1、 2010年第11期(中旬) 中学数学教学参考 H 赣 餐 汪晓勤 张安静(华东师范大学数学系) 每一个数学知识点都有自己的历史，通过细心考 察史料以及研究文献，我们才能梳理出这样的历史尽 管如此，我们也远未能完完全全地还原历史下面就让 我们基于有限的文献来勾勒“平方差公式”的历史 1 巴比伦 已知两数的和与乘积，或两数的差与乘积，求这 两个数，这样的问题在古巴比伦时期(约公元前1800 年公元前1600年)的泥版上屡见不鲜巴比伦人往 往采用“和差法”来解决这类问题， 用我们今天的代 数语言来表达就是。在 十 时，根据第一个方 I r-)l一0 程设 专“+ ，Y一寺“一 ，o， 代人第二个方
2、程得 ( 1 a+ )(丢。一 )一丢a2一 2一易， 厂 一 由此得f一 n 一 ，进而得所求的35和Y 、，4 类似地，在解方程组j y 时，根据第一个 l32 o 方程设 一+， r一寺口，tO， 于是由第二个方程得 t+ a)( 一 1 n)=12- 1“26， 厂 一 由此得f一寺n!+6，进而得所求的r和 因 此，古巴比伦祭司已经知道平方差公式 哥伦比亚大学所藏Plimpton 322号泥版(约公元 前1800年公元前1650年)是巴比伦泥版中最引人 注目者之一，含有15组勾股数构成直角三角形 三边长度的整数(西方称“毕达哥拉斯数”)原表中含 四处错误，数学史家诺伊格鲍尔予以纠正|
3、l2 这15组 勾股数用十进制写出来，见表l第46列，其中第5 列为笔者所加我们无法想象，如果巴比伦人没有勾 股数一般公式，又怎能求出如此众多的勾股数组呢? 表1 Plimpton 322号泥版上的勾股数 序号 户 q 口一P一一 62pq f P。+口 I 12 5 1l9 l2O l69 2 64 27 3367 3456 4825 3 75 32 4601 4800 6649 4 125 54 127O9 13500 18541 5 9 4 65 72 97 6 20 9 3l9 36O 48l 7 54 25 2291 27OO 3541 8 32 15 799 96O 1249 9
4、25 12 481 600 769 1O 81 40 496】 6480 8161 ll 45 60 75 1 2 48 25 l679 2400 2929 l3 l5 8 16l 240 289 14 5O 27 1771 2700 3229 l5 9 5 56 90 lO6 更进一步，我们不禁要问：巴比伦祭司是如何获得 勾股数公式的呢?设直角三角形的勾、股、弦分另4为n、 bc，则利用平方差公式c 一 一(cn)(c+n)，若c+a 一2p ，cn一2q2，其中P、q为互素的正整数，户q，则 得勾股数公式nP -q ，62pq，cP +q Plimpton 322号泥版上除了第11组勾股数
5、(45， 60，75)由(3，4，5)的倍数得出外，其他各组均可按上 述公式获得 大英博物馆所藏塞流斯时期(公元卜6 前305年公元前36年)泥版BM 34568上有这样的问题：“一根芦苇靠墙 直立，当顶端沿墙下移3英尺时，底端 謦 i墓毒 一 。 “ ：zhongshucanCO11 一专(c一6+ ) 由该解法可知，祭司已经知道公式c+b一兰 rn 这就进一步证明，巴比伦确实熟悉平方差公式 (c一6)(c+6)一c 一b。 2古希腊 公元前6世纪。毕 哥拉斯(Pythagoras)学派从 正方形数(如图2)的构造中获得了特 殊的平方差公式： ( 4-1) 一” =2n4-1， 设2 +1一
6、 z，则得 一 ， +1一 mZ4-一1，于是得勾股数公式 ：n o o o 0 O 图2 17“l，b 一 ， 一 (其中m为奇数) 一，一百一，c一 一 具甲m刀曰锹) 厶 厶 之后，柏拉图(Plato，公元前427公元前347) 则可能利用另一个特殊的平方差公式来得到勾股数 公式( +1) 一( 1)。一4n令1“l ，得n一2m，b m 一1，f一 。4-1(其中，凡为正整数) 欧几里得(Euclid，公元前3世纪)在几何原本 第二卷命题6给出了平方差公式，平分线段AB于c， 延长AB至D，则ADDB+CB。一CD。 设CDc，CBa，则(fa)(c4-a)一f 一n。， 令c+口一p
