1、范文.范例.参考WORD 格式整理版 2018 年 8 月 4 日初中数学试卷一、综合题（共 9 题；共 135 分）1.如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 M（2，4），与 x 轴交于 A、B 两点，且 A（6，0），与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的函数解析式； （2）求ABC 的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点 P，使APC 的面积最大？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 2.（2017乌鲁木齐）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与直线 y=x+1 相交于 A（1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点 C（5，0）（1）求抛物线的解
2、析式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点（不与点 A、点 B 重合），过点 P 作直线 PDx 轴于点 D，交直线 AB 于点 E当 PE=2ED 时，求 P 点坐标；是否存在点 P 使BEC 为等腰三角形？若存在请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 范文.范例.参考WORD 格式整理版 3.（2017赤峰）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0），顶点 C 的坐标为（1，4）（1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛
3、物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为 2 ？若存在求出点 Q 的坐标；若不存2在请说明理由 4.（2017广元）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（3，0），B（2，3），C（0，3），其顶点为 D（1）求抛物线的解析式； （2）设点 M（1，m），当 MB+MD 的值最小时，求 m 的值； （3）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值； （4）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 N，E 为直线 AC 上任意一点，过点 E 作 EF
4、ND 交抛物线于点 F，以N，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由 5.（2017巴中）如图，已知两直线 l1 ， l 2分别经过点 A（1，0），点 B（3，0），且两条直线相交于 y 轴的正半轴上的点 C，当点 C 的坐标为（0， ）时，恰好有 l1l 2 ， 经过点 A，B，C 的抛物线的对称轴与3l1、l 2、x 轴分别交于点 G、E、F，D 为抛物线的顶点（1）求抛物线的函数解析式； 范文.范例.参考WORD 格式整理版 （2）试说明 DG 与 DE 的数量关系？并说明理由； （3）若直线 l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为
5、 M，当MCG 为等腰三角形时，请直接写出点 M 的坐标 6.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，且抛物线经过 A（1，0），C（0，3）两点，与x 轴交于点 B（1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 7.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A（1，0），B（3，0），与 y 轴
6、交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式； （2）连接 BC，点 P 为抛物线上第一象限内一动点，当BCP 面积最大时，求点 P 的坐标； （3）设点 D 是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B，C，D，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 8.（2017临沂）如图，抛物线 y=ax2+bx3 经过点 A（2，3），与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且OC=3OB（1）求抛物线的解析式； （2）点 D 在 y 轴上，且BDO=BAC，求点 D 的坐标； 范文.范例.参考WORD 格式整理版 （3）点 M 在抛物
7、线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 范文.范例.参考WORD 格式整理版 答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：设此函数的解析式为 y=a（x+h） 2+k，函数图象顶点为 M（2，4），y=a（x+2） 24，又函数图象经过点 A（6，0），0=a（6+2） 24解得 a= ，14此函数的解析式为 y= （x+2） 24，即 y= x2+x3；14 14（2）解：点 C 是函数 y= x2+x3 的图象与 y 轴的交点，14点 C 的坐标是（0，3），又当 y=0 时
