1、第 节 正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法 题号用正、余弦定理解三角形 1、2、7、10三角形面积问题 4判定三角形的形状 3、9实际应用题 6、11综合应用 5、8、12一、选择题1.(2012河南郑州质检 )已知ABC,sin Asin Bsin C=11 ,则此三2角形的最大内角的度数是( B )(A)60 (B)90 (C)120 (D)135解析:依题意和正弦定理知,abc=11 ,且 c最大.2设 a=k,b=k,c= k(k0),2由余弦定理得,cos C= =0,2+2( 2)222又 01. 403220 3角 B不存在,即满足条件的三角形不存在.故选 C.
2、3.(2012湖南十校联考 )若 = = ,则 ABC 是( C ) (A)等边三角形(B)直角三角形,且有一个角是 30(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形,且有一个角是 30解析:在ABC 中,将 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入 = = 得 = = ,所以 = =1.所以 tan B=tan C=1, 2 2 2 所以 B=C=45.所以ABC 是等腰直角三角形.故选 C.4.(2012天津模拟)在 ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且 a=1,b= ,则 SABC等于( C )3(A) (B) (
3、C) (D)22 332解析:A、B、C 成等差数列,A+C=2B,B=60.又 a=1,b= ,3 = , sin A= = = , 32 1312A=30,C=90.S ABC = 1 = .故选 C.12 3 325.(2012年高考陕西卷 )在ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若a2+b2=2c2,则 cos C 的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)-32 22 12 12解析:由余弦定理,知cos C= = = = ,2+222 2222 22 22+212当且仅当 a=b时,cos C取得最小值 .故选 C.126. 如图所示,我炮兵阵地位于
4、A 处,两观察所分别设于 B,D 处,已知ABD为边长等于 a 的正三角形,当目标出现于 C 处时, 测得BDC=45,CBD=75,则炮击目标的距离 AC 为( D )(A)2a (B) a (C) a (D) a463 374 5+233解析:在BCD 中,由正弦定理得 = ,60 45所以 BC= a.在ABC 中,由余弦定理得:63AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,所以 AC= a,5+233即炮击目标的距离 AC为 a.故选 D.5+233二、填空题7.(2012年高考北京卷 )在ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b= .14解析:在ABC 中,
5、由 b2=a2+c2-2accos B及 b+c=7知,b2=4+(7-b)2-22(7-b) .(14)整理得 15b-60=0,b=4.答案:48.(2012安徽淮南质检 )在ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为a、b、c,若 a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且 ab,则 B= . 解析:由 ab,得 ab=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即 sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因为
6、sin A0,故 cos B= ,因此 B= .12 3答案:39.在ABC 中 ,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c 若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,则ABC 的形状为 . 解析:由 sin C+sin (B-A)=sin 2A得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sinBcos A=2sin Acos A.cos A=0 或 sin A=sin B.040=AQ,且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EPBC 于点 P,在 RtQPE 中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45-B)=1555=3 0)图象2 (+3)的两个
7、相邻交点,且 AB= . 2(1)求 的值;(2)在锐角 ABC 中,a、 b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f(A)=- ,c=3,32ABC 的面积为 3 ,求 a 的值.3解:(1 )f(x)=cos x+ cos x- sin x12 32= cos x- sin x32 32=- sin ,3 (3)由函数的图象及 AB= ,2得到函数的周期 T= =2 ,2 2解得 =2.(2)f(A)=- sin =- ,3 (23) 32sin = .(23) 32又ABC 是锐角三角形,- 2A- ,3 3232A- = ,33即 A= ,3由 SABC= bcsin A= =3 ,得 b=4,12 32 32 3由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=42+32-243 =13,12a= .13
