1、结构动力学第5章动力反应数值分析方法主要内容主要内容： 数值算法中的基本问题 分段解析法 中心差分法 一般时域逐步积分法的构造 Newmark 法 Wilson 法 时域逐步积分算法的新发展 结构非线性反应分析5.1 数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法：时域分析方法 Duhamel积分法，频域分析方法 Fourier变换法。这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。当外荷载 p(t)为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解，通过数值计算可以得到动力反应的数值解。这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性
2、的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性 （弹塑性），或结构位移较大时，结构可能进入 几何非线性 ，这时叠加原理将不再适用。此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。5.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法 Step-by-step methods结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（ 1）分段解析法；（ 2）中心差分法；（ 3）平均常加速度法；（ 4）线性加速度法；（ 5） Newmark 法；（ 6） Wilson 法。时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。5.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（ Duha
3、mel积分，Fourier变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相当于放松了对运动变量的 约束 。(), (), 1,2,ii iiuut uut i=&L5.1 数值算法中的基本问题采用等时间步长 离散 时， ti=i t， i=1, 2, 3,。体系的运动微分方程仅要求 在离散时间点 上满足。 t离散时间
4、步长离散的定义？5.1 数值算法中的基本问题一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：收敛性 ：当 t 0时，数值解是否收敛于精确解；计算精度 ：截断误差与时间步长 t 的关系，若误差 O( tn)，则称方法具有 n阶精度；稳定性 ：随时间步数 i的增大，数值解是否变得无穷大（远离精确解）；计算效率 ：所花费的计算时间的多少。一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度 (例如 2阶，满足工程要求 )、良好的稳定性、较高的计 算效率。在发展逐步积分法中，也的确发展了一些高精度但很费时的方法，在实际中得不到应用和推广。5.1 数值算法中的基本问题根据是否需要联立求解 耦联 方程组，逐步积分法可
5、分为两大类：隐式方法 ：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如 Newmark法、 Wilson法。显式方法 ：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法（无阻尼时）。下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时域逐步积分法 中心差分法和 Newmark法，同时也介绍 Wilson法，最后介绍非线性问题分析方法。5.2 分段解析法 （ Piecewise Exact Method）分段解析算法假设在 ti t ti+1时段内分段解析法对外荷载的离散1()()/iii
6、i iippp pt += +=ptpipi+1 ti插值荷载： p( )实际荷载titi+1如果荷载 p(t)采用计算机采样，即离散数值采样，则以上定义可认为是 “精确 ”的。5.2 分段解析法在 ti t ti+1时段内体系的运动方程：初值条件：运动方程的特解:运动方程的通解: iippkuucum +=+ )()()()(&00() , ()iiuuuu= =&ckpkuiiip2)(1)( +=)sincos()( DDcBAeun+=ptpipi+1 ti插值荷载： p( )实际荷载titi+15.2 分段解析法将全解代入边界条件确定系数 A、 B，最后得：其中，DDnneAeAAA
7、u sincos)(3210+=0120322 1, , ii i iiinnDpAAAuAuAkk k k = = = = + &DnDDnDnneAAeAAAusin)(cos)()(32231+=&() () ()pcuu u =+1()/ii iippt+= 5.2 分段解析法当 = ti时，得到其中系数 AD 是结构刚度 k，自振频率n，阻尼比和时间步长 t的函数。上式给出了根据 i时刻运动及外力计算 i+1时刻运动的递推计算公式。如果结构是线性的，并采用等时间步长，则 AD 均为常数，其计算效率非常高，在 p(t)为离散采样的定义下是精确解，但如果是非线性问题，则AD 均为变量，计
8、算效率会大为降低。1111+=+=iiiiiiiiiipDpCuBuAuDpCpuBAuu&ptpipi+1 ti插值荷载： p( )实际荷载titi+15.2 分段解析法分段解析法计算公式中的系数+=tteADDtncossin12=teBDDtnsin1+=ttttetkCDnDDtnncos21sin1212122+=ttttetkDDnDDtnncos2sin122112=teADntnsin12=tteBDDtnsin1cos2+=ttttetkCDDntncos1sin111122+=ttetkDDDtncossin11121111iiiiiiiiiiuAuBuCp DpuAuBu
9、Cp Dp+=+=+ +&5.2 分段解析法分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设 ， 而在连续时间轴上严格满足运动微分方程。一般的时域逐步积分法将进一步放松要求，仅要求在离散的时间点上满足运动方程，即放松了对运动的约束。5.3 中心差分法 （ Central Difference Method）中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导（即速度和加速度）。如果采用等步长， ti= t，则 i时刻速度和加速度的中心差分近似为：tuuuiii=+211&2112tuuuuiiii+=+&iiiiiiipkutuuctuuum =+2211211)()()()(iiiitptkutuctum =+&
