） ；221lnlx（5） ；22(5)3(5)()13xxy（6） 2(1tan)(cot)(1tan)(cot)x 22(si)/sise1cotxxx2.求出曲线 与 轴交点处的切线方程与法线方程。2sinyxy解：因为当 0,又因为 ，2cosyx 02xy所以切线方程为法线方程为 。12yx3.求下列函数
5、的导数：（1） ； （2） ； （3） ；32()23xyelncosyx（4） ； （5） ； （6）tan0xy 1art。2rcsi解：（1） ； （2） ；2313()(yxx236xye（3） ；sintacox（4） ；2tan210(ec)ln10xyx（5） ；222()（6） 。22211xyaax4.设函数 可导，求下列函数的导数：()fx（1） ； （2） ； （3） 。lny()fxye 1(arcsin)yx解：（1） ； （2） ；1()fx () ()fxfxfee（3） 。2 211(arcsin)(arcsin)()yf fxx 5.求分段函数 的导数。t()
6、xfe0x解：因为当 ；20,sc;,xyye又因为 ；0 02tan()11()lim2,()limxxxef f 所以函数在 处是不可导的。所以 。2sec()xf6.设 ，且 可导，求 。2(1fx()f()fx解：设 ， ，t1xt2(1)tte则 ；()2(1)()2t tfte即 。(1)()xxxe2(1)xe7.已知 ，且 ，证明 。2()fa()lnffa证明： 2()l()fxx 。2 2() ()1ln()lnfx fxafa 习题 2-31 求下列函数的二阶导数。（1） ； （2） ； （3） ；2xye2ln(1)yxsintye（4） ； （5） ； （6） 。ar
7、cos2lx解：（1） ； （2） ；,4xxyey 22(1),1xy（3） ；(cosin),cost tte（4） ；321,2(1)4(1)xy yxx （5） ；2236,(1)()y（6） 2ln1,l()xyx2设 ，求 。10()5)fx()f解： ， ，9 82501)x， 。7()0(1)fx()9f3. 验证函数 满足关系式 。sinxye20y解：因为 ， ，(co)cosxe将上两式代入关系式 得到 。2yy4. 求下列函数所指定阶的导数。（1） ，求lnyx(4)解： 。(4)231,yx（2） 为自然数） ，求nyx()n解： 。12(),!y（3） ，求yaxb
8、()ny解： 。223() 1!(),(),()nnnaaxbyxb习题 2-41.求下列方程所确定的隐函数 的导数 ：ydx（1） ； （2） ； （3）260yxcos()0y；sin()cosx（4） ； （5） 。xey2lnarctnxyx解：（1）对原式左右两边同时对 求导数，得到： 2240yxy解出 得： 。y2xy（2）对原式左右两边同时对 求导数，得到：sin()0yx解出 得： 。ysin()yx（3）对原式左右两边同时对 求导数，得到xcos()1cosin0yyx解出 得 ： y i()x（4）对原式左右两边同时对 求导数，得到 0xey解出 得： 。yxey（5）对
9、原式左右两边同时对 求导数，得到22211()yxxyxy 解出 得： 。xy2. 求下列方程所确定的隐函数 的导数 ：2dyx（1） ； （2） 。1yxe21x解：（1）对方程左右两边同时对 求导数，得到： ，0yex即： 1yex对上式左右两边同时再对 求导数，得到x。2()()yyyeex 23()1yye（2） 对方程左右两边同时对 求导数，得到： ，20x即： 。xy对上式左右两边同时再对 求导数，得到x.2331xyy3.设函数 由方程 确定，求 ，并求曲线上横坐()yx350xye(0)y标 点处的切线方程与法线方程。0x解：当 时， ，对方程左右两边同时对 求导数，得：1x2
10、()350xyey即 ， 。25xy0x曲线在处的切线方程为： ，即1210xy法线方程为： 。102xy4. 用对数求导法则求下列函数的导数。（1） ； （2） ； （3）tan()xy342(5)1xy。sinxyxe解：（1）对方程两边同时取对数： lntal()yx对上式左右两边同时对 求导数： ，x211seclntax。tan2tan(1)secl()xy2）对方程两边同时取对数： 21ll(3)ln(5)l(1)4yxx对上式左右两边同时对 求导数： ，x 2() 。342 2(5)134()51xxyx3）对方程两边同时取对数： lnlnsil(1)2xye对上式左右两边同时对
