1、九年级数学(下)第二十七章 二次函数,27二次函数与一元二次方程,1、 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 = 。方程根的情况是：当0 时方程 ；当=0时，方程 ；当0时，方程 。,b2-4ac,有两个不等实数根,有两个相等实数根,没有实数根,2 、 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a0)图像是一条 ，,抛物线,复习提问,1、二次函数图像与x轴交点个数有几种情况？想一想， 画一画,y,0,三种可能：两个交点 一个交点 没有交点。,自主学习一：,(1). 图象y=x2+2x与x轴交点个数( ) 一元二次方程x2+2x=0根的个数 ( )(2)图象y=x2-2x
2、+1与x轴交点个数( ) 一元二次方程x2-2x+1=0根的个数( )(3)图象y=x2-2x+2与x轴交点个数( ) 一元二次方程x2-2x+2=0根的个数( ),二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图：,y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2,自主学习二： 二次函数与x轴交点与一元二次方程的根有什么关系?,两个交点,一个交点,没有交点,0，有两个不相等实数根,=0，有两个相等实数根,0无实数根,. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4a
3、c 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,想一想 填一填,自主学习三： 二次函数图象和x轴交点坐标与 一元二次方程的根有什么关系?,y=x2+2x与 x轴交点,X1 =-2 X2 =0,(-2,0) (0,0）,x2+2x=0方程的根是,令 y=0,交点的横坐标是一元二次方程的根,（2, 0）（4,0 ）,X1 =2 X2 =4,y=x2-6x+8与x轴交点是,x2-6x+8=0方程的根是,令y=0,与x轴交点的横坐标是当y=0时自变量x的值 即方程ax2+bx+c=0的根.,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点坐标与一元二次
4、方ax2+bx+c=0的根有什么关系?,2.抛物线y=x2-4x+4与轴有 个交点，坐标是 。 3.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明,1 . 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。,（-2，0）、（3，0）,一,（2，0）,4 不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。,解：解方程x2-3x-4=0得： x1=-1，x2=4抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是：(-1，0)和(4，0),跟踪练习一,5.若函数 图象与x 轴
5、是只有一个公共点,求m的值.,解： 图象与x 轴是只有一个公共点则=0即 36-4m=0 m=9,c,1,0,1,x,y,M,N,2,3,2,y=x2-4x+4,一元二次方程x2-4x+4=1的根二次函数y=x2-4x+4的图象与直线（ ）交点的横坐标,能力升华,直线y=1,一元二次方程x2-4x+4=0的根是函数y=x2-4x+4的图象与（ ）交点的横坐标。,1,0,x,N,2,y=x2-4x+4,直线y=0,直线y=0,y,方程x2-4x+4=1的根（x1= x2= ),1,3,X轴,直线y=1,(x-2)2=1,(x-2)=1,X-2=-1 或 x-2=1,一元二次方ax2+bx+c=k
6、的根是函数y=ax2+bx+c的图象和 交点横坐标,y,x,0,直线y=k,直线y=k,x1,x2,跟踪练习二,函数的图象y=ax2+bx+c如图所示， 那么 (1)关于ax2+bx+c=0的一元二次方程的根的情况是( ) (2)关于ax2+bx+c=4的一元二次方程的根的情况是( ) (3)关于ax2+bx+c=2的一元二次方程的根的情况是( ),x,y,0,4,-2,Y=0,Y=4,Y=2,2,两个不相等的实数根,无实数根,两个相等的实数根,1).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.,由上抛小球落地的时间想到,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h
7、=-5t2+40t表示,例1学以致用,2） 小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m,你是如何知道的，你有几种方法,3）对于上题来说，方程-5t2+40t=80的根 的实际意义是什么？,（2）方法二：利用方程：把h=60 代入得 -5t2+40t=60解得x1=2 x2=6,-5t2+40t=80 当h=80时，相对应的t,(1)方法一：利用图像,简单运用,答案： （1）A（-1，0），B（4，0）； （2）x=-1或4； （3） x=-1或4； （4）方程的解就是二次函数的交点的横坐标。,例题精析,答案： （1）0，函数的图象与x轴有两个交点； （2）0，函数的图象与x轴有一个交点； （
8、3）0，函数的图象与x 轴没有交点。,思维迁移,B,D,证明：= 又不论m为何值， 0 0， 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.,课堂小结,若二次函数y=ax 2+bx+c的图象和x轴交点坐标(X1 ,0) (X2 ,0),则二次函数的表达式可表示为 这种表示方法称为二次函数的交点式。,若一元二次方程ax 2+bx+c=0两个根为x 1 , x2 则一元二次方程可化为,Y=a(x-x1)(x-x2),(x-x1)(x-x2)=0,友情提示：二次函数有哪几种表达形式？,解：,设所求的二次函数为 y=a(x1)(x2）,因为,点M( 0,2 )在抛物线上,所以：a(0+1)(0-2)=2,
9、得 ： a=-1,故所求的抛物线为 y=- (x1)(x-2),即：y=x2+x+2,思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?,例2,要化成 一般式,课堂小结,2. 二次函数与一元二次方程的关系,y=ax2+bx+c,ax2+bx+c=k,y取定值k,方程的根,交点的横坐标,与直线y=k,1.二次函数y=ax2+bx+c与X轴交点个数的确定,3.用交点式求二次函数表达式,数形结合的思想,1、已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如 下图所示，请写出方程ax2+bx+c=0(a0)的根,2、抛物线y=-3（x2）（x5）与x轴的交点坐标为_,3二次函数y=kx24x4的图象与x轴有交点，则k 的取值范围 ,目标检测,相信自己，我能行,X1=-2 ,x2=1,(2,0) (-5,0),K-1且k0,4.已知二次函数图象过（-1,0），（3，0）和（1，-8）三点，求二次函数表达式。,Y=2(x+1)(x-3)即：Y=2x2-4x-6,再见,祝同学们学习进步!,