10、)()()()(iiiiiiiitpptuutuutuu=&112222ii i imc m mcupk u utt t tt+ += 5.3 中心差分法多自由度体系的中心差分法逐步计算公式为：112222ii i imc m mcupk u utt t tt+ += ()()()()iiiiiiiiuutuutuutppt=& & ()1112iiiuuut+=& ()21112iiiiuuuut+=+& 212211122112iiiMCuttpK Mu M Cutt+ = 5.3 中心差分法单步法和多步法的概念单步法：采用时域逐步积分法计算某一时刻的运动时，仅需已知前一时刻的运动。多步法
11、：需要前两个或两个以上时刻的运动。中心差分法在计算 ti+1时刻的运动 ui+1时，需要已知 ti和 ti-1两个时刻的运动 ui和 ui-1，因此，中心差分法属于两步法；而分段解析法为单步法。用两步法进行计算时存在起步问题，因为仅根据已知的初始位移和速度，并不能自动进行运算，而必需给出两个相邻时刻的位移值，方可开始逐步计算。在初始时刻需要建立两个起步时刻（即 i 0, -1）的位移值，这即是逐步积分的起步问题。112222ii i imc m mcupk u utt t tt+ += 1111+=+=iiiiiiiiiipDpCuBuAuDpCpuBAuu&5.3 中心差分法中心差分方法计算
12、中的起步处理方法初始条件为 ： )0(),0(00uuuu&=tuuu=2110&210102tuuuu+=&020012ututuu&+=)(10000kuucpmu =&112222ii i imc m mcupk u utt t tt+ += 5.3 中心差分法中心差分法计算步骤：(1). 基本数据准备和初始计算(2). 计算等效刚度和中心差分计算公式中的系数(3). 根据 i及 i以前时刻的运动，计算 i+1时刻的运动(4). 下一步计算用 i+1代替 i，重复 (2)至 (3)中的计算步骤。已知和00uu&)(20002001kuucpmtutuu +=&1111222iiiiiii
13、uuutuuuut+ =+=&2222,mc m mckakbtt t tt=+ = = 11 /ii i iiip p au buupk+= =112222ii i imc m mcupk u utt t tt+ += 5.3 中心差分法中心差分法的精度和数值稳定性以上给出的中心差分逐步积分公式， 是收敛的； 具有 2阶精度，即误差 O(t2) ； 是有条件稳定，稳定条件 t Tn/； 具有较高的计算效率。5.3 中心差分法中心差分法的数值稳定性证明设体系为无阻尼，并设外荷载 p=0 (算法的稳定性与外荷载无关 ),则中心差逐步积分法的递推公式可以写成如下形式：令 i时刻位移为：代入运动方程
14、：得到：从 ui=Ai 可直观看出，为保证 i（即 t）时， ui有界，要求| | 1。仅当2 4时， | |=1，其余情况均有 | |1。则稳定性条件要求：niiituuu =+,)2(121iiAu =01)2(22=+ = )4(2212222iitstsiistAeAAetiuuAetu =)()()(112222ii i imc m mcupk u utt t tt+ += 5.3 中心差分法中心差分法的数值稳定性证明稳定性表达式为 :虽然中心差分逐步积分法是有条件稳定的，但由于其所具有计算效率高的优点，在很多情况下得到广泛的应用。例如，大坝在地震作用下的动力反应分析，核电站和人防结
15、构在冲击荷载下的动力反应问题计算等等。nt=2nnTt =25.3 中心差分法中心差分法的数值稳定性证明为构造有阻尼体系动力分析的显式中心差分法， Clough给出了如下形式的逐步积分计算格式，并不加证明地给出其稳定性条件为：Clough格式的实际稳定性条件如右图所示2111()()22( )ii i iiiiiiituutu pcukumuuuut+=+ =&nnTt =2 2221 111 2 11ii i iM Cu p K Mu M Cutt t tt+ += 5.3 中心差分法中心差分法的数值稳定性证明一般情况下，逐步积分格式的稳定性分析采用如下方法，将逐步积分格式写成下式：则稳定性
16、条件为 =(A) 1， 称为传递矩阵A的谱半径，即传递矩阵的最大特征值 。目前对显式中心差分逐步积分法格式的研究取得了进展，已发 展了几种有阻尼体系的差分格式 ， 可以在近几年的文献中找到 。 但普遍存在 iiiiipBuuAuu+=+&11一般时域逐步积分法的构造从前面介绍的分段解析法和中心差分法给出的逐步积分公式可以发现，所谓的时域逐步积分方法就是构造出根据某一时刻及其以前时刻的运动，推算下一时刻运动的 递推计算公式 。具体情况可表述为，设体系在 ti及 ti以前时刻的运动已知，求 ti 1时刻的运动。（ ti i t）体系在 ti 1时刻的运动包括：位移、速度和加速度 ，需要有三个方程（
17、条件）求这三个量。因此，除体系的运动方程外，还需补充两个方程（条件）。)()()()( tptkutuctum =+&一般时域逐步积分法的构造两个补充方程可以通过对运动状态的假设得到。例如可以假设在 ti和 ti 1时刻，即 t时间段内，体系的加速度为常数 a，则积分 (不定积分 )得到体系的速度和位移为：其中 , 为由 ti时刻起算的局部时间坐标 , c1和 c2为积分常数。1212()1()2uacuacc=+= +&一般时域逐步积分法的构造积分常数 c1和 c2可由 0时的初值条件确定，最后得：当 t，即 t ti 1时刻，体系得运动状态为：1212()1()2uacuacc=+=+&(
18、0) | ,(0)itt i iuuuuu= = =&2()1()2iiiuauuauu=+= +&12112iiiiiuatuuatutu+=+= +&一般时域逐步积分法的构造如果假设： ti和 ti 1时间段内的常加速度 a=(i+1+i)/2，则得到：再加上 t i 1时刻的运动方程：可以求得 t i 1时刻的位移、速度和加速度。12112iiiiiuatuuatutu+=+= +&11211()2()4iiiiiiiiituuuutuuuutu+=+= +& & &1111iiiimu cu ku p+=& &一般时域逐步积分法的构造以上方法也称为 平均加速度法 ，即假设加速度为 ti和 ti 1时间段内的平均值：也可以假设加速度 a为其它形式的变化规律，例如为线性变化：则采用同样的分析步骤可以得到 线性加速度法 的时域逐步积分公式。11()2iiauu+= +& &1()iiiau u ut+= +& & &