11、 求导数： xco(ixx。1cossin)2in4(1x xeyxe5.求下列参数方程所确定的函数的导数 。dyx（1） ； （2） ； （3）23xty3te。2arcsinl()xty解：（1） ；（2） ；32()94dyttx2()13ttdyex（3） 。2ln(1)arcsittd6.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 。2dyx（1） ； （2） 。sincotxey2sinty解：（1） ，()sisincotdtxe；2 223cosi()(sic)(sin)ninot tdy txee3(sico)tet（2） ，2(i)1dyttx。223cos()incos14ty
12、tdx习题 2-51. 已知 ，计算在 处当 分别等于 时的 及 。2yxx,0.1yd解：当 时，有1x200()(3)()936yff；51dx当 时，有0.20()(3.1)(0.)6.yfxfx；()50.1dyfx当 时，有0.1x 20(3.)(0.1)6.501f。().yfx2.求下列函数的微分：（1） ； （2） ； （3） ；2yxcos2yx3ln1yx（4） （5） ； （6） 。2()xe 2arin(1)arct解：（1） ； （2） ；31dydxcosin)dyxdx（3） ；2333()(1)1x（4） ；22(xdyeed（5） ； （6） .24x 221
13、()xdy3. 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1） ； （2） ； （3） (d)3xd(d)sinx(d；2)xe（4） ； （5） ； （6） (d1)dx(d1)3dx(d。2)secx解：（1） ； （2） ； （3）23()dxcos()inxd；2()xde（4） ； （5） ； （6）1()dx 1ln(3)dxdx.2(tan)secdx4.求方程 所确定的函数 的微分 。o()0y()yxdy解：对方程左右两边同时对求导数，得： ，sin()0yxy即 ， 。sin()yxsin()ddx5.有一圆锥，高为 15 ，底半径由 10 减少为 9.9 ，问圆锥的体积大
14、cmcmc约减少了多少？解：因为 ，213vrh3vr所以 。2002().1450.134df cm6.当 较小时，证明下列近似公式：x（1） ； （2） ； （3） 。1nxsinx1xe证明：因为 00()()ff当 ， 很小时，有 。0x()xfx（1） 设 ，则有 ，()1nf1(1)()nn代入上式得到： ；nx（2） 设 ，则有 ，()sifx(si)cosx代入上式得到 n0x（3） 设 ，则有()xfe()xe代入上式得到： 。01x7.计算下列各式的近似值：（1） ； （2） ； （3）cos603 39.5.arin52解：（1）设 ，则()cosfx()sinfx取 0
15、6,30x则有 。01coscsin6.4928（2）设 ，则 ， 取13()fx231()fx01,0.5x则有 39.50.59.8(3)设 ，则 ，取 ，()arcsinfx21()fx0.5,.02x则有 。2ri0.52ri3847105第三章习题解答习题 3-11. 验证函数 ()4fx在区间 0,4上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点 。解：显然函数 ()4fx在区间 0,4上连续，在 (0,4)上可导，且有(0)4f所以函数在区间 0,上满足罗尔定理，则有()402f，83。2. 验证函数 3()1fx在区间 ,2上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的 。解
16、：函数 3()1fx在区间 ,2上连续，在 (1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则有2()f，即73。3. 函数 4()1fx与 2()gx在区间 1,上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值 。解：函数 4()1fx与 2()gx在区间上连续，在区间 (1,2)上可导，则满足柯西中值定理，则有34()f，即52。4. 若 4 次方程43201340axxa有 4 个不同的实根，证明320134ax的所有根皆为实根。证明：设4320134()faxxa， ()0fx的四个实根分别为1234,x，且 234，则函数 在 1,(,23)i上满足罗尔定理的条件，则在 1(,
