1、- 1 - 龙岩市2018年高中毕业班教学质 量检查 数学（理科）试题 第卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 | 1 A x y x ， | 2 , x B y y x A ，则A B （ ） A( ,1) B0,1 C(0,1 D0,2) 2.已知函数 3 2 ( ) 2 b f x x x ，则 0 b 是 ( ) f x 在 0 x 处取得极小值的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3.已知 1 z 与 2 z 是共轭虚数，有4个命题
2、 1 2 z z ； 1 2 1 2 z z z z ； 1 2 z z R ； 2 2 1 2 z z ，一定正确的是（ ） A B C D 4. sin ( ) ( ( ,0) (0, ) x f x x x 大致的图象是（ ）- 2 -A B C. D 5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ） A2 B1 C0 D 1 6.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三 视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ） A14 B6 4 2 C8 6 2 D8 4 2 7.若实数x，y 满足 4 2 2 log 4 lo
3、g x y 8 log ( ) x y ，则 1 1 x y 的值为（ ） A128 B256 C512 D4 8.设x，y 满足约束条件 3 6 0 2 0 0, 0 x y x y x y ，若目标函数 ( 0) z ax y a 的最大值为18，则 a的值为（ ） A3 B5 C7 D9- 3 - 9.已知抛物线 2 4 y x 上的点M 到其准线的距离为5，直线l交抛物线于A，B两点，且 AB的中点为 (2,1) N ，则M 到直线l的距离为（ ） A 5或9 5 B 5 5 或 9 5 5C 5 5 或 3 5 5D 5 5 或3 5 10.已知函数 ( ) sin 3cos f x
4、 a x x 的一条对称轴为 6 x ，且 1 2 ( ) ( ) 4 f x f x ，则 1 2 x x 的最小值为（ ） A 3 B 2 3 C 2 D 3 4 11.在四面体ABCD中， BCD 与 ACD 均是边长为4的等边三角形，二面角 A CD B 的大小为60 ，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ） A 208 9 B 52 9 C 64 3 D 52 3 12.记函数 ( ) 2 x f x e x a ，若曲线 3 ( 1,1) y x x x 上存在点 0 0 ( , ) x y 使得 0 0 ( ) f y y ，则a的取值范围是（ ） A 2 2 ( , 6 6,
5、) e e B 2 2 6, 6 e e C 2 2 ( 6, 6) e e D 2 2 ( , 6) ( 6, ) e e 第卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.已知向量 (1,0) a ， ( ,2) b ， 2a b a b ，则 14.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 （用数 字作答） 15.已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b 的渐近线被圆 2 2 6 5 0 x y x 截得的弦长为2， 则该双曲线的离心率为 16.已知 ABC 的内角A的平分线交BC于点D， ABD 与
6、ADC 的面积之比为2:1， 2 BC ，则 ABC 面积的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，满分 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. - 4 - 17. 已知正项数列 n a 的前n项和为 n S ，且 2 4 2 n n n S a a . （）求数列 n a 的通项公式； （）若 n b 是等比数列，且 1 4 b ， 3 5 8 bb b ，令 2 n n n a b c ，求数列 n c 的前n项和 n T . 18.已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中 5 EC ， 4 BF ，四边形ABCD是边长为2的 正方形，现沿AD进行折叠，使得平面EDAF 平面ABCD
7、，得到如图（2）所示的几何体. （）求证：平面AEC 平面BDE； （）已知点H 在线段BD上，且 / AH 平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值. 19.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支 配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单 位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据 列成如下所示的频数分布表： 组别 0,20) 20,40) 40,60) 60,80) 80,100) 频数 2 250 450 290 8 （）求所得样本的中位数（精确到百元） ；
8、（）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布 2 (51,15 ) N ，若该 所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上； （）已知样本数据中旅游费用支出在80,100范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附：若 2 ( , ) X N : ，则 ( ) 0.6826 P X ，- 5 - ( 2 2 ) 0.9544 P X ， ( 3 3 ) 0.9973 P X . 20.平面直角坐标系xOy中，圆 2 2 2 15 0 x y x 的圆心为M .已知点