7、。，faq。，则得更一般的勾股数公 式n一 ，6一 q,c一 (其中p、q同为奇数 或偶数，pq) 几何原本第二卷命题5 给出另一个平方差公式 ( ) ( )一nb其几 何意义如图3所示 公元3世纪，古希腊代数 学鼻祖丢番图(Diophantus)在 其算术中经常运用平方差公 式其中第一卷第27题：“已知两数的和与积，求这两 个数”与古代巴比伦祭司一样，丢番图也用了“和差 法”：“假设和为2o，乘积为96，2z为所求数之差，于是 所求数为1O4-32和lOz故得(104-z)(10一z)一100 一 ：96， 一2，从而得所求两数分别为12和8”14 丢番图还将平方差公式用于解不定方程问题，如
8、 算术第二卷第1l题：“两个已知数各加上同一个 数，使所得和均为平方数”丢番图的解法如下： 设两个已知数为2和3，所加的数为S，则S4-2 =P ，s+3一口 ，(丢番图将这两个等式称作“双等”) 20 10学嚣-,I期t |晦数哮 嗨参鸯4s； 琴 于是q 一P。一(q+ )(q )一1，取q+ 一4，qp一 1，则得q= ， 一 15，s一器 3 中国 在中国汉代有关直角三角形问题中，平方差是一 个基本公式由勾股定理以及平方差公式可得 (C一6)(c+6)一C 一b 一a ， (C-a)(c4-a)一f。一a 一b 由此可推出多种公式如九章 算术勾股章：“今有池方一丈，葭生 其中央，出水一
9、尺引葭赴岸，适与岸 齐问水深、葭长各几何”此即已知a 和c-b，求b和C(如图4) b 九章算术给出的解法是 图4 6一专 一cc “今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐引木却行 一尺，其木至地问：木长几何?”即已知a和c-b，求c (如图5)，解法与塞流斯时期泥版上所载完全一致： c一专 c + 图5 图6 “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高 几何”即已知口和f+ ，求6(如图6)，解法是： 6一吉c 一 a2 图7 图8 三国时期数学家赵爽和刘徽对平方差公式作了 几何证明赵爽在注释周髀算经里“勾股圆方图” 中说：“勾实之矩以股弦差为广，股弦并为袤，而股 实方其里股实之矩以勾弦差为广，勾
10、弦并为 袤，而勾实方其里,ifs如图7，在以f为边长的正方 形中作一个以b为边长的正方形，则余下的矩尺形 面积等于以Cb为宽、f 4-b为长的矩形面积；如 图8，在以C为边长的正方形中作一个以a为边长的 M一 p露 学一 申 舞尊 i漱 _ 019 筹 1 1期 中 ) l 奇吩数壤敏培誊 舞 正方形，则余下的矩尺形面积等于以ca为宽、c+ n为长的矩形面积 无独有偶，同时期的刘徽在注释九章算术时 也利用同样的图形来证明平方差公式：“勾幂之矩 青，卷白表，是其幂以股弦差为广，股弦并为袤，而股 幂方其里股幂之矩青，卷白表，是其幂以勾弦差为 广，勾弦并为袤，而勾幂方其里 ”刘徽说的“幂”对 应于赵
11、爽的“实”，指的都是以勾或股为边长的正方 形面积 4 印度 与古代两河流域和希腊数学家一样，古代印度数 学家很可能也是利用勾股定理以及平方差公式来求 勾股数的12世纪印度数学家婆什伽罗(Bhaskara， 1l14年1185年)在其莉拉沃蒂中给出“平方合并 算”法则：“若以原数之差去除平方之差，则为原数之 和l_7，此即 一 4-b这显然是由平方差公式 (a4-6)(n一6)一n 一 导出来的 与古代中国数学家一样，婆什迦罗(当然也包括 他以前的一些印度数学家)也将平方差公式用于解直 角三角形问题如“大风折竹”问题，说的是32尺的竹 子为风所折，竹梢抵地，离根16尺，求折断处的高度， 与九章算
