1、1第 3 课时 平面与平面平行学习目标 1.掌握平面与平面的位置关系，会判断平面与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系.3.掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题知识点一 平面与平面平行的判定思考 三角板的两条边所在直线分别与平面 平行，这个三角板所在平面与平面 平行吗？答案 平行梳理 平面平行的判定定理及推论判定定理 推论文字语言如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行符号语言l ， m ， l ， m ， l m A a c， b d
2、， a b A， a ， b， c ， d 图形语言知识点二 平面与平面平行的性质观察长方体 ABCD A1B1C1D1的两个面：平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1.思考 1 平面 A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面 ABCD 吗？答案 是的思考 2 过 BC 的平面交平面 A1B1C1D1于 B1C1， B1C1与 BC 是什么关系？答案 平行2梳理 平面平行的性质定理及推论性质定理 推论文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例符号语言 ， a， ba b ， m A， m B，m C， n E， n F，
3、n G ABBC EFFG图形语言1若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行( )2若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行( )3如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )类型一 平面与平面平行的判定例 1 如图所示，在正方体 AC1中， M， N， P 分别是棱 C1C， B1C1， C1D1的中点，求证：平面MNP平面 A1BD.证明 如图，连接 B1C.由已知得 A1D B1C，且 MN B1C， MN A1D.3又 MN平面 A1BD， A1D平面 A1BD， MN平面 A1BD.连接 B1D1，同理可证
4、PN平面 A1BD.又 MN平面 MNP， PN平面 MNP，且 MN PN N，平面 MNP平面 A1BD.引申探究若本例条件不变，求证：平面 CB1D1平面 A1BD.证明 因为 ABCD A1B1C1D1为正方体，所以 DD1綊 BB1，所以 BDD1B1为平行四边形，所以 BD B1D1.又 BD平面 CB1D1， B1D1平面 CB1D1，所以 BD平面 CB1D1，同理 A1D平面 CB1D1.又 BD A1D D，所以平面 CB1D1平面 A1BD.反思与感悟 判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法(2)利用判定定理：一个平面内的两条
5、相交直线分别平行于另一个平面证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线(3)转化为线线平行：平面 内的两条相交直线与平面 内的两条直线分别平行，则 .(4)利用平行平面的传递性：若 ， ，则 .跟踪训练 1 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F， G， H 分別是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点，求证：4(1)B， C， H， G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1)因为 G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点，所以 GH 是 A1B1C1的中位线，所以 GH B1C1.又因为 B
6、1C1 BC，所以 GH BC，所以 B， C， H， G 四点共面(2)因为 E， F 分别是 AB， AC 的中点，所以 EF BC.因为 EF平面 BCHG， BC平面 BCHG，所以 EF平面 BCHG.因为 A1G EB， A1G EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1E GB.因为 A1E平面 BCHG， GB平面 BCHG，所以 A1E平面 BCHG.因为 A1E EF E，所以平面 EFA1平面 BCHG.类型二 面面平行性质的应用命题角度 1 与面面平行性质有关的计算例 2 如图，平面 ， A、 C ， B、 D ，直线 AB 与 CD 交于 S，且AS8，
7、BS9， CD34，求 CS 的长证明 设 AB， CD 共面 ，因为 AC， BD，且 ，5所以 AC BD，所以 SAC SBD，所以 ，SCSC CD SASB即 ，所以 SC272.SCSC 34 89引申探究若将本例改为：点 S 在平面 ， 之间(如图)，其他条件不变，求 CS 的长解 设 AB，CD 共面 ， AC， BD.因为 ，所以 AC 与 BD 无公共点，所以 AC BD，所以 ACS BDS，所以 .ASBS CSDS设 CS x，则 ，所以 x16，x34 x 89即 CS16.反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练 2 如图所示，平面 平面 ， AB
