1、1投资的收益和风险(CUMCM1998 年 A 题)市场上有 n 种资产 (如股票、债券、) iS(i=1，n) 供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 的平iS均收益率为 ，并预测出购买 的风险损失率为 。考虑到iriSiq投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 中最大的一个iS风险来度量。购买 要付交易费，费率为 ，并且当购买额不超过iSip给定值 时，交易费按购买 计算(不买当然无须付费)。另iuiu外，假定同期银行存款利率是 ( =5)，
2、且既无交易費又0r无风险。1) 已知 n=4 时的相关数据如下：iS()ir()iq()ip( )iu128 2.5 1 103221 1.5 2 1983S23 5.5 4.5 52425 2.6 6.5 40试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，2而总体风险尽可能小。2) 试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 iS()ir()iq()ip( )iu19.6 42 2.1 181218.5 54 3.2 4073S49.4 60 6.0 428423.9 42 1.5 54958.1 1.2 7.6 2706
3、S14 39 3.4 397740.7 68 5.6 178831.2 33.4 3.1 2209S33.6 53.3 2.7 4751036.8 40 2.9 24811.8 31 5.1 19512S9 5.5 5.7 320335 46 2.7 267149.4 5.3 4.5 3285S15 23 7.6 131一. 问题的分析3股票市场千变万化，投资当然是为了有收益，而且当然是收益越大越好。然而伴随着收益的是损失，即风险。高收益往往伴随着高风险。对于投资者来说如何做到既能有较大的收益又要尽可能的减少风险是一个十分重要的问题，分散投资(即组合投资)是化解风险的有效方法。本题显然就是组合
4、投资问题。二. 写出每种资产的交易费、净收益、投资风险及资金约束的表达式设购买 的金额为 ，银行的存款额为 ，所需的iSix0x交易费为 ， ，则iCx0i=1,2,n (1),iiiixpux0iiiiixu对 的投资的净收益(设收益率 已折合到现时)，风iS ir险和所需资金( 购买时所需交易费)分别为 (2)iiiiiRxrCx (3)iiiQq0Q (4)iiiiifxCx所以总收益为4 (5)1niiiRxRx依题意整体风险为 (6)1maxiiinQxQ资金约束为 (7)0niiiFxfx三. 模型的建立根据要求模型应是一个双目标优化问题 (8)min,0QxFxMR四. 模型的求
5、解1. 化双目标问题为单目标问题(1) 固定风险水平 ,求收益 最大,即求解QxkRxmaxRS.t (9),0kFxM(2) 固定收益水平 求风险最小,即求解RhminQxS.t (10),0hFxM5(3) 确定投资者对风险收益的相对偏好参数 0,求解min1QxRxS.t (11),0FM(4) 将收益与风险相比，求解maxRQS.t (12),0FMx2. 化简因为 M 是一笔相当大的数目，所以总可以使对每个的投资超过 ，即 (1)式可简化为iSiu (13)iiiCxpx并且作具体计算时可设 M=1，于是 视作1iipx投资 的比例。这样对固定风险问题可化为求如下线性规iS划问题：0
6、maxniiiirpxs.t i=1,2,niqxk6 (14)01niiipxM给定 k，可以方便地求解。参考结果：(n =4 的情形，M =1) 1201240.5,.9,04.584,01,2.,.7, .30.192j jkxxjxjx对于 (10) (12)式的求解，困难在于 Q(x)是非光滑函数，难于直接用通常的优化算法和现成软件求解，可采用以下两种办法：(以(11) 为例， (10)、(12) 类似)。1) 将(11)化为 n 个线性规划 LP(k) (k=1，2，n)： (15)0min1nkk iiiiLxqxrpxs.t 01niiiikpxMqx1,2,1,iknn 个
7、LP(k)最优值中最小的一个所对应的解即为(11)的最优解。2) 引入新变量 ，求解1nx710minnn iiiiLx rpxs.t 01,niiiinpxMqx (16)01,2,in按(16)式得到的一组解如下( n=4，M=1) 0x12x34x56x0.7 0 0.99 0 0 0 0.080 0.0250.8 0 0.369 0.615 0 0 0.434 0.0090.9 0 0.237 0.400 0.108 0.228 0.153 0.006几个注意的问题1. 风险的确定 风险是人们都能意会、十分熟悉但又没有统一标准的一个量。本题选择 作为投资于1maxiiNq,的总体风险。
8、它反映了风险损失一般不会同,1iSin时发生的现实，也是一些文献中所采用的。但有不少学生采用 Markowitz 的定义，这就背离了题目的要求。这在当年认为是错误的作法，不予得奨。正确的做法应该是在题目的要求下求解,而后再讨论按 Markowitz 的定义，比较两8种定义的差别和优劣。2. 交易费问题 一项商业活动的成本一般由固定成本和可变成本两部分组成。研制开发费、基建费等与产量无关的基本费用属固定成本。原材料、能耗等与产量或经营规模相关的属可变成本。赛题中给出的这类成本函数具有代表性，如开发生产一种新药或软件如此，乘坐出租车也如此。从数学上看，这类成本函数非凸也非连续。因此放到目标函数和约