9、(1,0) N ，且T 为 圆M 上的动点，线段TN 的中垂线交TM 于点P. （）求点P的轨迹方程； （）设点P的轨迹为曲线 1 C ，抛物线 2 C ： 2 2 y px 的焦点为N . 1 l ， 2 l 是过点N 互相垂 直的两条直线，直线 1 l 与曲线 1 C 交于A，C两点，直线 2 l 与曲线 2 C 交于B，D两点，求四 边形ABCD面积的取值范围. 21.已知函数 2 ( ) 2 ln f x x x a x ， ( ) g x ax . （）求函数 ( ) ( ) ( ) F x f x g x 的极值； （）若不等式 sin ( ) 2 cos x g x 对 0 x
10、恒成立，求a的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的 第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方 程为2 sin( ) 3 0 6 ，曲线C的参数方程是 2cos 2sin x y （ 为参数）. （）求直线l和曲线C的普通方程； （）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求 PA PB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 f x x a x . （）当 1 a 时
11、，解不等式 ( ) 4 f x ； （）若不等式 ( ) 3 f x x 的解集包含0,1，求实数a的取值范围.- 6 - 龙岩市 2018年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）参考答案 一、选择题 1-5: CDDDC 6-10: CBABB 11、12：AB 二、填空题 13. 1 2 14. 48 15. 6 216. 4 3 三、解答题 17.解：（）由 2 4 2 n n n S a a 得 2 1 1 1 4 2 ( 2) n n n S a a n ， 两式相减得 2 2 1 1 4 2 2 n n n n n a a a a a ， 1 1 ( )( ) n n n n a a
12、 a a 1 2( ) 0 n n a a ， 0 n a ， 1 2 n n a a ， 又由 2 1 1 1 1 4 4 2 S a a a 得 1 0 a 得 1 2 a ， n a 是首项为2，公差为2的等差数列， 从而 2 n a n . （）设 n b 公比为q，则由 3 5 8 bb b 可得 2 4 7 16 4 q q q ， 4 q ， 4 n n b ， 数列 n c 满足 4 n n c n ，- 7 - 它的前n项之和 2 3 1 4 2 4 3 4 n T 4 n n ， 2 2 4 1 4 2 4 n T 1 ( 1) 4 4 n n n n ， -得 2 1 3
13、 4 4 4 4 n n n T n 1 4(1 4 ) 4 1 4 n n n 1 4 (4 1) 4 3 n n n ， 1 4 4 4 4 3 9 9 n n n n T 1 3 1 4 4 9 9 n n . 18. 解：（）证明：由平面EDAF 平面ABCD，DE AD ， 平面EDAF 平面ABCD AD ，DE 平面EDAF ， 得DE 平面ABCD，又AC 平面ABCD， AC DE ， 由ABCD为正方形得AC BD ， 又BD DE D ，BD，DE 平面BDE， AC 平面BDE， 又AC 平面AEC ， 平面AEC 平面BDE. （）由ED 平面ABCD得AD ED ，
14、CD ED ， 又AD DC 故以D为原点，DA，DC ，DE 所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴建立图示 空间直角坐标系，则 (2,0,0) A ， (2,2,0) B ， (0,0,3) E ， (2,0,2) F ， 设DH DB ，则 (2 ,2 ,0) H ， 设平面BEF 的一个法向量为 ( , , ) n x y z ， 由 ( 2, 2,3) BE ， (2,0, 1) EF ， 0 0 n BE n EF 得 2 2 3 0 2 0 x y z x z 取 1 x 得 (1,2,2) n ， / AH 平面BEF ， (2 2,2 ,0) AH ，- 8 - 2 2 4 0
15、， 1 3 ， 2 2 ( , ,0) 3 3 H ， 4 2 ( , , 2) 3 3 FH ， 设FH 与平面BEF 所成的角为 ，则 sin cos , n FH 4 2 14 n FH n FH 14 7 ， FH 与平面BEF 所成角的正弦值为 14 7 . 19. 解：（）设样本的中位数为x，则 2 250 450 ( 40) 0.5 1000 1000 1000 20 x ， 解得 51 x ，所得样本中位数为5100. （） 51 ， 15 ， 2 81 ， 旅游费用支出在8100元以上的概率为 ( 2 ) P x 1 ( 2 2 ) 2 P x 1 0.9544 0.0228
16、 2 ， 0.0228 65000 1482 ， 估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上. （）Y 的可能取值为0，1，2，3， 3 5 3 8 5 ( 0) 28 C P Y C ， 1 2 3 5 3 8 15 ( 1) 28 C C P Y C ， 2 1 3 5 3 8 15 ( 2) 56 C C P Y C ， 3 3 3 8 1 ( 3) 28 C P Y C ，- 9 - Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 28 1 56 5 15 0 1 28 28 EY 15 1 9 2 3 56 56 8 . 20.解：（）P为线段TM 中垂线上
