1、高中数学必修四2.1 平面向量的实际背景及基本概念成武一中 杨静,向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节概念课，重要的不是
2、向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。,学情分析,学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中,已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识储备。,知识储备：,学生间通过一学期的共同学习，其合作探究的习惯和意识已然养成，这就为本节课的学习提供了认知储备。,能力储备：,目标分析, 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念； 学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征； 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。,培养用联系的观点 ，类比的方法
3、研究向量； 获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；,（1）使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”； （2）让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。,知识技能,过程与方法,情感态度与价值观,教学重点、难点,重点,向量概念、向量的几何表示、以及相等向量、平行向量、共线向量的概念；,难点,让学生感受向量、平行或共线向量及相等向量概念形成过程；,根据本节课的特点及课改要求，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选例设问，引导学生的思考置疑.通过直观形象具体抽象再具体的反复过程，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移. 。,教法,学法,学生主动参与，自主探究，合作交流的学习方式。,
4、第一阶段 平面向量的实际背景,问题情景1.如图1，在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处以5米/秒的速度逃窜，猫由B向正东方向的D处以15米/秒的速度追去，猫能否抓到老鼠？,速度既有大小又有方向的量,问题情景 2,如何确定B点位置？,北,东,西,南,A,B,位移既有大小又有方向的量,87,问题情景3,通过对速度、位移，力的分析，了解向量的实际背景，使学生认识到向量在刻画现实问题，物理问题及数学问题当中的作用，使学生建立起理解和应用向量背景支撑,设计意图:,一盒粉笔放在桌子上，受到2N的力该如何运动？,第二阶段 向量概念的形成,1.向量的概念既有大小又有方向的量叫向量.,.数量的概念只有大小，没有
5、方向的量.,问题：请举出生活当中的向量和数量的例子,通过实例比较加深对概念的理解，让学生参与概念本质特征的概括活动过程，确保学生有自己想明白的机会和时间,问题1： 通过问题情景中的速度、位移及力的分析，用数还能刻画这些量吗？,设计意图：,利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，让学生融入其中从常见的速度、位移及力等物理量分析，了解它们的结构特征。建立向量 的认知基础，自然引出向量的概念。,设计意图：,问题：由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用数轴上的一个点表示,如3,2,-1,而且不同的点表示不同的数量. 怎样把你举例中的向量表示出来呢？,第三阶段 向量的研究,让学生先练习力的表示，让错
6、误呈现，激发认知冲突，最后自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。（教师引导学生进一步完善）,设计意图：,（1）向量的几何表示,加深对概念的理解，让学生掌握向量集形与数与一身的基本特征,.,设计意图：,合作探究：,向量能比较大小吗？,.,2、温度含零上和零下温度，所以温度是向量（判断题）,3、向量的模是一个正实数（判断题）,、直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量（判断题）,，,，,，,长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.长度为0的向量叫做零向量，记作0,问题：请3位同学们在黑板上画出长度为5的向量,大家画出的线段长短不一，怎么解决？由此自然过渡到单位长度上，使得单位向量的引入也就顺理成
7、章了。这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降，而是进一步学习的需要,（2）两个特殊向量,设计意图：,（3）向量间的关系,为了帮助学生学习相等向量、平行（共线）向量的概念，本环节设计了“传花游戏”，,通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让学生积极参与，仔细观察，自己概括出概念的本质特征，将课堂气氛推向一个新的高潮 ，同时也体现新课改中把课堂还给学生，提倡自主学习的新理念。,设计意图：,方向相同或相反的非零向量,平行向量,零向量与任一向量平行, 即对于任意向量a,都有0a,规定:,相等向量,相等向量：长度相等且方向相同的向量。,共线向量：就是平行向量,共线向量,A,B,C,思考：把一组平行向量的
8、起点全部移到同一点O，这时向量的终点之间有什么关系？这时它们是不是平行向量？,概念辨析 两个长度相等的向量一定相等 相等向量的起点必定相同 平行向量就是共线向量,4）若 AB 与 CD 共线，则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上,5）向量 a 与 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反,（4）概念巩固,2如图设O是正六边形ABCDEF的中心， 写出图中与向量OA相等的向量,变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？,变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？,变式三：与向量OA长度相等的共线向量 有哪些？,（5）归纳小结 1.描述一个向量有两个指标模、方向. 2.平行向
9、量不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，与长度无关. 3.共线向量是指平行向量,与是否真的画在同一条直线上无关. 4.向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性,1、向量的定义 2、表示方法 2、特殊的向量 3、向量间的关系,2.1平面向量的实际背景及基本概念,例题,（6）板书设计,教学反思,1、起始课应有“统领全局”的作用和地位本节是“平面向量”的第一堂课，具有“统领全局”的作用。因此，本课的目标应体现这一地位。具体有如下三个方面： （1）形成平面向量的概念，特别是要让学生体会“向量集形与 数于一身”的基本特征 （2）让学生体会用联系的观点、类比
10、的方法研究向量。 （3）通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发， 体会研究一类新的数学问题的基本思路。 2、概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，让学生融入其中；另一方面让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与。,教学反思,3 概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”。本课的教学，我们应力求使学生了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。 4 “创造性的使用教材”的前提是深刻理解教材。相等和平行（共线向量）概念的给出我是设置了一个游戏情境，游戏中将呈现通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让他们从大小和方向两个方面展开思考，教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生一起完成概念的定义。整节课，我留给学生充足的时间，让学生参与概念本质特征的概括活动过程，从而达到培养学生创新精神和实践能力的最终目的！,谢谢！,
