1、数学奥林匹克高中训练题(190)第一试1、填空题（每小题 8分，共 64分）1. 已知函数 的图像与函数 的图像恰有两个交点.则实数 的取值范21xy2ykxk围是.2. 在三棱柱 中，底面边长和侧棱长均相等， .则异1ABC 0116BAC面直线 与 所成的角为.13. 已知椭圆 与抛物线 有公共点.则 的取值范是.224()xya2xya4. 如图 1，在边长为 2的正六边形 中，动圆 的半径为 1，圆心在线段ABCDEFQA（含 端点）上运动， 为 上及内部的动点，设向量 .则CDPQ()PmBnAFR、的取值范围是.mn5. 计算： .102knk6. 设 是空间中体积为 1的一个四面
2、体的四个1234(,3)(,4)(,5)(,13)PPk顶点.则 .k7. 已知数列 满足 .则 .na20186, (0,)5nnnaaN10a8. 将正方体 的八个顶点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的两个1ABCD端点颜色不相同，一共有种染法.二、解答题（共 56分）9.（16 分）在 中，若 ，证明： .ABCcos2iniBA09AB10.（20 分）已知双曲线 上有一点 ，点 关于原点的对称点为 ，以1yx1,(0)AaAB长为半径作 与双曲线交于 三点.证明： 为正三角形.ABAPQR、 、 PQR11.（20 分）已知 ，且 .证明： .abcR、 、 223abc1132abc加 试一、 （40 分）如图 2，在 中， ， 为边 的中点， ，ABC09MACTAC的延长线与 交于点 ，联结 .证明： .TMDTBTD二、 （40 分）求方程 的全部正整数解 .!yx(,)xy三、 （50 分）已知 为给定的不小于 2的正整数.对于所有的非负数组 ，求n (1,2)ian的最大值.112niiiia四、(50 分)有座城市，任意两座城市之间可以建设单向的航线.问：是否可以找到一种构建航线的方法，使得从一座城市至多转机一次就可以到达另外任何一座城市？