8、，有 y= x2+x3=0，14解得 x1=6，x 2=2，点 B 的坐标是（2，0），则 SABC = |AB|OC|= 83=12；12 12（3）解：假设存在这样的点，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 AC 于点 F设 E（x，0），则 P（x， x2+x3），14设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，直线 AC 过点 A（6，0），C（0，3）， ，解得 ，-6k+b=0-3=b k=-12b=-3直线 AC 的解析式为 y= x3，12点 F 的坐标为 F（x， x3），12则|PF|= x3（ x2+x3）= x2 x，12 14 14 32S APC =SAPF +SCPF
9、= |PF|AE|+ |PF|OE|12 12范文.范例.参考WORD 格式整理版 = |PF|OA|= （ x2 x）6= x2 x= （x+3） 2+ ，12 12 14 32 34 92 34 274当 x=3 时，S APC 有最大值 ，274此时点 P 的坐标是 P（3， ） 154【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得 a、b、c 的值，即可解题；（2）易求得点 B、C 的坐标，即可求得 OC 的长，即可求得ABC 的面积，即可解题；（3）作 PEx 轴于点 E，交 AC 于点 F，可将APC 的面积转化为AFP 和CFP 的面积之和，而这两个三角形
10、有共同的底 PF，这一个底上的高的和又恰好是 A、C 两点间的距离，因此若设设 E（x，0），则可用 x 来表示APC 的面积，得到关于 x 的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题2.【答案】（1）解：点 B（4，m）在直线 y=x+1 上，m=4+1=5，B（4，5），把 A、B、C 三点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，a-b+c=016a+4b+c=525a+5b+c=0 a=-1b=4c=5抛物线解析式为 y=x 2+4x+5（2）解：设 P（x，x 2+4x+5），则 E（x，x+1），D（x，0），则 PE=|x 2+4x+5（x+1）|=|x 2+3x+4|，DE=|x
11、+1|，PE=2ED，|x 2+3x+4|=2|x+1|，当x 2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=1 或 x=2，但当 x=1 时，P 与 A 重合不合题意，舍去，P（2，9）；当x 2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=1 或 x=6，但当 x=1 时，P 与 A 重合不合题意，舍去，P（6，7）；综上可知 P 点坐标为（2，9）或（6，7）；设 P（x，x 2+4x+5），则 E（x，x+1），且 B（4，5），C（5，0），BE= = |x4|，CE= = ，BC= (x-4)2+(x+1-5)2 2 (x-5)2+(x+1)2 2x2-8x+26= ，(4-5)2+(5-0)2
12、 26当BEC 为等腰三角形时，则有 BE=CE、BE=BC 或 CE=BC 三种情况，当 BE=CE 时，则 |x4|= ，解得 x= ，此时 P 点坐标为（ ， ）；2 2x2-8x+2634 34 11916当 BE=BC 时，则 |x4|= ，解得 x=4+ 或 x=4 ，此时 P 点坐标为（4+ ，4 2 26 13 13 13 138）或（4 ，4 8）；13 13当 CE=BC 时，则 = ，解得 x=0 或 x=4，当 x=4 时 E 点与 B 点重合，不合题意，舍去，此时2x2-8x+26 26P 点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（ ， ）或（4+
13、，4 8）或（4 ，4 34 11916 13 13 13 138）或（0，5） 【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 范文.范例.参考WORD 格式整理版 【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得 B 点坐标，由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出 P 点坐标，则可表示出 E、D 的坐标，从而可表示出 PE 和 ED 的长，由条件可知到关于 P 点坐标的方程，则可求得 P 点坐标；由 E、B、C 三点坐标可表示出 BE、CE 和 BC 的长，由等腰三角形的性质可得到关于 E 点坐标的方程，可求得 E 点坐标，则可求得 P 点坐标3.【答案】
14、（1）解：抛物线的顶点 C 的坐标为（1，4），可设抛物线解析式为 y=a（x1） 2+4，点 B（3，0）在该抛物线的图象上，0=a（31） 2+4，解得 a=1，抛物线解析式为 y=（x1） 2+4，即 y=x 2+2x+3，点 D 在 y 轴上，令 x=0 可得 y=3，D 点坐标为（0，3），可设直线 BD 解析式为 y=kx+3，把 B 点坐标代入可得 3k+3=0，解得 k=1，直线 BD 解析式为 y=x+3（2）解：设 P 点横坐标为 m（m0），则 P（m，m+3），M（m，m 2+2m+3），PM=m 2+2m+3（m+3）=m 2+3m=（m ） 2+ ，32 94当 m