12、术中的“竹高一丈”题类似，解法相同；“风 -+一-4-+一-4-4-一-4-4-4-4-+一-4-4-一+一 吹莲花”问题说的是莲花露出水面-去_尺，为风所吹，于 厶 2尺远处没于水，求水深，与九章算术中的“池方一 丈”题类似，解法相同 以上我们看到，平方差公式有着十分悠久的历 史，在解方程和方程组、求勾股数、解直角三角形等方 面都有重要应用，是数学上多元文化的精彩之例然 而，尽管平方差公式跨越历史三千多年，但直到16世 纪，当法国数学家韦达(FVite，1540年1603年) 用字母来表达它时，其对称美才展现在世人面前 参考文献 1 Van der Waerden，BLGeometry an
13、d Algebra in Ancient CivilizationsEMBerlin：SpringerVerlag，1983 2 Neugebauer，OThe Exact Sciences in AntiquityM New York：Dover Publications，1969 3 Heath，TLA History of Greek MathematicsEMLon don：Oxford University Press，1921 4 Fauvel，J&Gray，JThe History of Mathematics：A ReaderHampshire：Macmillan Educat
14、ion，1987 5郭书春主编中国科学技术典籍通汇数学卷(一)I-M 郑州：河南教育出版社，1994 6郭书春汇校九章算术M沈阳：辽宁教育出版社台 北：九章出版社，2004 7婆什迦罗著，林隆夫，徐泽林等译莉拉沃蒂M北京： 科学出版社，2008 (上接第61页) - 分析：初看，似乎纯粹是一个智力游戏，因此，如 何把它转化成一个明确的数学问题是至关重要的由 于杯子的状态只有两种：杯口向上和杯口向下更重 要的是，每经过一次操作，杯子的状态就发生了相反 的变化，我们不妨想象一下，它和我们熟悉的哪种数 学现象非常相似?这就是：一个数的相反数的相反数 仍是这个数只要我们把这两种现象联系起来，问题 就迎
15、刃而解了 解：不能将杯口向上的茶杯记为1，杯口向下的 茶杯记为一1，由于7是一个奇数，故若要使这7只杯 子杯口全部向下，它们的乘积必为一1，而这是不可能 的这是因为，开始时杯口全部向上，故它们的乘积为 1，而每经过一次操作，相当于把操作前7只杯子的乘 积再乘以(一1) (每只杯子经过一次操作后相当于把 它乘以了一1)，故易知每次操作后7只杯子的乘积仍 为1，所以无论经过多少次操作，也不能使7只杯子的 杯口全部向下 例9 (1994年瑞典数学奥林匹克试题)a、b是两 个整数求证：方程a。4-b +z 一Y 有一组整数解 ( ， )，当且仅当乘积口6是偶数 分析：要证明 是偶数，只需证明a、b中有
16、一个 是偶数即可，但由于题目条件较少，无法为我们提供 更有价值的信息，所以直接证明是非常困难的正难 则反，我们根据平方数的特征，假定a、b都是奇数，导 出矛盾就可以了 证明：若。6是奇数，则a、b都是奇数，故a 三l(rood 8)，b 三1(mod 8)，故a +b 三2(mod 8) 若 为奇数，则lz 三1(rood 8)，故a +b +z。 三3(rood 8)另一方面，若a、6、 都是奇数，则 必为 奇数，故 三1(mod 8)，矛盾；若z为偶数，则 一4p (P为整数)，从而n 4-6 +z 三2(rood 4)，故 必为 偶数，从而 。=4q(q为整数)，矛盾，故方程n +b。 +z 一 有一组整数解时，a、b至少有一个是偶数， 从而a6必为偶数 若n6是偶数，则n、b至少有一个是偶数，假定n 是奇数，b是偶数，则n +b。必为奇数，故它必可分 解为两个奇数P、q的积；另一方面，a +b。一 。一z 一( + )( z)，只需令Y+zP， zq即可，易 1 1 知zv。(Pg)， =寺( +q)；口、b都是偶数时略 厶 (特约编辑：黄业乐)
