1、第二章：推理与证明,2.1.1 合情推理(2),复习,1.什么是归纳推理?,部分 整体,特殊 一般,2.归纳推理的一般模式:,二、除了归纳，在人们的创造发明活动中， 还常常应用类比。例如：,2.人们仿照鱼类的外型和它们在 水中沉浮的原理,发明了潜水艇.,3、火星上是否存在生命？,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,3、火星上是否存在生命？,以上几个例子均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理.(简称:类比法),（2）类比推理的一般模式为
2、:,注：（1）类比推理是由一类对象特征到另一类对象特征的推理。,类比推理基础,类比推理,以已知的、旧的知识为基础,由特殊到特殊的推理,类比推理的结论不一定成立,注意,类比推理的作用,推测新的结果，具有发现的功能,2、类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,结论不一定成立.,1、归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,比较两个推理：,例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;,猜
3、想不等式的性质：,(1) aba+cb+c;,(2) ab acbc;,(3) aba2b2;,例题解析：,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.,若a,bR,则abR,ab=ba (ab)c=a(bc),乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/a,a1=a,例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.,圆 弦 直径周长 面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不
4、相等,距圆心较近的弦较长,以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2,圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2,利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,3个面两两垂直的四面体,PDFPDEEDF90 三个两两垂直的面S1，S2，S3和 1个“斜面” S,例题4：类比平面内
5、直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。,？,c2=a2+b2,分析：,PEF的面积为S,下面证明猜想是否成立：,过D点作DMEF,垂足为M，连接PM，则PMEF,变式练习：在三角形ABC中有结论：AB+BCAC，类似地在四面体P-ABC中有 .,P,S1,S2,S3,PAB的面积为S,图(1),图(2),练习3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.,归纳推理和类比推理的过程,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.,附加题(2001上海)已知两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为：- - - -.,(x-a)2+(y-b)2=r2与(x-c)2+(y-d)2=r2（ac或,设圆的方程为,bd),则由式减去式可得上述两圆的对称轴,方程.,五、课堂小结：,1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：,原问题,类比问题,2、运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象。,