15、= 时，PM 有最大值 32 94（3）解：如图，过 Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作 QHBD 于 H，设 Q（x，x 2+2x+3），则 G（x，x+3），QG=|x 2+2x+3（x+3）|=|x 2+3x|，BOD 是等腰直角三角形，DBO=45，HGQ=BGE=45，当BDQ 中 BD 边上的高为 2 时，即 QH=HG=2 ，2 2QG= 2 =4，2 2|x 2+3x|=4，当x 2+3x=4 时，=9160，方程无实数根，当x 2+3x=4 时，解得 x=1 或 x=4，Q（1，0）或（4，5），综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（1，0）或（4
16、，5） 【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 范文.范例.参考WORD 格式整理版 【解析】【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由 B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得 D 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BD 解析式；（2）设出 P 点坐标，从而可表示出 PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过 Q 作 QGy 轴，交 BD 于点 G，过 Q 和 QHBD 于 H，可设出 Q 点坐标，表示出 QG 的长度，由条件可证得DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于 Q 点坐标的方程，可求得 Q 点坐标4.【答案】（1）解：将 A，B，C 点的坐标代入解析式，
17、得，9a-3b+c=04a-2b+c=3c=3解得 ，a=-1b=-2c=3抛物线的解析式为 y=x 22x+3（2）解：配方，得 y=（x+1） 2+4，顶点 D 的坐标为（1，4）作 B 点关于直线 x=1 的对称点 B，如图 1，则 B（4，3），由（1）得 D（1，4），可求出直线 DB的函数关系式为 y= x+ ，15 195当 M（1，m）在直线 DN上时，MN+MD 的值最小，则 m= 1+ = 15 195 185（3）解：作 PEx 轴交 AC 于 E 点，如图 2，AC 的解析式为 y=x+3，设 P（m，m 22m+3），E（m，m+3），PE=m 22m+3（m+3）=
18、m 23mSAPC = PE|xA|= （m 23m）3= （m+ ） 2+ ，12 12 32 32 278范文.范例.参考WORD 格式整理版 当 m= 时，APC 的面积的最大值是 32 278（4）解：由（1）、（2）得 D（1，4），N（1，2）点 E 在直线 AC 上，设 E（x，x+3），当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方，则 F（x，x 22x+3），EF=DNx 22x+3（x+3）=42=2，解得，x=2 或 x=1（舍去），则点 E 的坐标为：（2，1）当点 E 在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，则 F（x，x 22x+3），E
19、F=DN，（x+3）（x 22x+3）=2，解得 x= 或 x= ，-3+ 172 -3- 172即点 E 的坐标为：（ ， ）或（ ， ）-3+ 172 3+ 172 -3- 172 3- 172综上可得满足条件的点 E 为 E（2，1）或：（ ， ）或（ ， ） -3+ 172 3+ 172 -3- 172 3- 172【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案.（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到 B 点关于直线 x=1 的对称点 B，连接 BD，BD 与直线 x=1 的交点即是
20、点 M 的位置，继而求出 m 的值.（3）根据平行于 y 轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得 PE 的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.（4）设出点 E 的坐标，分情况讨论；当点 E 再线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方；当点 E 再线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方，根据平行四边形的性质，可得关于 x 的方程，继而求出点 E 的坐标.5.【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c点 A（1，0），点 B（3，0），点 C（0， ）在抛物线上，3 ，解得 ，a+b+c=09a-3b+c=0c=