17、)ix内至少存在一点 i，使得 )if。这说明方程32030aax至少有 3 个实根，而方程为 3 次方，则最多也只有 3 个实根，所以结论得到证明。5. 设 ()fx在 ,1上连续，在 (,1)内可导，且 (1)0f，证明：存在0,，使得 ()()ff。解：构造辅助函数 Fxf，而 ()Fxf满足罗尔定理的条件，所以有在 (0,1)，至少存在一点 ， ()()0ff即()()ff。6. 试用拉格朗日中值定理证明：（1） 2121sinixx；（2）当 0时，ln()x。解：（1）设 ()sifx，则 f在区间 12(,)上满足拉格朗日中值定理，则有 1212sinicos,(,)xx，又因为
18、 cos，则12sinix，1212iix。（2）设 ()ln1)fx，则 ()fx在区间 (0,)x上满足拉格朗日中值定理，则有ln(1(0,)，又因为1，则1ln()1x，即l()xx。7. 证明等式：arctnrot2x。证明：设 ()ttfx，则有 ()arctnrot)0fxx ，所以 ()fc，代入 0，得到arctnot2。8.设 x在 1,2上具有二阶导数 ()fx，且 ()10f。若()()Ff。证明：至少存在一点 ,，使得 ()F。证明：因为 (2)0F，在 12上应用罗尔定理，有 1)0，又因为 (1)0，所以在 1,上应用罗尔定理，有 ()0， ,2。9.设 fx在 ,
19、ab上连续，在 ()ab内可导，证明：在 ,ab内存在点 和 ，使得()()2ff。证明：构造辅助函数 gx， fx与 ()g在 ,ab内满足柯西中值定理，即有 2()()()fbaffbag， (,)而 ()fx在 ,内满足拉格朗日中值定理，所以 ()()fbafba，即()2abff。习题 3-21. 用洛必达法则求下列极限：（1） 0sinlmxab； （2） 30sinlimx； （3）321lim1xx；（4） 2tanlim3x； （5）2(ln)imx； （6） 2ln()imtax；（7）210lixxe； (8) 0licotx; （9） 2li(sect)xx；（10） 1
20、lim()lnxx； （11）tan0limxx； （12）1limx；（13）10li(si)xx; (14) 1lix解：（1） （ 型） ； 000in(si)coslllisxxxaabb；（2） （ 型） ； 3320000i(in)1sin1limlliml36xxxx；（3） （ 型） ；332221111()363limlilimli2xx xx；（4） （型） ； 2222tanscocssinlilililm3inxxxx ；（5） （ 型） ；1l(l)(l)limii4i02xxxx；（6） （ 型） ；222ln()(ln)cosiilim0tataxxx ；（7）
21、（ 0型） ；222 111 3000()limlilixxxx ee；（8） （ 0型） ； 00limcotli1tanxx；（9） （ 型） ；2222sisincosli(sectan)lilml0cocoixxxx；（10） （ 型） ；111l()llim()iilnnxxx11llliim2xx；（11） （ 0型） ；2tan0000lnsinlimlitanlimltan 0cot0li 1xx xxxeee；（12） （ 0型） ；11ln1ililin 0lixxxx ；（13） （ 1型） ；11ln(1si)cos1in00001limn(si)limn(si)iml
22、0li(si) xxxxx xxeeee；（14） （ 1型） ；1lnl111liniili xx xxx。2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。（1）20sinlmx； （2）sinlimx。解：（1）用洛必达法则求： 2 200 011sisicos()1ll li(snco)nxx xxx，求不出用一般的方法：20000inlmlilmlisssisxxxx；（2）用洛必达法则求： sin1colilli(1co)xxx， 求不出用一般的方法：sinsinliml(1)01xx。3.设 ()f在 0处二阶可导，且 ()f，试确定 a的值使 ()gx在 0处可导，并求 g，其中(