8、C， A B C分别在 ， 内，线段AA， BB， CC共点于 O， O 在平面 和平面 之间，若 AB2， AC2， BAC60，OA OA32，则 A B C的面积为_答案 4396解析 AA， BB相交于 O，所以 AA， BB确定的平面与平面 ，平面 的交线分别为AB， A B，有 AB A B，且 ，同理可得 ， OAOA ABA B 32 OAOA ACA C 32 OAOA ，所以 ABC， A B C面积的比为 94，又 ABC 的面积为 ，BCB C 32 3所以 A B C的面积为 .439命题角度 2 利用面面平行证明线线平行例 3 如图所示，平面四边形 ABCD 的四个
9、顶点 A， B， C， D 均在平行四边形 A B C D外，且 AA， BB， CC， DD互相平行，求证：四边形 ABCD 是平行四边形证明 四边形 A B C D是平行四边形， A D B C. A D平面 BB C C， B C 平面 BB C C， A D平面 BB C C.同理 AA平面 BB C C. A D平面 AA D D， AA 平面 AA D D，且 A D AA A，平面 AA D D平面 BB C C.又 AD， BC 分别是平面 ABCD 与平面 AA D D，平面 BB C C 的交线， AD BC.同理可证 AB CD.四边形 ABCD 是平行四边形反思与感悟
10、本例充分利用了 A B C D的平行关系及 AA， BB， CC， DD间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性质定理得线线平行跟踪训练 3 如图，已知 E， F 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 AA1， CC1的中点，求证：四边形 BED1F 是平行四边形证明 如图，连接 AC， BD，交点为 O，连接 A1C1， B1D1，交点为 O1，连接 BD1， EF， OO1，设 OO1的中点为 M，7由正方体的性质可得四边形 ACC1A1为矩形又因为 E， F 分别为 AA1， CC1的中点，所以 EF 过 OO1的中点 M，同理四边形 BDD1B1为矩形，B
11、D1过 OO1的中点 M，所以 EF 与 BD1相交于点 M，所以 E， B， F， D1四点共面又因为平面 ADD1A1平面 BCC1B1，平面 EBFD1平面 ADD1A1 ED1，平面 EBFD1平面 BCC1B1 BF，所以 ED1 BF.同理， EB D1F.所以四边形 BED1F 是平行四边形类型三 平行关系的综合应用例 4 设 AB， CD 为夹在两个平行平面 ， 之间的线段，且直线 AB， CD 为异面直线，M， P 分别为 AB， CD 的中点求证： MP平面 .证明 如图，过点 A 作 AE CD 交平面 于点 E，连接 DE， BE. AE CD， AE， CD 确定一个
12、平面，设为 ，则 AC， DE.又 ， AC DE(平面平行的性质定理)，取 AE 的中点 N，连接 NP， MN， M， P 分别为 AB， CD 的中点， NP DE， MN BE.又 NP ， DE ， MN ， BE ， NP ， MN ， NP MN N，平面 MNP .8 MP平面 MNP， MP ， MP .反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练 4 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1上的点，问
13、：当点 Q 在什么位置时，使得平面 D1BQ平面 PAO?解 当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO. Q 为 CC1的中点， P 为 DD1的中点，连接 PQ，如图，易证四边形 PQBA 是平行四边形， QB PA.又 AP平面 APO， QB平面 APO， QB平面 APO. P， O 分别为 DD1， DB 的中点， D1B PO.同理可得 D1B平面 PAO，又 D1B QB B，平面 D1BQ平面 PAO.1下列命题中正确的是( )A一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C平行于同一直线
14、的两个平面一定相互平行D如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行9答案 B解析 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以 B 正确2在正方体 EFGH E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是( )A平面 E1FG1与平面 EGH1B平面 FHG1与平面 F1H1GC平面 F1H1H 与平面 FHE1D平面 E1HG1与平面 EH1G答案 A解析 如图， EG E1G1， EG平面 E1FG1，E1G1平面 E1FG1， EG平面 E1FG1.又 G1F H1E，同理可证 H1E平面 E1FG1，又 H1E EG E
