1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】故选2. 已知为虚数单位，复数 的虚部为 ，则实数 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】则故选3. 函数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， 取得最大值为故选4. 如图，分别以 为圆心，正方形 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入 个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.
2、 B. C. D. 【答案】B【解析】设正方形的面积为 ，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为故所求的概率为故选5. 已知 为坐标原点，分别在双曲线 第一象限和第二象限的渐近线上取点 ，若的正切值为 ，则双曲线离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】双曲线 的渐近线方程为设一条渐近线 的倾斜角为，斜率为则 ， 或 （舍去），故选6. 若点 满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图：目标函数 的几何意义是可行域内的点与 连线长度的平方由图可知长度最小值为 到 的距离故选7. 按下面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 的取值范围为（ ）A. B
3、. C. D. 【答案】A【解析】由程序框图可得： ，时，时，时，故选8. 将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则 图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，当 时，得对称中心为故选9. 展开式中， 项的系数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】两边求导得：两边同乘以 得到：则原式故 项的系数为故选10. 如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】把此三棱锥嵌入长宽高分别为： 的长方体三棱锥 即为所求的三棱锥其中 ， ，则 ，故可求得三棱锥各面面积分别为：， ， ，故表面积为三棱锥体
4、积设内切球半径为，则故三棱锥内切球体积故选11. 已知函数 是定义在 内的奇函数，且满足 ，若在区间 上， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ，则故函数 的周期为 ，函数 是定义在 内的奇函数，故对 ，对 ，当 时，所求原式故选点睛：本题考查了运用函数的奇偶性和周期性求值，利用已知条件先求出函数周期性，在求函数值时利用递推关系分别求出 、 、 、 的表达式，从而能够计算出最后结果，本题的关键是求出在周期性下的值。12. 过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线交抛物线于点 ，若 ，且 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，延长 交准线于点 ，分别
5、过点 ，作 于 ，于设直线 的倾斜角为，设 ，则则上式是关于的减函数由 可得：故 的取值范围是故选点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，为求其斜率的取值范围，先设出倾斜角，结合抛物线定义，将其转化为线段的比值问题，由已知条件求出关于的表达式，又知道其范围，故可计算出斜率的范围，本题有一定难度。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 中， 为线段 的中点， 交 于点 ，若 ，则 _【答案】【解析】由 可得：14. 命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 恒成立.若 的逆命题， 的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】命题 的逆命
6、题：若 ，则 ，故命题 的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则 ，则实数的取值范围是15. 已知函数 ，若 与 （ 为 的导函数）的图象有两个公共点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】令时， ， 为减函数时， ， 为增函数又 时， ，时，故 时， 与 的图象有两个公共点解得则实数的取值范围是点睛：本题考查了运用导数求函数零点问题，结合题意构造新函数，将两个函数交点问题转化为函数零点问题，求导后得出函数的单调性，在判定零点的个数时运用了极限的方法，还可以用零点的判定定理来加以限制。16. 已知函数 在区间 内单调，且在区间 内恰有三条对称轴，则 的取值范围是_【答案】【解析】令 ，故若 在区
7、间 内有三条对称轴，首先 ，则 ，则存在符合条件的 与 是 时，时，时，与 矛盾，舍去故 的取值范围是点睛：本题主要考查的知识点是三角函数的化简与对称轴问题，在化简过程中运用两角差的余弦公式、降幂公式及辅助角公式，再结合题目中的单调性与对称轴问题计算出答案，需要学生有一定的计算能力。属于中档题目。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 满足 .（1）求证： 是等比数列，且 ；（2）设 为数列 的前 项和，若 ，且 ，求 的值.【答案】(1)见解析;(2)101.【解析】试题分析： 由 ，推出 代入化简求出 是等比数列，计算得
8、，从而证明结果 由（1）知， ，累加得 ，从而求出 的值解析：（1）由 ，是以 为首项， 为公比的等比数列，由 ，要证 成立，只需证 ，即 ，即 成立，显然成立， 原不等式成立.（2）由（1）知， ，累加得 ，而 .18. 四棱柱 中，底面 为正方形， 平面 为棱 的中点， 为棱 的中点， 为棱 的中点.（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，棱 上有一点 ，且 ，使得二面角 的余弦值为 ，求的值.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析： 四边形 为平行四边形得 ，由中点得 ，又 ， 得证 以 为原点， 方向分别为 轴、 轴、轴正方向，建立如图所示的空间垂直坐标系，求平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，代入公式求出结果解析：（1） 分别为棱 中点，四边形 为平行四边形，又 平面 ，平面 .为棱 的中点，又 ，
