1、 2018 北京卷高考压轴卷数学（理）本试卷共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题， 共 40 分）一、 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合 A=x|0x3，x N，B=x|y= 9x2，则集合 A（ RB）=（ ）A1 ，2 B1，2，3 C0，1，2 D （0，1）（2）以下说法正确的有（ ）（1）y=x+ x（xR）最小值为 2；（2）a 2+b22ab 对 a，bR 恒成立；（3）ab0 且 cd0，则必有 acbd；（4
2、）命题“ xR，使得 x2+x+10”的否定是“ xR，使得 x2+x+10”；（5）实数 xy 是 1 成立的充要条件；（6）设 p，q 为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq”也为假命题A2 个 B3 个 C4 个 D5 个（3）若双曲线 C: 21xyab（ 0a， b）的一条渐近线被圆 240xy所截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为A2 B. 3 C. 2 D. 23（4）已知 10axd，函数 sin0,2fxAx的部分图象如图所示，则函数 f图象的一个对称中心是A ,12B ,2C 7,12D 3,24（5）如图，在平行四边形 ABCD 中，BAD= ，AB=2，AD=1
3、，若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，且满足 DCNBM ，其中 0，1 ，则 ANM的取值范围是（ ）A0，3 B1，4 C2，5 D1 ，7（6）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）（A） 38 （B） 316（C）8 （D） 2（7）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为（A）0 （B）1（C）2（D）3（8）已知函数23,1().xf设 aR，若关于 x 的不等式 ()|2xfa在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（A） 47,216（B） 4739,16（C） 23,（D） 392,16第二部分（非选择题， 共 11
4、0 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9）已知 a是实数， i是虚数单位，若 21()zai是纯虚数，则 a （10）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个命中个数的茎叶图如下则罚球命中率较高的是 （11 ）抛物线 的准线与 轴交于点 P，直线 l 经过点 P，且与抛物线有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是_（12）若两曲线 21yx与 ln1yax存在公切线，则正实数 a的取值范围是 （13）设 nS是等差数列 n的前 项和，若 250S， 26，则数列 251,Sa的最大项是第项.（14 ）已知函数 ()fx满足对任意的
5、xR都有 1()()2fxf成立，则127()88ff= 。三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） （本小题 13 分）已知函数 f（x）=2 sin（ax ）cos（ax ）+2cos 2（ax ） （a0） ，且函数的最小正周期为（）求 a 的值；（）求 f（x）在0， 上的最大值和最小值（16） （本小题 13 分）如图，已知长方形 ABCD 中，AB=2 ，AD= ，M 为 DC 的中点，将ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面ABCM（1）求证：ADBM；（2）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 EAMD
6、 的余弦值为 （17） （本小题 14 分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“入”表示每周“水站诚信度” ，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期 95% 98% 92% 88%第二个周期 94% 94% 83% 80%第三个周期 85% 92% 95% 96% （1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数 x；（2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取出的 3 个数据中“水站诚信度”超过 91%的数据的个数
7、，求随机变量 X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由（18） （本小题 13 分）已知函数 f（x）=e x+x2x，g（x）=x 2+ax+b，a ，b R（）当 a=1 时，求函数 F（x）=f（x）g（x）的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线 l 与曲线 y=g（x）切于点（1，c） ，求 a，b，c 的值；（）若 f（x）g（x）恒成立，求 a+b 的最大值（19） （本小题 14 分）设椭圆21(0)xyab
8、的离心率 12e，左焦点为 F，右顶点为 A，过点 F的直线交椭圆于HE,两点，若直线 E垂直于 x轴时，有 3EH（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l： 1x上两点 P， Q关于 轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B（ 异于点 A） ，直线BQ与 轴相交于点 D.若 A 的面积为 62，求直线 的方程.（20） （本小题 13 分）对于数列 A：a 1，a 2，a n，若满足 ai0，1（i=1，2，3，n） ，则称数列 A 为“01 数列”若存在一个正整数 k（2kn1） ，若数列a n中存在连续的 k 项和该数列中另一个连续的 k 项恰好按次序对应相等，则称数列a n是 “k 阶可重复数
