1、第三章,不等式,【本章内容】,3.1 不等关系与不等式,3.2 一元二次不等式及其解法,3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,3.4 基本不等式:,第三章 小结,第一课时,第二课时,3.2,一元二次不等式,及其解法,(第一课时),1. 一元二次不等式的几何意义是什么? 与一元二次函数和一元二次方程有什么关系?,2. 解一元二次不等式有哪些基本步骤?,问题1. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象是什么? 二次不等式 ax2+bx+c0 的几何意义是什么? 怎样才能求得这个不等式的解的集合?,二次函数的图象是一条抛物线.,二次不等式 ax2+bx+c0 的几何意义是:,这部分图象上
2、的 y 坐标大于 0,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在 x 轴上方的部分,对应的 x 坐标的范围就是不等,式的解的集合.,问: 要确定 x 的范围, 关键是确定什么?,问题1. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象是什么? 二次不等式 ax2+bx+c0 的几何意义是什么? 怎样才能求得这个不等式的解的集合?,要确定解集关键是要求得图象与 x 轴的交点,图象与 x 轴的交点就是方程 ax2+bx+c=0 的根.,的联系.,所以二次函数, 二次不等式, 二次方程有着紧密,x2,xx1,xx2,x1,问题1. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象是什么? 二次不等式 ax2+bx+c0
3、 的几何意义是什么? 怎样才能求得这个不等式的解的集合?,要确定解集关键是要求得图象与 x 轴的交点,图象与 x 轴的交点就是方程 ax2+bx+c=0 的根.,的联系.,所以二次函数, 二次不等式, 二次方程有着紧密,x1xx2,当抛物线的开口向下时,如图,不等式 ax2+bx+c0 的,解集在两根之间.,x2,xx1,xx2,x1,例(补充). 解下列不等式: (1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30; (3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40; (5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(1),解方程 x2-4x+3=0 的根得,x1=1
4、, x2=3.,使 x2-4x+30 如图,得不等式的解集为, x | x3 .,x1,x3,例(补充). 解下列不等式: (1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30; (3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40; (5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(2),解方程 x2-4x+3=0 的根得,x1=1, x2=3.,使 x2-4x+30 如图,得不等式的解集为, x | 1 x3 .,将原不等式同解变形为,x2-4x+30,1x3,例(补充). 解下列不等式: (1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30; (3) x2-4x+4
5、0; (4) -x2+4x-40; (5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(3),解方程 x2-4x+4=0 的根得,x1=x2=2.,使 x2-4x+40 如图,得不等式的解集为, x | x2, xR .,x2,x2,例(补充). 解下列不等式: (1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30; (3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40; (5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(4),解方程 x2-4x+4=0 的根得,x1=x2=2.,使 x2-4x+40 如图,得不等式的解集为, x | x=2 .,将原不等式同