9、束条件中求解优化问题有一定的困难，没有完全现成的方法可直接利用。另外不少人把交易费不计入投资成本，这是错误的。3. 多目标优化问题 人们的投资总是希望有高的收益而同时尽量回避大的风险。这就构成本题的两个目标的优化问题。通常求解这类问题多采用化为单目标问题来求解，例如,将一个目标固定作为约束条件。4. 简化问题 本题中的成本函数 是分段函数，iiCx由于给定的一笔资金数额相当大，故可认为总有 。iiu同时没有给出 M 的具体数字，故可令 M=1。从而使问题简化。 5. 投资方案问题 由于不同的人对承受风险的能力和收益的期望不同，所以应给 h 和 k 一组不同的值，给出不同的 h 和 k 情况下的
10、投资方案，以供投资决策者选择。 9附 Markowitz 模型Markowitz 模型现代证券组合投资理论的框架是由著名的美国经济学家、诺贝尔经济奖得主 Hany Markowitz 创建的，他提出的Markowitz 组合投资最优化模型( 简称 Markowitz 模型) ，被视为现代资产组合理论的基石。Markowitz 模型是在一定的假设条件下的组合投资优化模型。一. 基本假设Markowitz 为其组合理论提出以下假设：(1) 证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的内在价值，每个投资者都掌握充分的信息，了解每种证券的期望收盖率及标准差；(2) 投资者追求较高的收益、较低的风险，即投资
11、者都是风险的厌恶者(风险回避者)；(3) 投资者以期望收益率及收益率的标准差为选择投资方案的依据；如果要选择风险较高的方案，必须有额外收益作为补偿；(4) 各种证券的收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或协方差来表示。Markowitz 从上述假设出发，经过数学推导，得到了这样的结论：只要组合中的资产不是正相关的，就可以在10不牺牲投资收益率的前提下，减小投资风险。这是Marowitz 组合理论的精髓。根据 Markowitz 理论，为了提高组合的效果，应当尽可能选择负相关和至少相关程度很低的证券组成证券组合，人们有时把这种组合称为Markowitz 证券组合。二. Ma
12、rkowitz 模型收益最大、风险最小，这是投资者追求的两个目标。投资者总是希望两个指标都达到最优，但事实上是不可能的。投资者必须在两者之中作出选择。Markowitz 认为：投资者大多是风险回避者，他们总是在一定预期收益及风险水平上选择组合证券。理性的投资者总是希望在已知风险的条件下，获得最大期望收益；或者在已知期望收益的条件下，使投资风险达到最小。资产组合的总收益可用各个资产预期收益的加权平均值计算，组合资产的风险即收益的不确定性可用方差或标准差描述。Markowitz 利用二次规划建立了一套数学方法，解决了如何通过多元化的组合降低组合资产中的风险问题。设有 n 种不同的风险资产，第 i
13、种风险资产第 t 年的实际收益为 ，n 年实际平均收益率记为 ，itRiR，第 i 种风险资产在组合中的投资比例为 ，1ni itiRix11且 。1,0niiix那么，组合资产的期望收益率 ；假定通1npiiRx过组合，收益率预定达到目标为 r，即满足条件 。1niixRr组合资产的风险用收益率的标准差表示，方差为标准差的平方，即2 2,11,1,nnijii ijjij i ijijxxx组合的目标应使风险最小，即方差最小。此时，标准差亦最小，即 221,1,minni ijji ijijxx综上所述，Markowitz 优化模型为：221,1,inni ijji ijijxx11.,0,
14、1,2,niiniiixrSTxin Markowitz 模型可进一步推广为以下模型：(1) 不相关风险资产投资优化模型12假设投资者只对不相关风险资产进行组合投资，上述模型中 ，Markowitz 模型简化为：0ijij221minniiix11.,0,1,2,niiniiixrSTxin(2) 存在安全资产时风险资产组合优化模型在实际中存在着风险很小资产，如短期国债、短期融资券、短期银行储蓄及短期财产抵压贷款等。由于受通货膨胀的影响较小，它们的投资收益相对稳定，风险很小，因而可看作安全资产。现在选择一种安全资产和 n 种不相关风险资产进行投资组合。设安全资产的收益率为 ,fR为风险资产的投
15、资比例，1,2,ixn为安全资产的投资比例。01niix则组合投资的期望收益率为：13，风险为标准差 。1nifiirxRx存在无风险资产时，不相关资产组合优化模型为：221minniiix110.,0,2,nnifii iniiixRxrSTin说明： 上述模型均为二次规划模型。理论上可用二次规划的旋转迭代算法求解。 上述模型均假设资金比例大于等于零，即，其实际意义为不准卖空。我国现0,1,2,ixin阶段的证券投资就不允许卖空。原因在于我国证券市场还处于初步阶段，法制尚不健全，不便规范卖空行为。随着证券市场的发展，我国迟早会允许投资者卖空。三. 实证分析例 1 现选取上海证券交易所 3 种
16、股票(真空电子、飞乐音响、浦东金桥)进行分析，它们分别属于工业类、商业类和房地产类几大行业，相关性较小，可认为是不相关的风险资产。原始数据选自 1993 年 4 月至 1994 年 1 月各种股14票的每日收盘价，下表为根据原始数据计算所得的期望收益率与方差。股票收益率与方差股票名称 真空电子 飞乐音响 浦东金桥ir2i4.112.1245.99.93%74.4311.12现总收益率定为 40，试确定投资比例系数。解：Markowitz 模型为：22221 3min0.0.930.1xxx123123.4.45.74.,0STxx用旋转迭代算法求解：为正定矩阵。0.420.1986.24H 0.41.590.731A 0.41b0c松驰变量个数为 0，非负变量个数为 3，即 s=3，t=3，用旋转迭代算法求最优解结果如下： 1 2348.00.50.94xxx 15分析：浦东金桥的房地产业风险高，但有较高的收益作为补偿，投资者为获得较高收益愿承担一定风险，所以投资比例大；其次是真空电子，虽然收益不高，但风险也很低，安全性大，故投资比例也较大。一般投资者都是风险厌恶者，为回避风险，投资者可用一部分资金购买国库券等安全资产，另外的资金再投资于风险资产。其模型检验与本例类似。