23、)fxa0解：因为函数 ()fx在 0处二阶可导，则函数在 0x处一定连续，即有0lim()xf，又因为函数 gx在 处可导，所以函数在 x处也一定连续，即有0000()()li(),limlilim()1xxxxffgfa根据导数的定义以及洛必达法则，有2000()() ()()lililixxxfafx()22faff。习题 3-31. 按 (4)x的幂展开多项式 43()54fxx。解：记 325px，则 ()0,().np而43244()4() 6,1()57,0)6,2xxpp 3443262()21(4)()!)7)15x xxx。2. 求函数 ()f按 (4)的幂展开的带有拉格朗
24、日余项的三阶泰勒公式。解： (4)2f， 41()2xf，32411()xf，5 7()24 4335,866x xf f ，4237211()2()()()8x （ 01）3. 求函数()fx按 ()的幂展开的带有拉格朗日余项的 n阶泰勒公式。解：()1)4nnfx， ()()01()!nnnfxf，()0!nf，21()1()nxx 112()(nnx（ 01） 。4. 求函数 fe的带有佩亚诺型余项的 阶麦克劳林公式。解： (0)f，而()1()0)nxnxnxCee，()nf， (),!nfaN；32()!(1!nx nxeox。5. 验证当0时，按公式236xxe计算 xe的近似值时
25、，所产生的误差小于 .1，并求 的近似值，使误差小于 0.1。解：因为 3(),04!xeR，当102X时，余项误差43 13()().8226xx，又近似仅三项，每项取精确到 0.001 进行计算，三项的舍入误差为30.51.05，所以用 xe的三阶迈克劳林多项式计算的近似值，总误差为 38.10.95.1R。6. 利用泰勒公式求下列极限：（1）3243lim()xx； （2）201lim(cos)inxxe解：（1）3243342li()li(1x x21li()xoo3m)0x。(2) 201li(cos)inxxe2240 21()1()!lim()sinx xoox= 402218l
26、i3()sinxx习题 3-41. 讨论函数 ()if在 0,上的单调性。解：因为 1cos,2fxx所以函数 ()在 0,2上是单调递增的。2. 求下列函数的单调区间：（1） 32913yxx； （2）32yx； （3）3；（4） 2ln()yx； （5） 2xye； （6）23(1)yx.解：（1）原函数的定义域为 (,)又因为 2()6186120fxxx，得 1,2x在 ,内， 0，所以函数在 (,上单调递增。在 (12)内， ()fx，所以函数在 上单调递减。在 ,内， ，所以函数在 2,)上单调递增。（2）原函数的定义域为 (,又因为13()0fx，得 1x，且在 0x处函数不可导
27、。在 ,0内， ，所以函数在 (,上单调增加。在 (1)内， ()fx，所以函数在 上单调减少。在 ,内， 0，所以函数在 1,)上单调增加。（3）原函数的定义域为 (,)又因为 2()310fxx，得 ,1x在 ,1内， 0f，所以函数在 (,上单调增加；在 ()内， ()x，所以函数在 上单调减少；在 ,内， f，所以函数在 1,)上单调增加。（4）原函数的定义域为 (,；又因为 2()0fx，得 13x（舍去） ， 13x；在 1,3内， ()fx，所以函数在 (,上是单调递减的；在 ()内， ，所以函数在 )上是单调递增的。（5）原函数的定义域为 (,)又因为 2()1)0xfxe，得
28、 1,0x在 (,1)内， ()0fx，所以函数在 (,1上是单调递增的；在 0内， ，所以函数在 0上是单调递减的；在 (,)内， ()fx，所以函数在 ,)上是单调递增的。（6）原函数的定义域为 (又因为 2()1()510fxx，得1,5xx在,5内， ()0f，所以函数在(,上是单调递增的。在1(,)内， ()fx，所以函数在1,5上是单调递减的。在 ,内， 0，所以函数在 ,)上是单调递增。3. 证明下列不等式：（1）当 x时，21ln()x； （2）当 1x时，23；（3）当02x时，31tanx； （4）当 时， 221l()x。证明：（1）构造辅助函数21ln()fx，因为当