6、解变形为,x2-4x+40,例(补充). 解下列不等式: (1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30; (3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40; (5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(5),方程 x2-4x+5=0 无实根,使 x2-4x+50 如图,得不等式的解集为, x | xR .,=16-20 = -4,0,例(补充). 解下列不等式: (1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30; (3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40; (5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(6),使 x2
7、-4x+50 如图,得不等式的解集为,x.,将原不等式同解变形为,x2-4x+50,方程 x2-4x+5=0 无实根,=16-20 = -4,0,(请同学们归纳一元二次不等式的解法),无图象,如图是解一元二次不等式的程序框图,请完成其中的步骤.,0,xR, xx1,xx2,练习: (课本80页),第 1 题.,1. 求下列不等式的解集:(1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0;(7) 3x2+5x0.,解:,(1),练习: (课本80页),原不等式变为,3x2-7x-100,解得方程 3x2-7x-10=0 的根为,原不等式的解集为,解:,(2),原不等
8、式变为,2x2-x+50,= -390,原不等式的解集为实数集 R.,1. 求下列不等式的解集:(1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0;(7) 3x2+5x0.,练习: (课本80页),解:,(3),1. 求下列不等式的解集:(1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0;(7) 3x2+5x0.,练习: (课本80页),原不等式变为,x2-4x+40,解方程 x2-4x+4=0 的根为,原不等式的解集为,x1=x2=2,x|x2.,解:,(4),1. 求下列不等式的解集:(1) 3x2-7x10; (2) -2x2+
9、x-50; (5) -2x2+x0;(7) 3x2+5x0.,练习: (课本80页),原不等式的解集为,方程 的根为,解:,(5),1. 求下列不等式的解集:(1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0;(7) 3x2+5x0.,练习: (课本80页),原不等式变为,2x2-x-30,解方程 2x2-x-3=0 的根为,原不等式的解集为,解:,(6),1. 求下列不等式的解集:(1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0;(7) 3x2+5x0.,练习: (课本80页),方程 12x2-31x+20=0 的根为,原不等式的
10、解集为,解:,(7),1. 求下列不等式的解集:(1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0;(7) 3x2+5x0.,练习: (课本80页),方程 3x2+5x=0 的根为,原不等式的解集为,【课时小结】,1. 一元二次不等式的几何意义,ax2+bx+c0,表示函数 y=ax2+bx+c 的,图象在 x 轴上方的部分.,ax2+bx+c0,表示函数 y=ax2+bx+c 的,图象在 x 轴上方的部分.,ax2+bx+c0,ax2+bx+c0,【课时小结】,1. 一元二次不等式的几何意义,ax2+bx+c0,解集表示 x 轴上方部分,图象的 x 坐标的范围;
11、,ax2+bx+c0,解集表示 x 轴下方部分,图象的 x 坐标的范围.,【课时小结】,2. 一元二次不等式的解法步骤,(1) 将二次项系数变为正.,(2) 判断对应方程是否有根.,(3) 根据根的情况确定解集:, 若有两不等根, 解出这两根:,(设 x1x2),当 ax2+bx+c0 (a0) 时,解集为 x | xx2.,当 ax2+bx+c0) 时,解集为 x | x1xx2.,【课时小结】,2. 一元二次不等式的解法步骤,(1) 将二次项系数变为正.,(2) 判断对应方程是否有根.,(3) 根据根的情况确定解集:, 若有两相等根(一根 x0):,当 ax2+bx+c0 (a0) 时,解