15、，平面 E1FG1 EGH1.3平面 平面 ，平面 平面 ，且 a， b， c， d，则交线 a， b， c， d 的位置关系是( )A互相平行 B交于一点C相互异面 D不能确定答案 A解析 由平面与平面平行的性质定理知， a b， a c， b d， c d，所以 a b c d，故选 A.4若平面 平面 ， a ，下列说法正确的是_ a 与 内任一直线平行； a 与 内无数条直线平行； a 与 内任一直线不垂直； a 与 无公共点答案 10解析 a ， ， a ， a 与 无公共点，正确；如图，在正方体中，令线段 B1C1所在的直线为 a，显然 a 与 内无数条直线平行，故正确；又 AB
16、B1C1，故在 内存在直线与 a 垂直，故错误5如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM DN.求证：MN平面 AA1B1B.证明 如图，作 MP BB1交 BC 于点 P，连接 NP， MP BB1， .CMMB1 CPPB BD B1C， DN CM， B1M BN， ，CMMB1 DNNB ，CPPB DNNB NP CD AB. NP平面 AA1B1B，AB平面 AA1B1B， NP平面 AA1B1B. MP BB1， MP平面 AA1B1B，BB1平面 AA1B1B， MP平面 AA1B1B.又 MP平面 MNP， NP平面
17、 MNP， MP NP P，11平面 MNP平面 AA1B1B. MN平面 MNP， MN平面 AA1B1B.1常用的平面与平面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行2空间中各种平行关系相互转化关系的示意图一、选择题1已知 ， 是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面 与平面 平行的是( )A平面 内有一条直线与平面 平行B平面 内有两条直线与平面 平行C平面 内有一条直线与平面 内的一条直
18、线平行D平面 与平面 不相交答案 D解析 选项 A、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项 B 不正确，因为平面 内的这两条直线必须相交才能得到平面 与平面 平行；选项 D 正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种故选 D.2.如图，若经过 D1B 的平面分别交 AA1和 CC1于点 E， F，则四边形 D1EBF 的形状是( )12A矩形B菱形C平行四边形D正方形答案 C解析 因为平面和左右两个侧面分别交于 ED1， BF，所以 ED1 BF，同理 D1F EB，所以四边形 D1EBF 是平行四边形3六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平
19、行的有( )A1 对 B2 对 C3 对 D4 对答案 D解析 由图知平面 ABB1A1平面 EDD1E1，平面 BCC1B1平面 FEE1F1，平面 AFF1A1平面CDD1C1，平面 ABCDEF平面 A1B1C1D1E1F1，此六棱柱的面中互相平行的有 4 对4.如图所示， P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 平面 ABC， 分别交线段PA， PB， PC 于 A， B， C，若 PA AA23，则 S A B C S ABC等于( )A225 B425C25 D45答案 B解析 平面 平面 ABC，平面 PAB 与它们的交线分别为 A B， AB， AB A B，同理 B C
20、BC，易得 ABC A B C，S A B C S ABC 2 2 .(A BAB ) (PAPA) 4255已知 a， b 表示直线， ， 表示平面，下列选项正确的是( )A a， b a b13B a， a bb 且 b C a ， b ， a ， b D ， a， ba b答案 D解析 A 中 a， b ， a， b 可能平行也可能相交；B 中 a， a b，则可能b ，也可能 b 在平面 或 内；C 中 a ， b ， a ， b ，根据平面平行的性质定理，若加上条件 a b A，则 .故选 D.6在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M 为棱 A1D1的动点， O 为底面 ABC
21、D 的中心， E， F 分别是A1B1， C1D1的中点，则下列平面中与 OM 扫过的平面平行的是( )A面 ABB1A1 B面 BCC1B1C面 BCFE D面 DCC1D1答案 C解析 取 AB、 DC 的中点分别为 E1和 F1， OM 扫过的平面即为面 A1E1F1D1(如图)，故面 A1E1F1D1面 BCFE.7如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G 分别是 A1B1， B1C1， BB1的中点，给出下列四个推断： FG平面 AA1D1D； EF平面 BC1D1； FG平面 BC1D1；平面 EFG平面 BC1D1.其中推断正确的是( )A B C D答案