21、 3 a=- 33b=-233c= 3抛物线的函数解析式为 y= x2 x+ 33 233 3（2）解：DG=DE理由如下：范文.范例.参考WORD 格式整理版 设直线 l1的解析式为 y=k1x+b1 ， 将 A（1，0），C（0， ）代入，解得 y= x+ ；3 3 3设直线 l2的解析式为 y=k2x+b2 ， 将 B（3，0），C（0， ）代入，解得 y= x+ ；333 3抛物线与 x 轴的交点为 A（1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为直线 x=1，又点 G、D、E 均在对称轴上，G（1，2 ），D（1， ），E（1， ），3433 233DG=2 = ，DE= = ，3433
22、 233 433 233 233DG=DE；（3）解：若直线 l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，当MCG 为等腰三角形时，分三种情况：以 G 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点 M1、C，点 M1与 C 关于抛物线的对称轴对称，则 M1的坐标为（2， ）；3以 C 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点 M2、M 3 ， 点 M2与点 A 重合，点 A、C、G 在一条直线上，不能构成三角形，M 3与 M1重合；作线段 GC 的垂直平分线，交抛物线于点 M4、M 5 ， 点 M4与点 D 重合，点 D 的坐标为（1， ），M 5与 M1433重合；综上所述，满足条件的点 M 只有
23、两个，其坐标分别为（2， ），（1， ） 3433【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c分别将 A（1，0），B（3，0），C（0， ）3三点坐标代入得到一个三元一次方程组，解之即可得到抛物线解析式.（2）DG=DE分别求出过 A（1，0），C（0， 3 ）两点的直线 l1的解析式为 y= x+ ；过 B（3，0），3 3C（0， 3 ）两点的直线 l2的解析式为 y= x+ ；由二次函数的性质和已知条件求出 DG 和 DE 的长度即可.33
24、 3（3）若直线 l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，当MCG 为等腰三角形时，分三种情况：以 G 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点 M1（2， ）；以 C 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点3M2、M 3 ， ；作线段 GC 的垂直平分线，交抛物线于点 M4、M 5.6.【答案】（1）解：依题意得： ， -b2a=-1a+b+c=0c=3解之得： a=-1b=-2c=3抛物线解析式为 y=-x2-2x+3对称轴为 x=-1，且抛物线经过 A（1，0），把 B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线 y=mx+n，得 ，-3m+n=0n=3 解之得： ，m=1n=3范文.范例
25、.参考WORD 格式整理版 直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3（2）解：设直线 BC 与对称轴 x=-1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小把 x=-1 代入直线 y=x+3 得，y=2，M（-1，2），即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为（-1，2）（3）解：如图：设 P（-1，t），又B（-3，0），C（0，3），BC 2=18，PB 2=（-1+3） 2+t2=4+t2 ， PC2=（-1） 2+（t-3） 2=t2-6t+10，若点 B 为直角顶点，则 BC2+PB2=PC2即：18+4+t 2=t2-6t+10 解之得：t=-2；若点
26、 C 为直角顶点，则 BC2+PC2=PB2即：18+t 2-6t+10=4+t2解之得：t=4，若点 P 为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2即：4+t 2+t2-6t+10=18 解之得：t 1= ，t 2= ；3+ 172 3- 172综上所述 P 的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1， ） 或（-1， ） 3+ 172 3- 172【考点】二次函数的应用，二次函数的实际应用-动态几何问题 【解析】【分析】先把点 A，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到 a 和 b，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得 a 和 b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出 a，b，c 的值