17、一点， PM PN PM PT 4 TM ， ( 1,0) M ， (1,0) N ，4 2 MN ， P的轨迹是以 ( 1,0) M ， (1,0) N 为焦点，长轴长为4的椭圆， 它的方程为 2 2 1 4 3 x y . （） 2 2 y px 的焦点为(1,0)， 2 C 的方程为 2 4 y x ， 当直线 1 l 斜率不存在时， 2 l 与 2 C 只有一个交点，不合题意. 当直线 1 l 斜率为0时，可求得 4 AC ， 4 BD ， 1 8 2 ABCD S AC BD . 当直线 1 l 斜率存在且不为0时， 方程可设为 ( 1)( 0) y k k k ，代入 2 2 1
18、4 3 x y 得 2 2 2 (3 4 ) 8 k x k x 2 4 12 0 k ， 2 144( 1) 0 k ， 设 1 1 ( , ) A x y ， 2 2 ( , ) B x y ，则 2 1 2 2 8 3 4 k x x k ， 2 1 2 2 4 12 3 4 k x x k ， 2 1 2 1 AC k x x 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 4 k x x x x 2 2 12(1 ) 3 4 k k . 直线 2 l 的方程为 1 ( 1) y x k 与 2 4 y x 可联立得 2 2 (2 4 ) 1 0 x k x ， 设 3 3 ( , ) B x y
19、 ， 4 4 ( , ) D x y ，则 2 1 2 2 4 4 BD x x k ，- 10 - 四边形ABCD的面积 1 2 S AC BD 2 2 2 1 12(1 ) (4 4 ) 2 3 4 k k k 2 2 2 24(1 ) 3 4 k k . 令 2 3 4k t ，则 2 3 ( 3) 4 t k t ， 2 3 24(1 ) 4 ( ) t S t t 3 1 ( 2) 2 t t ， ( ) S t 在(3, ) 是增函数， ( ) S(3) 8 S t ， 综上，四边形ABCD面积的取值范围是8, ) . 21. 解：（） 2 ( ) 2 ln F x x x a x
20、 ax ， 2 2 ( 2) ( ) x a x a F x x (2 )( 1) x a x x ， ( ) F x 的定义域为(0, ) . 0 2 a 即 0 a 时， ( ) F x 在(0,1)上递减， ( ) F x 在(1, ) 上递增， ( ) 1 F x a 极小 ， ( ) F x 无极大值. 0 1 2 a 即 2 0 a 时， ( ) F x 在(0, ) 2 a 和(1, ) 上递增，在( ,1) 2 a 上递减， ( ) ( ) 2 a F x F 极大 2 ln( ) 4 2 a a a a ， ( ) (1) 1 F x F a 极小 . 1 2 a 即 2 a
21、 时， ( ) F x 在(0, ) 上递增， ( ) F x 没有极值. 1 2 a 即 2 a 时， ( ) F x 在(0,1)和( , ) 2 a 上递增， ( ) F x 在(1, ) 2 a 上递减， ( ) (1) 1 F x f a 极大 ， ( ) ( ) 2 a F x F 极小 2 ln( ) 4 2 a a a a . 综上可知： 0 a 时， ( ) 1 F x a 极小 ， ( ) F x 无极大值； 2 0 a 时， ( ) ( ) 2 a F x F 极大 2 ln( ) 4 2 a a a a ， ( ) (1) 1 F x F a 极小 ； 2 a 时， (
22、 ) F x 没有极值；- 11 - 2 a 时， ( ) (1) 1 F x f a 极大 ， ( ) ( ) 2 a F x F 极小 2 ln( ) 4 2 a a a a . （）设 sin ( ) 2 cos x h x ax x ( 0) x ， 2 1 2cos ( ) (2 cos ) x h x a x ， 设 cos t x ，则 1,1 t ， 2 1 2 ( ) (2 ) t t t ， 4 2( 2)( 1) ( ) (2 ) t t t t 3 2( 1) 0 (2 ) t t ， ( ) t 在 1,1 上递增， ( ) t 的值域为 1 1, 3 ， 当 1 3
23、 a 时， ( ) 0 h x ， ( ) h x 为0, 上的增函数， ( ) (0) 0 h x h ，适合条件. 当 0 a 时， 1 ( ) 0 2 2 2 h a ，不适合条件. 当 1 0 3 a 时，对于0 2 x ， sin ( ) 3 x h x ax ， 令 sin ( ) 3 x T x ax ， cos ( ) 3 x T x a ， 存在 (0, ) 2 x ，使得 0 (0, ) x x 时， ( ) 0 T x ， ( ) T x 在 0 (0, ) x 上单调递减， 0 ( ) (0) 0 T x T ， 即在 0 (0, ) x x 时， ( ) 0 h x
24、，不适合条件. 综上，a的取值范围为 1 , ) 3 . 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：（）2 sin( ) 3 0 6 ， 化为 3 sin cos 3 0 ， 即l的普通方程为 3 3 0 x y ， 2cos 2sin x y 消去 ，得C的普通方程为 2 2 4 x y .- 12 - （）在 3 3 0 x y 中令 0 y 得 (3,0) P ， 3 3 k ，倾斜角 5 6 ， l的参数方程可设为 5 3 cos 6 5 0 sin 6 x t y t 即 3 3 2 1 2 x t y t ， 代入 2 2 4 x y 得 2 3 3 5 0 t t ， 7 0 ，
25、方程有两解， 1 2 3 3 t t ， 1 2 5 0 tt ， 1 t ， 2 t 同号， 1 2 PA PB t t 1 2 3 3 t t . 23. 选修4-5：不等式选讲 解：（） 1 a 时， ( ) 4 f x 2 2 1 4 x x 或 2 1 3 4 x 或 1 2 1 4 x x ， 5 2 x 或x 或 3 2 x ， 解集为 5 3 ( , , ) 2 2 . （）由已知 ( ) 3 f x x 在0,1上恒成立， 2 0 x ， 3 0 x ， 1 x a 在0,1上恒成立， y x a 的图象在( , ) a 上递减，在( , ) a 上递增， 0 1 1 1 0 2 1 1 a a a a ， a的取值范围是0,1.