22、A解析 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G 分别是 A1B1， B1C1， BB1的中点， FG BC1. BC1 AD1， FG AD1， FG平面 AA1D1D，AD1平面 AA1D1D， FG平面 AA1D1D，故正确； EF A1C1， A1C1与平面 BC1D1相交， EF与平面 BC1D1相交，故错误； FG BC1， FG平面 BC1D1， BC1平面 BC1D1，14FG平面 BC1D1，故正确； EF 与平面 BC1D1相交，平面 EFG 与平面 BC1D1相交，故错误故选 A.二、填空题8如图所示，平面四边形 ABCD 所在的平面与平面 平行，且四边形
23、 ABCD 在平面 内的平行投影 A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形 ABCD 的形状一定是_形答案 平行四边解析 由夹在两平行平面间的平行线段相等可得9.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，过 BB1的中点 E 作一个与平面 ACB1平行的平面交 AB与 M，交 BC 与 N，则 _.MNAC答案 12解析 平面 MNE平面 ACB1，由平面平行的性质定理可得 EN B1C， EM B1A，又 E 为 BB1的中点， M， N 分别为 BA， BC 的中点， MN AC.即 .12 MNAC 1210已知三棱柱 ABC A1B1C1， D， E， F 分别是棱 AA1， B
24、B1， CC1的中点，则平面 DEF 与平面ABC 的位置关系是_答案 平行解析 D， E， F 分别是棱 AA1， BB1， CC1的中点，在平行四边形 AA1B1B 与平行四边形 BB1C1C 中， DE AB， EF BC，又 DE平面 ABC， EF平面 ABC， DE平面 ABC， EF平面 ABC.又 DE EF E，平面 DEF平面 ABC.11如图所示的正方体的棱长为 4， E， F 分别为 A1D1， AA1的中点，过 C1， E， F 的截面的周15长为_答案 4 65 2解析 由 EF平面 BCC1B1可知平面 BCC1B1与平面 EFC1的交线为 BC1，平面 EFC1
25、与平面ABB1A1的交线为 BF，所以截面周长为 EF FB BC1 C1E4 6 .5 216三、解答题12.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， M 是 A1C1的中点，平面 AB1M平面 BC1N， AC平面BC1N N.求证： N 为 AC 的中点证明 平面 AB1M平面 BC1N，平面 ACC1A1平面 AB1M AM，平面 BC1N平面 ACC1A1 C1N， C1N AM，又 AC A1C1，四边形 ANC1M 为平行四边形， AN C1M A1C1 AC，12 12 N 为 AC 的中点13如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是 BC 上一点， M， N 分
26、别是 AE， CD1的中点，AD AA1 a， AB2 a，求证： MN平面 ADD1A1.证明 如图，取 CD 的中点 K，连接 MK， NK.因为 M， N， K 分别是 AE， CD1， CD 的中点，所以 MK AD， NK DD1.又 MK平面 ADD1A1， AD平面 ADD1A1，所以 MK平面 ADD1A1.同理 NK平面 ADD1A1.又 MK NK K，所以平面 MNK平面 ADD1A1，又 MN平面 MNK，所以 MN平面 ADD1A1.17四、探究与拓展14如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形， E， F， G， H 分别为PA， PD， PC， P
27、B 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：平面 EFGH平面 ABCD；平面 PAD BC；平面 PCD AB；平面 PAD平面 PAB.其中正确的有( )A BC D答案 C解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则 EH AB，所以 EH平面 ABCD.同理可证EF平面 ABCD，所以平面 EFGH平面 ABCD；平面 PAD，平面 PBC，平面 PAB，平面 PDC 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交 AB CD，平面 PCD AB.同理平面 PAD BC.15.如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， D 是棱 CC1的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由解 存在点 E，且 E 为 AB 的中点时， DE平面 AB1C1.证明如下：如图，取 BB1的中点 F，连接 DF，则 DF B1C1，因为 AB 的中点为 E，连接 EF，则EF AB1， B1C1 AB1 B1， EF DF F，所以平面 DEF平面 AB1C1.又 DE平面 DEF，所以 DE平面 AB1C1.