29、0x时，21()01fxx ，所以函数在 ,上单调递增，即当 时，有 ()0fx，即21ln()0x。也即2ln(1)x。（2）构造辅助函数()2(3)fxx，因为当 1x时， 21()(1)0fxx，所以函数在 ,上单调递增，即当 时，有 ()10fx，即()2(3)0fxx。也即123x。（3） 证明：令3()tanf，则 (0)f，而 222()sec1t(tantfxxxx，当0,tan0，再记 ()tg，有 (0)g又 22()sec1t,()gxx单调增加，所以,(0),2xx从而 ()0f， ()f单调增加，故(0),2fx。（4）证明：令 221ln(1x，则 ()0f，而22
30、22()ln)xxfx x 2ln(1)x，当 0时， (l1)0f， (f单调增加。故 (),0fxx，即 22ln1)xx。4证明方程 5在区间 (,内有且只有一个实根。证明：令 ()1fx，因为 )fx在闭区间 ,0上连续，且(10,f。根据零点定理， ()fx在内有一零点，另一方面，对于任意实数 x，有 4()50fx，所以 在 ,)内单调增加，因此，曲线 ()yf与 轴有且只有一个实根。5. 求下列函数的的凹凸区间以及拐点：（1） 431x； （2） 349yx； （3） xye；（4） ln(1)yx； （5） 21xy； （6） arctnxye.解：（1）函数的定义域为 (,)
31、又因为32221,364()03yxyxx，得到2,3x在 (,0)内， ，所以函数在此区间上是凹的，在2,3内， y，所以函数在此区间上是凸的。在(,)内， 0所以函数在此区间上是凹的。且点 (0,1)和点2(,)37是曲线的拐点。（2）函数的定义域为 (,)。因为2533,(9)(9)yyxx，易见函数在 9x处不可导。当 x时， 0，曲线是凸的；当 时， 0y曲线是凹的。点 (9,4)为曲线的拐点。（3）函数的定义域为 (,)。因为 ,20xxyeye，得 2x。当 2时， 0，曲线是凸的；当 时， 0y曲线是凹的。点(,)e为曲线的拐点。（4）函数的定义域为 (1,)。因为 21,0(
32、)yyxx。所以当 时， 曲线是凹的。（5）函数的定义域为 (,)又因为223(1)4(),01xxyy，得到 3,03xx在 (,3)内， 0，所以函数在此区间上是凸的在 0内， y，所以函数在此区间上是凹的，在 (,)内， ，所以函数在此区间上是凸的。在 3内， 0y所以函数在此区间上是凹的。且点3(,),(,)22是曲线的拐点。（6）函数的定义域为 (,。因为arctnarctn221), 01(xxeeyy，得12x。当x时， 0，曲线是凸的；当时， 0y曲线是凹的。点1arctn2(,)e为曲线的拐点。6. 利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：（1）()()22nnxy(0,1)x
33、yxn；（2）coss,(,2。证明：（1）作辅助函数 (),0)nft当 n时， 12(),1nnft t，所以 ()ft在 0,)内是凹的。由凹性定义 ,(0,)xyxy，有()nnxy。（2）作辅助函数(1cos,(,)2fx，因为 ()sin,()s0fxfx，所以 ()f在,)内是凸的。由凸性定义,(,)2xyxy，有coss2xyy。7. 问 a及 b为何值时，点 (1,为曲线 3lnabx的拐点？解：因为点 (1,)在曲线 3lnyaxb上，所以有 1。又因为223,6yax且点 (1,)是曲线的拐点，所以有 0ab即得 6b。8. 试确定曲线 32yxcd中的 、 、 c、 d
34、，使得在 2x处曲线有水平切线， (1,0)为拐点，且点 (2,4)在曲线上。解：因为曲线在处曲线由水平切线，即222(3)0x xyabc得： 1240abc （1）又因为 (,)为拐点，所以有 22(6)xx ，得： 6 （2）且321()0xaxbcd得： （3）点 (,4)在曲线上，所以有322()4xabxcd。得： 824abcd （4）联立方程（1） （2） （3） （4）得到：1,2,16。习题 3-51 求下列函数的极值：（1） 3240yxx； （2）23(4)1yx； （3） 2xye；（4） ln(1)； （5） tan； （6）13yx。解：（1）函数在 (,)内连续