9、列”，例如数列 A：0，1，1，0，1，1，0因为 a1，a 2，a 3，a 4 与a4，a 5，a 6，a 7 按次序对应相等，所以数列a n是“4 阶可重复数列 ”（）分别判断下列数列 A： 1，1，0，1，0，1，0，1，1，1是否是“5 阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这 5 项；（）若项数为 m 的数列 A 一定是“3 阶可重复数列”，则 m 的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列 A 不是“5 阶可重复数列”，若在其最后一项 am 后再添加一项 0 或 1，均可使新数列是“5 阶可重复数列”，且 a4=1，求数列a n的最后一项 am 的值数学（理）试卷答案及评分参考一、
10、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分1【 答案】A2【 答案】A3【 答案】A4【 答案】C5【 答案】C6【 答案】B7【 答案】C【 解析】依次为 8N , 7,6,2N，输出 ，选 C.8【 答案】A【 解析】不等式 f(x) a2为f (x) a2f(x) (*)当 x1 时，(*)式即为x 2+x 3 x2x+3，x 2+ 3ax 2 3+3，又x 2+ 3=(x 41)2 67 14(x= 时取等号)x2 3+3=(x )2+ 39 (x= 时取等号)所以 1647a当 x1 时，(*)式为x x a2x+ ， 23 xa + 2又 23 =( + ) 3 (当 x=
11、时取等号)x+ x (当 x=2 时取等号)所以 32a2，综上 1647a2故选 A二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9【 答案】110【 答案】甲11【 答案】【 解析】12【 答案】 0,2e13【 答案】1314【 答案】7三、解答题共 6 小题，共 80 分15 （本小题 13 分）【 答案】解：（）函数 f（x）=2 sin（ax ）cos（ax ）+2cos 2（ax ） （a0） ，化简可得：f（x）= sin（2ax ）+cos（2ax ）+1= cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax+ ）+1函数的最小正周期为 即 T= ,由 T= ，可得 a=
12、2a 的值为 2故 f（x）=2sin（4x+ ）+1；（）x0， 时，4x+ 0， 当 4x+ = 时，函数 f（x）取得最小值为 =1 当 4x+ = 时，函数 f（x）取得最大值为 21+1=3f（x）在0， 上的最大值为 3，最小值为 1 【 解析】 （）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求 a 的值（）x0， 时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求 f（x）最大值和最小值16 （本小题 13 分）【 答案】 （1）证明：长方形 ABCD 中，AB=2 ，AD= ，M 为 DC 的中点，AM=BM=2，则 AMB
13、M，平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM=AM，BM平面 ABCM，BM平面 ADM，AD平面 ADM，ADBM；（2）解：取 M 中点 O，连接 DO，则 DO平面 ABCM，以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面 ADM 的一个法向量为 ，设 ， ， 设平面 AME 的一个法向量为 ，则 ，取 y=1，得由 cos = ，解得 E 为 BD 上靠近 D 点的 处【 解析】 （1）在长方形 ABCD 中，AB=2 ，AD= ，M 为 DC 的中点，可得 AM=BM=2，则 AMBM，由线面垂直的判定可得 BM平面 ADM，则 ADBM；（2）取 M 中点 O，连
14、接 DO，则 DO平面 ABCM，以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面 ADM的一个法向量为 ，设 ，则 ，求出平面 AME 的一个法向量为 ，利用二面角 EAMD 的余弦值为求得 值可得 E 的位置17 （本小题 14 分）【 答案】解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：= =91%（2）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= ，P（X=3）= ，X 的分布列为：X 0 1 2 3PEX= =2（3）两次活动效果均好理由：活动举办后，“水站诚信度”由 88%94%和 80%到 85%看出，后继一周都有提升【
15、解析】 （1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数（2）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望（3）两次活动效果均好，活动举办后，“水站诚信度”由 88%94% 和 80%到 85%看出，后继一周都有提升18 （本小题 13 分）【 答案】 （）F（x）=e x2xb，则 F（x）=e x2令 F（x ）=e x20，得 xln2，所以 F（x）在（ln2 ，+）上单调递增令 F（x ）=e x20，得 xln2，所以 F（x）在（，ln2）上单调递减（）因为 f（x）=e x+2x1，所以 f（0）=0，所以 l 的
16、方程为 y=1依题意， a2，c=1于是 l 与抛物线 g（x）=x 22x+b 切于点（1，1） ，由 122+b=1 得 b=2所以 a=2，b=2，c=1（）设 h（x）=f（x）g（ x）=e x（a+1）xb，则 h（x）0 恒成立易得 h（x）=e x（a+1） （1）当 a+10 时，因为 h（x）0，所以此时 h（x）在（，+）上单调递增若 a+1=0，则当 b0 时满足条件，此时 a+b1；若 a+10，取 x00 且 01b,a，此时 0x0h()e(a)()01，所以 h（x）0 不恒成立不满足条件；（2）当 a+10 时，令 h（x）=0，得 x=ln（a+1） 由 h（x）0，得 xln（a+1） ；由 h（x）0，得 xln（a+1 ） 所以 h（x）在（，ln（a+1） ）上单调递减，在（ln （a+1） ，+）上单调递增要使得“h（x）=e x（a+1）xb0 恒成立”，必须有：“当 x=ln（a+1）时，h（x） min=（a+1） （a+1）ln （a+1） b0”成立所以 b（a+1）（a+1）ln（a+1） 则 a+b2（a+1）（a+1）ln（a+1）1令 G（x）=2xxlnx1，x0，则 G（x）=1lnx 令 G（x）=0，得 x=e由 G（x）0，得 0xe；