12、集为 x | xR, xx0.,当 ax2+bx+c0) 时,解集为空集 ( x ).,【课时小结】,2. 一元二次不等式的解法步骤,(1) 将二次项系数变为正.,(2) 判断对应方程是否有根.,(3) 根据根的情况确定解集:, 若无实根:,当 ax2+bx+c0 (a0) 时,解集为实数集 ( xR ).,当 ax2+bx+c0) 时,解集为空集 ( x ).,习题3.2,A 组,第 1、2、3 题.,B 组,第 1 题.,1. 求下列不等式的解集:(1) 4x2-4x15; (2) 13-4x20;(3) x2-3x-100; (4) x(9-x)0.,解:,原不等式变为,4x2-4x-1
13、50,解方程 2x2-x-3=0 的根为,原不等式的解集为,(1),1. 求下列不等式的解集:(1) 4x2-4x15; (2) 13-4x20;(3) x2-3x-100; (4) x(9-x)0.,解:,原不等式变为,4x2-130,方程 4x2-13=0 的根为,原不等式的解集为,(2),1. 求下列不等式的解集:(1) 4x2-4x15; (2) 13-4x20;(3) x2-3x-100; (4) x(9-x)0.,解:,方程 x2-3x-10=0 的根为,原不等式的解集为,(3),x1= -2, x2=5,x|x5.,1. 求下列不等式的解集:(1) 4x2-4x15; (2) 1
14、3-4x20;(3) x2-3x-100; (4) x(9-x)0.,解:,原不等式变为,x2-9x0,其方程 x2-9x0 的根为,(4),原不等式的解集为,x1= 0, x2=9,x|0x9.,2. 求下列函数的定义域:(1) (2),解:,(1),要使函数有意义, 需,x2-4x+90,方程 x2-4x+9=0 无实根,函数 x2-4x+9=0 的图象在 x 轴的上方, x2-4x+9 恒大于0,即原函数的定义域为(-, +).,2. 求下列函数的定义域:(1) (2),解:,(2),要使函数有意义, 需,-2x2+12x-180,方程 x2-6x+9=0 有两相等实根,得不等式 x2-
15、6x+90 的解集为, 3 ,原函数的定义域为 3 .,不等式变形为,x2-6x+90,x1=x2=3,3. 若关于 x 的一元二次方程 x2-(m+1)x-m=0 有两个不相等的实数根, 求 m 的取值范围.,解:,=(-m-1)2+4m0,整理得 m2+6m+10,方程 m2+6m+1=0 的根为,则 m 的取值范围是,解:,(1),原不等式变为,4x2-20x-250,解得方程 4x2-20x-25=0 的根为,原不等式的解集为空集.,B 组,1. 求下列不等式的解集:(1) 4x2-20x0; (4) x(1-x)x(2x-3)+1.,解:,(2),x1=3, x2=7,方程 (x-3
16、)(x-7)0 的根为,原不等式的解集为,x|3x7.,B 组,1. 求下列不等式的解集:(1) 4x2-20x0; (4) x(1-x)x(2x-3)+1.,解:,(3),原不等式变为,3x2-5x+40,原不等式的解集为空集., = -23 0,B 组,1. 求下列不等式的解集:(1) 4x2-20x0; (4) x(1-x)x(2x-3)+1.,解:,(4),原不等式变为,3x2-4x+10,解得方程 3x2-4x+1=0 的根为,原不等式的解集为,第一课时,第二课时,3.2,一元二次不等式,及其解法,(第二课时),1. 抛物线开口向下时, 怎样根据图象求一元二次不等式的解集?,2. 一
17、元二次不等式的应用.,问题1. 上一节我们解一元二次不等式时, 始终把二次项系数变为正. 如果二次项系数为负时, 可直接根据抛物线求解吗?,二次项系数为负时, 只是抛物线开口方向不同,同样 x 轴上方表示 “0”, x 轴,不等式 ax2+bx+c0 的解集为,x|x1xx2.,不等式 ax2+bx+c0 的解集为,x|xx2.,下方表示 “0”.,例(补充). 解下列不等式: (1) 2x2-3x+10.,(1),解:,方程 2x2-3x+1=0 的根是,不等式 2x2-3x+10,的解集为,例(补充). 解下列不等式: (1) 2x2-3x+10.,解:,(2),方程 -2x2-3x-1=
18、0 的根是,图象开口向下(如图),不等式 -2x2+3x-10,的解集为,2. 自变量 x 在什么范围取值时, 下列函数的值等于 0? 大于 0? 小于 0 呢?(1) y=3x2-6x+2; (2) y=25-x2;(3) y=x2+6x+10; (4) y=-3x2+12x-12.,解:,(1),方程 3x2-6x+2=0 的根为,当 时, 函数值等于 0;,当 时, 函数值大于 0;,当 时, 函数值小于 0.,抛物线 y=3x2-6x+2 的开口向上,练习: (课本80页),2. 自变量 x 在什么范围取值时, 下列函数的值等于 0? 大于 0? 小于 0 呢?(1) y=3x2-6x