27、即可得到抛物线解析式；把 B、C 两点的坐标代入直线 y=mx+n，解方程组求出 m 和 n 的值即可得到直线解析式；设直线 BC 与对称轴 x=-1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小把 x=-1 代入直线 y=x+3 得 y 的值，即可求出点 M坐标；设 P（-1，t），又因为 B（-3，0），C（0，3），所以可得 BC2=18，PB 2=（-1+3） 2+t2=4+t2 ， PC 2=（-1）2+（t-3） 2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意 t 值即可求出点 P 的坐标7.【答案】（1）解：设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x3），把 C（0，3）代入得
28、 a1（3 ）=3，解得 a=1，所以抛物线解析式为 y=（x+1）（x3），即 y=x 2+2x+3（2）解：设直线 BC 的解析式为 y=kx+m，范文.范例.参考WORD 格式整理版 把 B（3，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，3k+m=0m=3 k=-1m=3所以直线 BC 的解析式为 y=x+3，作 PMy 轴交 BC 于 M，如图 1，设 P（x，x 2+2x+3），（0x3），则 M（x，x+3），PM=x 2+2x+3（x+3）=x 2+3x，S PCB = 3PM= x2+ = （x ） 2+ ，12 32 92 32 32 278当 x= 时，BCP 的面积最大，此时
29、P 点坐标为（ ， ）32 32 154（3）解：如图 2，抛物线的对称轴为直线 x=1，当四边形 BCDQ 为平行四边形，设 D（1，a），则 Q（4，a3），把 Q（4，a3）代入 y=x 2+2x+3 得 a3=16+8+3，解得 a=2，Q（4，5）；当四边形 BCQD 为平行四边形时，设 D（1，a），则 Q（2，3+a），把 Q（2，3+a）代入 y=x 2+2x+3 得 3+a=44+3，解得 a=8，Q（2，5）；当四边形 BQCD 为平行四边形时，设 D（1，a），则 Q（2，3a），把 Q（2，3a）代入 y=x 2+2x+3 得 3a=4+4+3，解得 a=0，Q（2，3
30、），综上所述，满足条件的 Q 点坐标为（4，5）或（2，5）或（2，3） 【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 范文.范例.参考WORD 格式整理版 【解析】【分析】（1）设交点式 y=a（x+1）（x3），然后把 C 点坐标代入求出 a 的值即可得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式为 y=x+3，作 PMy 轴交 BC 于 M，如图 1，设 P（x，x 2+2x+3），（0x3），则 M（x，x+3），利用三角形面积公式得到S PCB = 3PM= x2+ ，然后根据二次函数的12 32 92性质求解；（3）如图 2，分类讨论：当四边形 BCDQ
31、 为平行四边形，设 D（1，a），利用点平移的坐标规律得到Q（4，a3），然后把 Q（4，a3）代入 y=x 2+2x+3 中求出 a 即可得到 Q 点坐标；当四边形 BCQD 为平行四边形或四边形 BQCD 为平行四边形时，利用同样方法可求出对应 Q 点坐标8.【答案】（1）解：由 y=ax2+bx3 得 C（03），OC=3，OC=3OB，OB=1，B（1，0），把 A（2，3），B（1，0）代入 y=ax2+bx3 得 ，4a+2b-3=-3a-b-3=0 ，a=1b=-2抛物线的解析式为 y=x22x3（2）解：设连接 AC，作 BFAC 交 AC 的延长线于 F，A（2，3），C（0
32、，3），AFx 轴，F（1，3），BF=3，AF=3，BAC=45，设 D（0，m），则 OD=|m|，BDO=BAC，BDO=45，OD=OB=1，|m|=1，m=1，D 1（0，1），D 2（0，1）（3）解：设 M（a，a 22a3），N（1，n），以 AB 为边，则 ABMN，AB=MN，如图 2，过 M 作 ME对称轴 y 于 E，AFx 轴于 F，则ABFNME，范文.范例.参考WORD 格式整理版 NE=AF=3，ME=BF=3，|a1|=3，a=3 或 a=2，M（4，5）或（2，11）；以 AB 为对角线，BN=AM，BNAM，如图 3，则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合
33、，M（0，3），综上所述，存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（2，11）或（0，3）【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用 【解析】【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接 AC，作 BFAC 交 AC 的延长线于 F，根据已知条件得到 AFx 轴，得到 F（1，3），设 D（0，m），则 OD=|m|即可得到结论；（3）设 M（a，a 22a3），N（1，n），以 AB 为边，则 ABMN，AB=MN，如图 2，过 M 作 ME对称轴 y 于 E，AFx 轴于 F，于是得到ABFNME，证得 NE=AF=3，ME=BF=3，得到 M（4，5）或（2，11）；以 AB 为对角线，BN=AM，BNAM，如图3，则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合，于是得到结论