35、，且 23643()20yxx，得4,2x，又因为 6yx， 42180,180xxyy，所以极大值 (4)60f，极小值 (2)8f。（2）函数在 (,)内连续，且 35()01xf，得 1x，在点1x不可导。在 (,)内， ()0fx；在 (1,)内， ()0fx。所以 x是一个极大值点；在 内， ，所以点 是一个极小值点。极大值为 (1)f，极小值为 3()4f。(3) 函数在 ,内连续，且 (2)0xe，得0,2x，又因为 2()xfe，当 ， ()fx，所以函数在这些点处取得极小值，极小值 (0)f；当 x， ()0fx，所以函数在这些点处取得极大值，极大值 2()4fe。（4）函数
36、在 (1,)内连续，且1()0fx，得 x，因为 2，所以函数没有极值点。（5）函数的定义域为,()2xRk，且 2()sec10fx，得2,(1)xk。又因为函数在这些点的左右两边都有 ()0fx，所以函数没有极值点。（6）函数在 (,0)(,)内连续，且431fx，因为 ()0fx，所以函数没有极值点。2. 求下列函数的最值：（1） 32618yxx， 2,4； （2）2133()yx，0,2x。解：（1）函数在 2,4上连续且可导，且 2()6186(3)10fxxx，得 1,3x。因为 7,(),(4)29fff所以在 x有最大值 2，在 x处有最小值 ()4f。（2）函数在 0,2上
37、连续，且2431()0xf，得12x，且在0,1x点处不可导。又因为33(),()4,(1),2)42ffff所以最大值为31()f，最小值为 3()f。3.试问 a为何值时，函数 ()xfae在 0处取得极值？它是极大值还是极值？并求此极值。解：因为 ()0xfae，得21xea，将 0代入得 1a，又因为 ，且 ()f，所以函数在这点取得极小值，为 (0)2f。4. 一正方形铁皮，边长为厘米，从它的四角截去四个相等的小正方形，剩下的部分做成一个无盖的盒子，问被截去的小正方形的边长为多少厘米时，才能使盒子的容积最大？解：设截下的小正方形边长为 x厘米，则盒子的容积为2(),(0)aVxa因为
38、 ()6x，得,(0,)62ax（舍去）又因为 8(3)Va，且()4V，所以 6时，体积有极大值()6aV，而除此之外之内，体积没有其他的极值，所以()6aV是最大值，当 6ax厘米时，盒子的最大体积为32()67aV（立方厘米） 。5. 某水厂要造一个容积为 V 的圆柱形带盖储水池，问如何确定底半径 r 和高 h，使得所用的材料最省？解：由圆柱体积及全表面积公式，得所需材料面积为 2Arh，又因为 2rhV，则2VAr， (0)r下面求此函数的最小值:令 24r，得32V又因为 340Ar，所以函数在此点取得唯一的极值也为最小值，由2rhV，得32，所以当圆柱体等于其底直径时，所用材料最省
39、。6. 某房地产公司有 50 套公寓要出租，当租金为每月 180 元时，公寓可全部出租出去，当每月租金每增加 10 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花20 元的维修费用。试问房租定为多少可获得最大收入？解：设房租为每月元，则租出去的房子为1805()x套，每月的总收入为180()20)(5)(2)6xRx由 7,解方程 ()0x，得唯一驻点 350x。所以每月每套租金为 350元时收入最大。最大收入为 35189R。习题 3-61. 求下列函数的渐进线：（1）21xy； （2）1xye； （3） ln(1)yx。解：（1）由211lim,lixx可知 是曲线的铅垂渐近线。由()
40、lilixxfa，lim()li1xxbfa可知 1y是曲线的斜渐近线。（2）由 lim0xe，可知 1y是曲线的水平渐近线。由10lix，可知 x是曲线的铅直渐近线。无斜渐近线。（3）因为 1lin()x，可知 1x是曲线的铅直渐近线。曲线无水平与斜渐近线。2. 作出下列函数的图形：（1） 24()xy； （2）2xye。解：（1）函数的定义域为 (,0)(,)，函数非奇非偶。而344(1)83),xxff令 0，得驻点 2；令 ()f，得 3x。分区间讨论： (,)(,0得到单调增区间 ，单调递减区间 (,)(,20,)凹 (3,2)0,(,)区间，凸 3区间，拐点 3，极值点 2x。渐近线水平渐近线 2y，铅直渐进线 0x，描点(13,0)(,)(1,6)(1，可得到以下的图形：（2）函数的定义域为 (,)，函数为偶函数。所以只讨论 0,)上的图形。而 2211(),()()xxfefe令 0f，得驻点 0；令 0f，得 1x。这里只考虑 1x分区间讨论： (,1) 得到单调递减区间 凹 (1,)区间，凸 (0,1)区间，拐点12(,)e，极值点 0x。渐近线水平渐近线0y，描点2,e，最后利用函数的对称性作出函数在 (,上的图形，见下图：