19、+2; (2) y=25-x2;(3) y=x2+6x+10; (4) y=-3x2+12x-12.,解:,(2),方程 25-x2=0 的根为,当 x=5 时, 函数值等于 0;,当 -5x5 时, 函数值大于 0;,当 x5 时, 函数值小于 0.,x=5,抛物线 y=25-x2 的开口向下,练习: (课本80页),2. 自变量 x 在什么范围取值时, 下列函数的值等于 0? 大于 0? 小于 0 呢?(1) y=3x2-6x+2; (2) y=25-x2;(3) y=x2+6x+10; (4) y=-3x2+12x-12.,解:,(3), = -4 0,函数的图象全部在 x 轴上边,x
20、取一切实数函数值都大于 0.,抛物线 y=3x2+6x+10 的开口向上,练习: (课本80页),2. 自变量 x 在什么范围取值时, 下列函数的值等于 0? 大于 0? 小于 0 呢?(1) y=3x2-6x+2; (2) y=25-x2;(3) y=x2+6x+10; (4) y=-3x2+12x-12.,解:,(4),方程 -3x2+12x-12=0 的根为,当 x=2 时, 函数值等于 0;,函数值不大于 0.,x2 时, 函数值小于 0;,x1=x2=2,顶点在 x 上, 图象在下半平面,抛物线 y= -3x2+12x-12 的开口向下,练习: (课本80页),【一元二次不等式的应用
21、】,解:,刹车距离 s 大于39.5 m, 即,不等式变为,x2+9x-71100,解得 x 79.94.,答: 这辆车刹车前的速度至少是79.94 km/h.,例4. 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线, 这条流水线生产的摩托车数量 x (辆) 与创造的价值 y (元) 之间有如下的关系:y = -2x2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上, 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?,解:,要创收6000元以上, 需,-2x2+220x6000,不等式变为 x2-110x+30000,解得 50x60,答: 一个星期内应生产5159辆之间.,注
22、意: 摩托车的辆数应为整数.,习题3.2,A 组,第 4、5、6 题.,B 组,第 2、3、4 题.,4. 已知集合 A=x | x2-160, 求AB.,解:,解不等式 x2-160 得,-4x4.,解不等式 x2-4x+30 得,x3.,x| xR.,-4,4,1,3,则 AB =,5. 在一次体育课上, 某同学以初速度 v0 = 12 m/s竖直上抛一排球, 该排球能够在地面 2 m 以上的位置最多停留多长时间? (注: 若不计空气阻力, 则竖直上抛的物体距离地面的高度 h 与时间 x 满足关系 h = v0t - gt2, 其中g =9.8 m/s2.),解:,高度在 2 m 以上,
23、则,整理得 49 t2 -120 t +200,解得 0.18t2.27.,答: 最多停留 2 秒.,2.27-0.18=2.09.,6. 某文具店购进一批新型台灯, 若按每盏台灯 15元的价格销售, 每天能卖出30盏; 若售价每提高 1 元,日销售量将减少 2 盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入, 应怎样制定这批台灯的销售价格?,解:,设销售价比原来提高 x 元, 则,每天卖出的台灯数将减少 2x 盏;,每天可获得的销售收入是,(30-2x)(15+x).,要获得400元以上的收入, 需,(30-2x)(15+x)400,整理得 x225,x0,解得 -5x5.,0x5.,则
24、台灯应定价为15到19元.,(答略),2. m 是什么实数时, 关于 x 的一元二次方程 mx2-(1-m)x+m=0 没有实数根?,解:,一元二次方程 mx2-(1-m)x+m=0 无实根, 需,m0,(-1+m)2-4m20,整理得,解得 m -1, 或,即 m -1, 或 时, 所给一元二次方程无实根.,B 组,3. 已知函数 求使函数值大于0的 x 的取值范围.,解:,使函数值大于0, 即,解这个不等式得,即要使函数值大于 0, x 的取值范围是,4. 如图, 据气象部门预报, 在距离某码头南偏东45方向600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动, 距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响. 从现在起多长时间后, 该码头将受到热带风暴的影响, 影响时间大约为多长?,解:,若码头受到风暴影响, 则,|OB|450 km.,风暴中心从A点向B点移动,AB=20t.,OAB=45,在OAB中, OA=600,则,13.7t28.7,答: 13.7小时后, 码头将受到风暴的影响, 受风暴影响的时间约有15个小时.,28.7-13.7=15,完,完,3.2节完了, OK! ,
