1、福建省龙岩市 2018 届高三下学期教学质量检查(4 月)数学（文）试题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先求出集合 ，再利用集合的运算，即可求解.详解：由题意 ，所以 ，所以 ，故选 C.点睛：本题考查了集合的混合运算，属于基础题，着重考查了学生的推理与运算能力.2. 已知复数 ，为虚数单位，若 ，则在复平面内复数 对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】分析：先根据 ，利用
2、复数的运算求出 ，再根据复数的表示和几何意义，即可得到结果.详解：因为 ，又由 ，则 ，所以 对应的点位于第四象限，故选 D.点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为 3. 已知函数 ，则函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：分别根据指数函数的图象和二次函数的图象作出分段函数每一段上的图象，即可得到分段函数的图象.详解：当 时， ，根据指数函数 的
3、图象向下平移一个单位，即可得到函数的图象，当 时， ，根据二次函数的图象与性质，即可得到相应的图象，综上，可得函数 为选项 D，故选 D.点睛：本题考查了函数图象的识别，解答中涉及到指数函数和二次函数的图象与性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4. 党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013 年至 2016 年 4 年间，累计脱贫 5564 万人，2017 年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地 3000 户家庭的 2017 年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为，则年收入不超过 6 万的家庭大约为（
4、）A. 900 户 B. 600 户 C. 300 户 D. 150 户【答案】A【解析】分析：由频率分布直方图先求出成绩不超过 分的学生的概率，由此能求出成绩不超过 分的学生人数.详解：由频率分布直方图可得成绩不超过 分的学生的概率为： ，所以成绩不超过 分的学生人数大约为： ，故选 A.点睛：本题考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之
5、和等于 1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于 1.5. 九章算术是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田” ，把直角梯形的田称为“邪田” ，称底是“广” ，称高是“正从” ， “步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用面积公式以及梯形的面积公式，以及几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率.详解： 邪田的广分别为十步和二十
6、步，正从为十步，圭田广为八步，正从为五步的，在邪田内随机种植一株茶树，所以利用面积公式，算出圭田的面积面积，利用梯形的面积公式，算出邪田的面积，根据几何概型概率公式可得，该株茶树恰好种在圭田内的概率为： ，故选 A.点睛：本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证
7、事件是否等可能性导致错误.6. 执行如图所示的程序框图，若输入 的值分别为 6，5，1，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 方程没有实数根【答案】C【解析】分析：阅读程序框图可知，该程序框图的功能是求方程 的解，从而可得结果.详解：阅读程序框图可知，该程序框图的功能是求方程 的解，方程变为 ，解得 或 ，输出的结果为 ，故选 C.点睛：解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7. 如果函数 的图象关于直线 对称，那么该函数的最大值为（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】分析：将函数进行化简，结合三角函数的图象
8、与性质，即可得到答案.详解：由 ，由正弦函数的对称轴方程为 ，又因为图象关于 对称，即可得 ，当 时， ，因为 ，所以 ，即 ，所以 的最大值为 ，故选 B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用三角函数公式将函数进行化简正弦型或余弦型函数是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据三视图可得，该几何体由一个半球与一三棱柱组成，分别求出球面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积求和即可.详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为 ，右边是一个三棱柱，三棱柱底面是斜
9、边长为 的等腰直角三角形，高为 ，组合的体表面由球面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成 ，其值为： ，故选 D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9. 已知定义在 上的偶函数 对于 上任意两个不相等实数 和 ， 都满足 ，若，则 的大小关
10、系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据条件判断出函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.详解：因为定义在 上的偶函数 对于 上任意两个不相等实数 和 ，由 都满足 ，所以函数 在 上为增函数，因为是偶函数，所以 ，又由 ，所以 ，即 ，故选 D.点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.10. 如图，在棱长为 10 的正方体内放入两个半径不相等的球 ，这两个球相外切，且球 与正方体共顶点 的三个面相切，球 与正方体共顶点 的三个面相切，则球
11、 的半径最大时，球 的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意，可以判断出两个球都与正方体相切，要使得球 的半径最大，则球 的直径等于正方体的棱长，即可求解球 的体积.详解：由题意，可以判断出两个球都与正方体相切，要使得球 的半径最大，则球 的直径等于正方体的棱长，即 ，所以 ，则球 的体积为 ，故选 B.点睛：本题考查了多面体与球的组合体的性质，其中根据题意，得到要使得球 的半径最大，则球 的直径等于正方体的棱长是解答的关键，着重考查了学生的空间想象能力，及推理与运算能力.11. 已知 为抛物线 准线上一点，过点 作抛物线的切线 ，若切线 的斜率为 ，则直线的斜率为
12、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：设出点 的坐标，推出切线方程，与抛物线方程联立，求出切线的斜率乘积是 ，然后求解 的斜率.详解：设 ，过点 与抛物线相切的直线方程为 ，由 ，整理得 ，由 ，即 ，所以 ，所以过点 作与抛物线的切线 ，若切线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，故选 B.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.12. 设函数 .若存在唯一的整数 ，使得 ，则实数的取
13、值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：函数 .若存在唯一的整数 ，使得 ，等价于 有唯一整数，利用导数研究函数 的单调性，结合函数图象与零点存在定理，列不等式组求解即可.详解：设 ， ，函数 .若存在唯一的整数 ，使得 ，等价于 有唯一整数，即在唯一的整数 ，使得 ，由 ，得 ，由 ，得 ，所以 在 上递增，在 上递减，只有一个整数 ， ，得 ，即实数的取值范围为 ，故选 A.点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为 有解（ 即可）或转化为 有解（ 即可）
14、 ，也可以利用数形结合，根据零点存在定理列不等式（组 ）求解.二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ，若 ，则 _.【答案】7【解析】分析：利用向量的数量积的坐标运算，即可求解.详解：由 ，则 ，所以 ，解得 .点睛：本题主要考查了平面向量的数量积坐标运算，熟记平面向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.14. 已知点 在直线 上，则圆锥曲线 ： 的离心率为_.【答案】【解析】分析：利用点在直线上求出 的值，然后化简圆锥曲线的方程，求解离心率即可.详解：由点 在直线 上，可得 ，则圆锥曲线 是双曲线，可得 ，所以双曲线的
15、离心率为 .点睛：本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法： 求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式) ，解方程(不等式) ，即可得 (的取值范围) 15. 已知实数 满足 ，则 的最大值为_.【答案】-4【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到答案.详解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立 ，解得 ，化目标函数 为 ，由图可知，当直线
16、过点 时，直线在 轴上的截距最小，有最大值为 .点睛：本题考查了简单的线性规划的应用，着重考查了数形结合思想方法的应用，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用.16. 在锐角三角形 中， ， 的对边长分别是 ，则的取值范围为_.【答案】【解析】分析：确定 的取值范围，利用正弦定理化为三角函数的表达式，即可求出取值范围.详解：在锐角 中， ，所以 ，所以由正弦定理可知 .点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解答中注意锐
17、角三角形的范围的确定是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力.三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （） （）【解析】分析：（1）由 ，可得 ，解得 ，可得 ，解得 ，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）由（1）知， ，可得 ，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出结果.详解：（）由 ，可得 ， ， . 又 ， ， .数列 是等比数列，公比 ，数列 的通项公式为 .（）由（）知， ，
