1、 投资的收益和风险问题线性规划分析1 问题的提出市场上有 n 种资产（如股票、债券、）S i（i1，n）供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 S i 的平均收益率为 r i，并预测出购买 S i 的风险损失率为 q i. 考虑到投资越分散、总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 S i 中最大的一个风险来度量. 购买 S i 要付交易费，费率为 p i，并且当购买额不超过给定值 u i 时，交易费按购买 u i 计算（不买当然无须付费）. 另外，假定同期
2、银行存款利率是 r0，且既无交易费又无风险. （r 05）已知 n4 时的相关数据如下：n 的相关数据Si ri() qi() pi() ui(元)S1 28 2.5 1.0 103S2 21 1.5 2.0 198S3 23 5.5 4.5 52S4 25 2.6 6.5 40试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小. 2 模型的建立模型 1.总体风险用所投资 Si中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是 k，即要求总体风险 Q(x)限制在风险 k 以内：Q(x) k 则模型可转化为：maxs.t ,0R
3、QFxM 模型 2. 假设投资的盈利水平是 h，即要求净收益总额 R（x）不少于 h：R（x）h，则模型可转化为： mins.t 0QxhFxMx 模型 3.要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此，假定投资者对风险收益的相对偏好参数为 （0） ，则模型可转化为： min1s.t0QxRxFM（ ） 3. 模型的化简与求解由于交易费 c i(xi)是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 S i，其投资额 x i 一般都会超过
4、u i，于是交易费 c i(xi)可简化为线性函数从而，资金约束简化为.iicxp00()()(1)nni iiFfxpxM净收益总额简化为 000()()()()nnniiiiiii iRxrcxrpx在实际进行计算时，可设 M=1，此时 101iiypxn（ ） （ ， ， ， ）可视作投资 S i 的比例. 以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.1）模型 1 的求解模型 1 的约束条件 Q(x) k 即，00()max()ax()i iininQqk所以此约束条件可转化为 01iqxkin （ ， ， ， ）这时模型 1 可化简为如下的线性规划问题： 00max()s.t ,
5、 =12, ()0niiiniirpxqkn具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表 3-1 给定的数据，模型为：Max 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4s.t. 0.025x1k，0.015x 2k，0.055x 3k，0.026x 4k，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，x i0（i0，1，4）利用 MATLAB7.0 求解模型 1，以 k=0.005 为例：输出结果是0.177638, x0 0.158192, x 1 0.2,x 2 0.333333, x 3 0.0909091,x4 0.19230
6、8这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.当 k 取不同的值（00.03） ，风险与收益的关系见下图：0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250.050.10.150.20.250.3收收 a收收模型 1 风险与收益的关系图输出结果列表如下：模型 1 的结果风险 k 净收益 R x0 x1 x2 x3 x40 0.05 1. 0 0 0 00.002 0.101055 0.663277 0.08 0.133333 0.0363636 0.076
7、92310.004 0.15211 0.326554 0.16 0.266667 0.0727273 0.1538460.006 0.201908 0 0.24 0.4 0.109091 0.2212210.008 0.211243 0 0.32 0.533333 0.127081 00.010 0.21902 0 0.4 0.584314 0 00.012 0.225569 0 0.48 0.505098 0 00.014 0.232118 0 0.56 0.425882 0 00.016 0.238667 0 0.64 0.346667 0 00.018 0.245216 0 0.72 0
8、.267451 0 00.020 0.251765 0 0.8 0.188235 0 00.022 0.258314 0 0.88 0.10902 0 00.024 0.264863 0 0.96 0.0298039 0 00.026 0.267327 0 0.990099 0 0 00.028 0.267327 0 0.990099 0 0 00.030 0.267327 0 0.990099 0 0 0从表 3.2 中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的 S 2，然后是 S 1 和 S 4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（r
9、ipi）较大的 S 1 和 S 2这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果2）模型 2 的求解模型 2 本来是极小极大规划： 0minax()iiqs.t. 0()niiirph0(1)niipx0x但是，可以引进变量 x n+1= ，将它改写为如下的线性规划：0max()iinq1ns.t. 10,2,inqxin，, , 0()niiirph0()1iipx0具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表 3.1 给定的数据，模型为：Min x5s.t. 0.025x1x 5，0.015x 2x 5，0.055x 3x 5，0.026x 4x 5，0.05x0+0.27x1+0.
10、19x2+0.185x3+0.185x4h，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，x i0（i0，1，5）利用 MATLAB7.0 求解模型 2，当 h 取不同的值（0.040.26） ，我们计算最小风险和最优决策，结果如表 3 所示，风险和收益的关系见图 2 所示0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020.10.150.20.25收收 收收图 2 模型 2 中风险与收益的关系图表 3 模型 2 的结果净收益水平 h风险 Q x0 x1 x2 x3 x40.06 0.000391733 0
11、.934047 0.0156693 0.0261155 0.00712241 0.01506660.08 0.0011752 0.802142 0.0470079 0.0783465 0.0213672 0.04519990.10 0.00195866 0.670236 0.0783465 0.130578 0.0356121 0.07533320.12 0.00274213 0.538331 0.109685 0.182809 0.0498569 0.1054660.14 0.00352559 0.406426 0.141024 0.23504 0.0641017 0.13560.16 0.
12、00430906 0.27452 0.172362 0.287271 0.0783465 0.1657330.18 0.00509253 0.142615 0.203701 0.339502 0.0925914 0.1958660.20 0.00587599 0.0107092 0.23504 0.391733 0.106836 0.2260.22 0.0102994 0 0.411976 0.572455 0 00.24 0.0164072 0 0.656287 0.330539 0 00.26 0.022515 0 0.900599 0.0886228 0 0从表 3.3 中我们可以推出和
13、模型 1 类似的结果.3）模型 3 的求解类似模型 2 的求解，我们同样引进变量 x n+1= ，将它改写为如0max()iinq下的线性规划：min -（1 ） nx0()niiirpxs.t. 102inqxin， ， ， ， ， 0(1)iipx0x具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题表 3.1 给定的数据，模型为：min x 5（1） （0.05x 0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4）s.t. 0.025x1x 5，0.015x 2x 5，0.055x 3x 5，0.026x 4x 5，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x
14、4=1，xi0（i0，1，5）利用 MATLAB7.0 求解模型 3，当 取不同的值（0.70.98） ，我们计算最小风险和最优决策，风险和收益的关系见图 3输出结果列表如下：表 4 模型 3 的结果偏好系数 风险 Q x0 x1 x2 x3 x40.70 0.0247525 0 0.990099 0 0 00.74 0.0247525 0 0.990099 0 0 00.78 0.00922509 0 0.369004 0.615006 0 00.82 0.00784929 0 0.313972 0.523286 0.142714 00.86 0.0059396 0 0.237584 0.3
15、95973 0.107993 0.2284460.90 0.0059396 0 0.237584 0.395973 0.107993 0.2284460.94 0.0059396 0 0.237584 0.395973 0.107993 0.228446结论：从表 4 的结果可以看出，随着偏好系数 的增加，也就是对风险的日益重视，投资方案的总体风险会大大降低，资金会从净收益率（r ipi）较大的项目 S 1、S 2、S 4，转向无风险的项目银行存款. 这和模型 a 的结果是一致的，也符合人们日常的经验.图 3 模型 3 中风险与收益的关系图结论：模型 3 的风险与收益关系与模型 1 和模型 2 的结果几乎完全一致。0.98 0 1. 0 0 0 0
